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FUNCTION

1変数関数

OVERVIEW

本節で学ぶ内容

関数と呼ばれる概念を定義した上で、代表的な関数を紹介します。また、関数の極限や連続性などの概念について解説します。これらの知識は後に関数の微分を学ぶ上での土台となります。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

関数

それぞれの実数に対して実数を1つずつ定める規則を関数と呼びます。

関数の定義

実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、実数空間を終集合とする写像を関数と呼びます。言い換えると、関数とはそれぞれの実数に対して実数を1つずつ定める規則です。

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関数のグラフ

関数 f が与えられたとき、実数を成分とする順序対 (x,y) の中でも y=f(x) を満たすようなものからなる集合を f のグラフと呼びます。

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関数による像と値域

関数が始集合のそれぞれの要素に対して定める実数を、その要素の像と呼びます。関数がとり得るすべての値からなる集合を関数の値域と呼びます。

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関数による逆像と定義域

関数による実数の逆像や、関数による実数集合の逆像、また、関数の定義域などについて解説した上で、それらの概念が満たす性質について整理します。

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合成関数

関数 f の値域が関数 g の定義域の部分集合である場合には、f の定義域のそれぞれの値 x に対して g(f(x)) を定めるような関数が定義可能であり、これを f と g の合成写像と呼びます。

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逆関数

関数が全単射である場合には、終集合のそれぞれの要素に対して、その逆像に含まれる唯一の要素を値として定める関数が定義可能であるため、これを逆関数と呼びます。

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狭義単調関数の逆関数

狭義単調関数は全単射であるため、終集合を値域に制限すれば全単射になります。したがって、その逆関数が必ず存在します。特に、狭義単調増加関数の逆関数は狭義単調増加であり、狭義単調減少関数の逆関数は狭義単調減少です。

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SECTION 2

多項式関数

多項式関数について解説します。

定数関数

変数の値によらず常に一定の実数を値として定める関数を定数関数と呼びます。定数関数のグラフは水平な直線です。

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恒等関数

入力した値に等しい値を返す関数を恒等関数と呼びます。恒等関数は狭義単調増加関数であるとともに、定義域と値域は一致します。したがって、全区間上に定義された恒等関数は逆関数を持ち、それもまた恒等関数になります。また、恒等関数と任意の関数の合成関数もまた恒等関数になります。

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多項式関数

実数の定数と非負の整数個の変数の積として表される関数を単項式関数と呼び、単項式関数の和として定義される関数を多項式関数と呼びます。

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有理関数(分数関数)

多項式関数どうしの商として定義される関数を有理関数や分数関数と呼びます。有理関数のグラフを描く際には漸近線を特定する必要があります。

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SECTION 3

指数関数・対数関数

正の実数の累乗という概念を導入した上で、そこから指数関数や対数関数などを定義します。

自然数指数の累乗

正の実数が底であり、指数が自然数であるような累乗を定義した上で、それが指数法則と呼ばれる命題を満たすことを示します。

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整数指数の累乗

正の実数が底であり、指数が整数であるような累乗を定義した上で、それが指数関数を満たすことを示します。

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有理数指数の累乗

正の実数が底であり、指数が有理数であるような累乗が常に1つの実数として定まるとともに、これもまた指数法則を満たします。

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実数指数の累乗

指数が実数であるような累乗を定義した上で、これが有理数の指数を持つ累乗の一般化であるとともに、指数法則を満たすことを示します。

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指数関数の定義

正の実数であるような底を所与としたとき、指数を変数とし、累乗を値として定めるような関数を指数関数と呼びます。特に、ネイピア数を底とする指数関数を自然指数関数と呼びます。指数関数は正の実数を値としてとる狭義単調関数です。

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対数関数の定義

指数関数の逆関数を対数関数と呼びます。特に、自然指数関数の逆関数を自然対数関数と呼びます。対数関数は狭義単調関数です。

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SECTION 4

ベキ関数

ベキ関数について解説します。

自然数ベキ関数

次数が自然数であるようなベキ関数を自然数ベキ関数と呼びます。次数が奇数である場合、自然数ベキ関数は狭義単調増加関数になります。次数が偶数である場合、非正の区間において狭義単調減少になり、非負の区間において狭義単調増加になります。

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整数ベキ関数

次数が整数であるようなベキ関数を整数ベキ関数と呼びます。次数が負の奇数である場合、整数ベキ関数は狭義単調減少関数になります。次数が負の偶数である場合、負の区間において狭義単調増加であり、正の区間において狭義単調減少です。

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無理関数

指数が自然数であるようなベキ関数の逆関数として定義される関数を無理関数と呼びます。

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有理数ベキ関数

次数が有理数であるようなベキ関数(累乗関数)を有理数ベキ関数と呼びます。有理数ベキ関数の定義域は次数に応じて変化します。

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絶対値関数

入力した実数に対して、その絶対値を値として定める関数を絶対値関数と呼びます。絶対値関数は数直線上に定義可能です。

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SECTION 5

三角関数・逆三角関数

三角関数について解説します。

度数法と弧度法

角および角度の概念を定義した上で、角度を表現する手法である度数法と弧度法について解説します。度数法は私たちになじみ深い「度」を単位に角度を測る手法である一方、弧度法では「ラジアン」を利用します。

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三角比

直角三角形を用いて三角比(正弦・余弦・正接)を定義した上で、それを一般化する形で三角比を定義します。

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正弦関数(sin関数)の定義

それぞれのラジアンに対してその正弦(サイン)を定める関数を正弦関数(サイン関数)と呼びます。正弦関数のグラフを正弦曲線(サイン・カーブ)と呼びます。

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余弦関数(cos関数)の定義

それぞれのラジアンに対してその余弦(コサイン)を定める関数を余弦関数(コサイン関数)と呼びます。余弦関数のグラフを余弦曲線(コサイン・カーブ)と呼びます。

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正接関数(tan関数)の定義

余弦の値が非ゼロになるようなそれぞれのラジアンに対してその正接(タンジェント)を定める関数を正接関数(タンジェント関数)と呼びます。正接関数のグラフを正接曲線(タンジェント・カーブ)と呼びます。

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SECTION 6

関数の極限

関数の極限について解説します。

関数の極限

実数の点集合上に定義された実数値関数を議論の対象とした上で、そのような関数が収束することの直感的な意味を解説し、さらにイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義します。

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関数の無限極限

実数の区間上に定義された実数値関数が点において発散することや、無限大や無限小において発散することの意味を解説します。

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SECTION 7

関数の片側極限

関数の片側極限について解説します。

関数の片側極限

関数が点において収束することの定義において、変数がその点に近づいていく際の経路に関して特に制約は設けられていません。一方、変数が点に近づいていく際の経路を指定する形で関数の極限を定義することも可能であり、その場合の極限を片側極限と呼びます。

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関数の片側無限極限

関数の変数がある点に右側もしくは左側から近づくときに、変数の値が無限大や無限小へ発散する場合には、それらの極限を片側無限極限と呼びます。

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SECTION 8

無限大における関数の極限

変数が限りなく大きく(小さく)なる場合の関数の極限について解説します。

SECTION 9

関数の極限の性質

関数の極限に関する性質について解説します。

収束する関数と有界性

関数が有界であることの意味、関数が点の周辺において局所有界であることの意味を定義します。また、関数が点において有限な実数へ収束するとき、その点の周辺において局所有界であることを示します。

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定数関数の極限

定数関数は定義域上の任意の点において有限な極限・右側極限・左側極限を持ちます。また、正の無限大や負の無限大においても有限な極限を持ちます。

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恒等関数の極限

恒等関数は定義域上の任意の点において有限な実数へ収束する一方、正の無限大において正の無限大へ発散し、負の無限大において負の無限大に発散します。

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関数の定数倍の極限

収束する関数を定数倍して得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の定数倍になります。また、このような関係は無限極限に関しても拡張可能です。

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関数の和の極限

収束する関数どうしの和として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の和になります。また、このような関係は無限極限に関しても拡張可能です。

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関数の差の極限

収束する関数どうしの差として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の差になります。また、このような関係は一定の条件のもとで無限極限に関しても拡張可能です。

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関数の積の極限

収束する関数どうしの積として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の積になります。また、このような関係は一定の条件のもとで無限極限に関しても拡張可能です。

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関数の商の極限

収束する関数どうしの商として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の商になります。また、このような関係は一定の条件のもとで無限極限に関しても拡張可能です。

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合成関数の極限

合成関数が有限な実数へ収束するための条件を明らかにするとともに、その極限を具体的に求める方法を解説します。

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SECTION 10

初等関数の極限

代表的な関数の極限について解説します。

指数関数の極限

指数関数や自然指数関数について、その極限、片側極限、および無限大における極限を求める方法を解説します。

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対数関数の極限

対数関数や自然対数関数について、その極限、片側極限、および無限大における極限を求める方法を解説します。

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三角関数の極限公式

関数 sin(x)/x の点0における極限および無限大における極限を求めます。この関数の極限を利用することにより正弦関数に関する様々な関数の極限を容易に導出できるようになります。加えて、三角関数の微分について考える際にもこの関数は重要な役割を果たします。

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SECTION 11

関数の連続性

関数が連続であることの意味を解説します。

関数の連続性

関数が定義域上の点において有限な極限を持つと同時に、その極限がその点における関数の値と一致する場合には、関数はその点において連続であると言います。

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位相を用いた関数の連続性の判定

関数による任意の開集合の逆像が開集合であることは、その関数が定義域上において連続であるための必要十分条件です。また、関数による任意の有界開区間の逆像が開集合であることもまた、関数が連続であるための必要十分条件です。

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SECTION 12

関数の片側連続性

代表的な関数の連続性を示すとともに、連続関数の性質を解説します。

関数の片側連続性

関数が定義域上の点において右側極限を持つとともに、それがその点における関数の値と一致する場合、その関数はその点において右側連続であると言います。また、関数が定義域上の点において左側極限を持つとともに、それがその点における関数の値と一致する場合、その関数はその点において左側連続であると言います。

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関数の連続点と不連続点

関数が定義域上の点において連続であるとき、その点を連続点と呼びます。一方、関数が定義域上の点において連続ではないとき、その点を不連続点と呼びます。不連続点は第1種と第2種の2種類に分類され、さらに第1種の不連続点は除去可能な不連続点と跳躍不連続点に分類されます。

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SECTION 13

連続関数の性質

代表的な関数の連続性を示すとともに、連続関数の性質を解説します。

関数の定数倍の連続性

連続な関数の定数倍として定義される関数もまた連続です。同様に、片側連続(右側連続・左側連続)な関数の定数倍として定義される関数もまた片側連続です。

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関数の和の連続性

連続な関数どうしの和として定義される関数もまた連続です。同様に、片側連続(右側連続・左側連続)な関数どうしの和として定義される関数もまた片側連続です。

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中間値の定理

有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の左右の端点において異なる値をとるとき、中間値の定理と呼ばれる命題が成立します。

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連続関数による区間の像

有界な閉区間上に定義された連続関数による定義域の像もまた有界な閉区間になります。また、区間上に定義された連続関数による定義域の像もまた区間になります。

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逆関数の連続性

区間上に定義された連続な狭義単調関数の逆関数もまた区間上に定義された連続な狭義単調関数になります。定義域が区間ではない場合、同様の主張は成り立つとは限りません。

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SECTION 14

初等関数の連続性

様々な初等関数が連続であることを示します。
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本セクションの内容を円滑に理解できます。

実数の定義

実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。

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数列

数列に関するテキストと演習問題です。数列という概念を定義した上で、さらに収束列、単調数列、区間列、部分列などについて学び、これらの概念を使って実数の連続性を表現できることを確認します。

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数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

関数の微分

1変数関数の微分について学びます。具体的には、微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。

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