OVERVIEW
本節で学ぶ内容
関数と呼ばれる概念を定義した上で、代表的な関数を紹介します。また、関数の極限や連続性などの概念について解説します。これらの知識は後に関数の微分を学ぶ上での土台となります。
TABLE OF CONTENTS
目次
SECTION 1
関数
それぞれの実数に対して実数を1つずつ定める規則を関数と呼びます。
合成関数
関数 f の値域が関数 g の定義域の部分集合である場合には、f の定義域のそれぞれの値 x に対して g(f(x)) を定めるような関数が定義可能であり、これを f と g の合成写像と呼びます。
単調関数・狭義単調関数
変数の値が大きくなる場合には関数が定める値も必ず大きく（小さく）なるならば、そのような関数は狭義単調増加（狭義単調減少）であると言います。狭義単調関数は単射であり、その終集合を値域に制限すれば全単射になります。
SECTION 2
多項式関数
多項式関数について解説します。
恒等関数
入力した値に等しい値を返す関数を恒等関数と呼びます。恒等関数は狭義単調増加関数であるとともに、定義域と値域は一致します。したがって、全区間上に定義された恒等関数は逆関数を持ち、それもまた恒等関数になります。また、恒等関数と任意の関数の合成関数もまた恒等関数になります。
SECTION 3
指数関数・対数関数
正の実数の累乗という概念を導入した上で、そこから指数関数や対数関数などを定義します。
SECTION 4
ベキ関数
ベキ関数について解説します。
自然数ベキ関数
指数が自然数であるようなベキ関数を自然数ベキ関数と呼びます。指数が奇数である場合、自然数ベキ関数は狭義単調増加関数になります。また、定義域を非負の実数に制限した場合にも、自然数ベキ関数は狭義単調増加関数になります。
有理数ベキ関数
指数が有理数であるようなベキ関数を有理数ベキ関数と呼びます。正の有理数を指数とする有理数ベキ関数は非負の実数上に定義され、負の有理数を指数とする有理数ベキ関数は正の実数上に定義されます。
SECTION 5
三角関数・逆三角関数
三角関数について解説します。
度数法と弧度法
角および角度の概念を定義した上で、角度を表現する手法である度数法と弧度法について解説します。度数法は私たちになじみ深い「度」を単位に角度を測る手法である一方、弧度法では「ラジアン」を利用します。
SECTION 6
関数の極限
関数の極限について解説します。
関数の極限
実数の点集合上に定義された実数値関数を議論の対象とした上で、そのような関数が収束することの直感的な意味を解説し、さらにイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義します。
関数の片側極限
関数が点において収束することの定義において、変数がその点に近づいていく際の経路に関して特に制約は設けられていません。一方、変数が点に近づいていく際の経路を指定する形で関数の極限を定義することも可能であり、その場合の極限を片側極限と呼びます。
SECTION 7
関数の無限極限
関数の無限極限、すなわち関数が発散することの意味を解説します。
SECTION 8
関数の極限の性質
代表的な関数の極限を求めます。
収束する関数と有界性
関数が有界であることの意味、関数が点の周辺において局所有界であることの意味を定義します。また、関数が点において有限な実数へ収束するとき、その点の周辺において局所有界であることを示します。
関数の定数倍の極限
収束する関数を定数倍して得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の定数倍になります。また、このような関係は無限極限に関しても拡張可能です。
関数の差の極限
収束する関数どうしの差として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の差になります。また、このような関係は一定の条件のもとで無限極限に関しても拡張可能です。
関数の積の極限
収束する関数どうしの積として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の積になります。また、このような関係は一定の条件のもとで無限極限に関しても拡張可能です。
関数の商の極限
収束する関数どうしの商として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の商になります。また、このような関係は一定の条件のもとで無限極限に関しても拡張可能です。
SECTION 9
関数の連続性
関数が連続であることの意味を解説します。
関数の片側連続性
関数が閉区間上に定義された場合などには、定義域の端点において通常の意味での極限を考えることができないため、通常の意味での連続性を考えることができません。そこで、そのような場合には片側連続性と呼ばれる概念の下で連続性を考えます。
関数の上半連続性・下半連続性
関数が上半連続であること、および下半連続の意味を方位集合と呼ばれる概念を用いて定義します。関数が上半連続かつ下半連続であることはその関数が連続であるための必要十分条件です。
関数の不連続点
関数が点において連続ではないとき、その点を不連続点と呼びます。不連続点には第1種の不連続点と第2種の不連続点の2種類があります。また、関数が点において定義されていないとき、その点は連続点と不連続点のどちらでもありません。
SECTION 10
連続関数の性質
代表的な関数の連続性を示すとともに、連続関数の性質を解説します。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
必須知識
以下の分野の知識があると本セクションの内容を円滑に理解できます。
実数の定義
実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。
数列
数列に関するテキストと演習問題です。数列という概念を定義した上で、さらに収束列、単調数列、区間列、部分列などについて学び、これらの概念を使って実数の連続性を表現できることを確認します。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。
関数の微分
1変数関数の微分について学びます。具体的には、微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。
