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関数の連続性

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点における関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限へ収束するか検討する際に、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていればよく、\(f\)は点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限へ収束する状況は起こり得ます。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限へ収束する場合、この極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、関数\(f\)が点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限へ収束し、さらにこの極限が\(f\left( a\right) \)と一致する場合、\(f\)は点\(a\)において連続である(continuous at \(a\))であると言います。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。関数の極限の定義より、条件\(\left( b\right) \)が成り立つためには\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている必要があります。これと条件\(\left( a\right) \)を踏まえると、点\(a\)において連続な関数\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の定義において定義されていることになります。

上の3つの条件の中でも\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合、\(f\)は点\(a \)において不連続である(discontinuous at \(a\))と言います。また、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合、つまり関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において連続でも不連続でもありません。関数が点において連続もしくは不連続であるためには、その点が関数の定義域に含まれている必要があるということです。

例(点において連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
3x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&3a\quad \because \text{恒等関数}x\text{の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続であることが明らかになりました。
例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の端点\(0\)に注目したとき、\(f\)は\(x<0\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)において定義されていないため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)が有限な極限へ収束するか検討できません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。同様の理由により、\(f\)は定義域のもう一方の端点\(1\)において連続ではありません。
例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めその周辺の任意の点において定義されていますが、そこでの左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}であり、両者は一致しません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。
例(点において連続でも不連続でもない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\in \mathbb{R} \)において定義されていないため、点\(0\)において連続でも不連続でもありません。

 

関数が点において連続であることの直感的な解釈

関数が点において連続であることの直感的な意味を図を用いて解説します。繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。\(\left(a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合には\(f\)は点\(a\)において不連続であり、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合には\(f\)は点\(a\)において連続と不連続のどちらでもありません。

図:連続・不連続のどちらでもない関数
図:連続・不連続のどちらでもない関数

上の図で表される関数\(f\)はそもそも点\(a\)において定義されていないため、\(f\)は点\(a\)において連続と不連続のどちらでもありません。

図:連続ではない関数
図:連続ではない関数

上の図で表される関数は点\(a\)において定義されており、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束しますが、これは\(f\left(a\right) \)とは一致しないため、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

図:連続ではない関数
図:連続ではない関数

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)において定義されていますが、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限へ収束しないため、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

図:連続な関数
図:連続な関数

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)において定義されており、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束し、しかもそれは\(f\left( a\right) \)と一致するため、\(f\)は点\(a\)において連続です。以上の例から明らかになったように、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることは、\(f\)のグラフが定義域上の点\(a\)において途切れずにつながっていることを意味します。

 

集合上で連続な関数

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な極限へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先に例を通じて確認したように、一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であるとは限りません。そこで、\(f\)が連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)であるとき、\(f\)は\(Y\)上で連続である(continuous on \(Y\))と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(f\)が定義域上\(X\)の任意の点において連続である場合、\(f\)は連続である(continuous)と言います。

例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先に示したように、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上で連続であることが明らかになりました。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は定義域の端点\(0,1\)において連続ではありません。一方、定義域の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\left[ 0,1\right] \)上では連続ではないものの、その内部\(\left( 0,1\right) \)において連続であることが明らかになりました(ただし、後に導入する「片側連続性」という概念を踏まえると、\(f\)は定義域上\(\left[ 0,1\right]\)で連続とみなされます。詳細は後述します。)。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。先に示したように、点\(0\)において\(f\)は連続ではありません。一方で、\(0\)とは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(a<0\)の場合には、\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\(a>0\)の場合には、点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上では連続ではないものの、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であることが明らかになりました。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(0\)において\(f\)は連続でも不連続でもありません。一方、定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\lim\limits_{x\rightarrow a}x}\quad
\because \text{有理関数の極限} \\
&=&\frac{1}{a}\quad \because \text{恒等関数および定数関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x-2
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x-1}{x^{2}+2x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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次回は関数が連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて判定する方法について解説します。

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