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関数

関数の連続性

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点における関数の連続性

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。実数\(a,b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限へ収束するかを検討する際に、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限へ収束する状況は起こり得ます。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な極限へ収束する場合、この極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)およびその周辺の任意の点において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限へ収束し、さらにその極限が\(f\left(a\right) \)と一致する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において連続である(continuous at \(a\))であると言います。ちなみに、関数の極限の定義より、\(\left( b\right) \)が成り立つ場合には\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることが保証されます。

逆に、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)に対して上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、\(f\)は点\(a\)において不連続である(discontinuous at \(a\))と言います。

例(点において連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
3x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&3a\quad \because \text{恒等関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続であることが明らかになりました。
例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\in \mathbb{R} \)において定義されていないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。
例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の端点\(0\)に注目したとき、\(f\)は\(x<0\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)において定義されていないため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)が有限な極限へ収束するか検討できません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。ただし、後に導入する「片側連続性」という概念を踏まえると、\(f\)は点\(0\)において連続とみなされます。詳細は後述します。
例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めその周辺の任意の点において定義されていますが、そこでの左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}であり、両者は一致しません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。
例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{equation*}
f\left( 0\right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \not=f\left( 0\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。

 

関数が点において連続であることの直感的な解釈

関数が点において連続であることの直感的な意味を図を用いて解説します。繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。一方、上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合に\(f\)は点\(a\)において不連続です。

図:関数が不連続な点
図:関数が不連続な点

上の図で表される関数\(f\)はそもそも点\(a\)において定義されていないため、\(f\)は点\(a\)において不連続です。

図:関数が不連続な点
図:関数が不連続な点

上の図で表される関数は点\(a\)において定義されており、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束しますが、これは\(f\left(a\right) \)とは一致しないため、\(f\)は点\(a\)において不連続です。

図:関数が不連続な点
図:関数が不連続な点

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)において定義されていますが、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限へ収束しないため、\(f\)は点\(a\)において不連続です。

図:関数が連続な点
図:関数が連続な点

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)において定義されており、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束し、しかもそれは\(f\left( a\right) \)と一致するため、\(f\)は点\(a\)において連続です。以上の例から明らかになったように、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることは、\(f\)のグラフが定義域上の点\(a\)において途切れずにつながっていることを意味します。

 

集合上で連続な関数

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な極限へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先に例を通じて確認したように、一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であるとは限りません。そこで、\(f\)が連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)であるとき、\(f\)は\(Y\)上で連続である(continuous on \(Y\))と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(f\)が定義域上\(X\)の任意の点において連続である場合、\(f\)は連続である(continuous)と言います。

例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}3x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&3a\quad \because \text{恒等関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点\(a\)において同様であるため、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上で連続であることが明らかになりました。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は定義域の端点\(0\)において連続ではありません。一方、定義域の内点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{x}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow a}x}\quad \because \text{無理関数の極限} \\
&=&\sqrt{a}\quad \because \text{恒等関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点\(a\)において同様であるため、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} _{+}\)では連続ではないものの、その内部\(\mathbb{R} _{++}\)において連続であることが明らかになりました。ただし、後に導入する「片側連続性」という概念を踏まえると、\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続とみなされます。詳細は後述します。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。先に示したように、点\(0\)において\(f\)は連続ではありません。一方で、\(0\)とは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(a<0\)の場合には、\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\(a>0\)の場合には、点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上では連続ではないものの、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であることが明らかになりました。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(0\)において\(f\)は連続ではありません。一方、定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\lim\limits_{x\rightarrow a}x}\quad
\because \text{有理関数の極限} \\
&=&\frac{1}{a}\quad \because \text{恒等関数および定数関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であることが明らかになりました。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(0\)において\(f\)は連続ではありません。一方、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&a\quad \because \text{恒等関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上で連続ではないものの\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x-2
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x-1}{x^{2}+2x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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問題(加法的関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right)
\end{equation*}を満たす場合、\(f\)は加法的関数(additive function)であると言います。加法的関数\(f\)が連続な点\(a\in \mathbb{R} \)が存在する場合には、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続であることを示してください。
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