関数の連続性

関数が定義域上の点において極限を持つと同時に、その極限がその点における関数の値と一致する場合には、関数はその点において連続であると言います。また、関数がその定義域である区間において連続であることの意味を解説します。

点における関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)における極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)について考える際には、\(f\)は必ずしも\(\alpha \)において定義されている必要はありません。また、\(f\)が\(\alpha \)において定義されている場合においても、\(f\)の\(\alpha \)における極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)と\(f\)の\(\alpha \)における値\(f\left( \alpha \right) \)は一致するとは限りません。

関数の極限について復習する

一方、\(f\)が\(\alpha \)において定義されており、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)と\(f\left( \alpha \right) \)が一致する場合には、\(f\)は\(\alpha \)において連続(continuous at \(\alpha \))であると言います。より正確には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(\alpha \in \mathbb{R}\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \alpha \in X \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=f(\alpha )
\end{eqnarray*}という条件がすべて成り立つとき、\(f\)は\(\alpha \)において連続であると言います。

上の 3 つの条件の中でも\(\left( a\right) \)は成り立つが、\(\left( b\right) ,\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合には、\(f\)は\(\alpha \)において不連続(discontinuous at \(\alpha \))であると言います。一方、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合には、すなわち関数\(f\)が点\(\alpha \)において定義されていない場合には、\(f\)は\(\alpha \)において連続でも不連続でもありません。関数が点において連続もしくは不連続であるためには、そもそもその点が関数の定義域に含まれている必要があるということです。

例(関数の連続性)
\(f\left( x\right) =3x\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は点\(1\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 1}3x=3
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =3\cdot 1=3
\end{equation*}が成り立ちます。両者が一致するため、\(f\)は\(1\)において連続です。
例(関数の連続性)
\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は点\(2\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 2}x^{2}=4
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
f\left( 2\right) =2^{2}=4
\end{equation*}が成り立ちます。両者が一致するため、\(f\)は\(2\)において連続です。

 

関数が点において連続であることの直感的な意味

関数が点において連続であることの直感的な意味を図を使って理解します。関数\(f\)が点\(\alpha \)において連続であるためには上の\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)の3つの条件がすべて満たされる必要があります。左下の図で表される関数\(f\)はそもそも点\(\alpha \)において定義されていないため、\(f\)は\(\alpha \)において連続でも不連続でもありません。また、右下の図で表される関数\(f\)は点\(\alpha \)において定義されており、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)は存在しますが、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)と\(f(\alpha )\)は一致せず、したがって条件\(\left( c\right) \)が満たされないため、この\(f\)は\(\alpha \)において連続ではありません。

図:不連続な関数
図:不連続な関数
図:不連続な関数
図:不連続な関数

左下の図で表される関数\(f\)は点\(\alpha \)において定義されていますが、\(\alpha \)において\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)は存在せず、したがって条件\(\left( b\right) \)が満たされないため、この\(f\)も\(\alpha \)において連続ではありません。最後に、右下の図で表される関数\(f\)は点\(\alpha \)において定義されており、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)が存在し、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\)と\(f(\alpha )\)が一致するため、この\(f\)は\(\alpha \)において連続です。

図:不連続な関数
図:不連続な関数
図:連続な関数
図:連続な関数

これらの例から明らかになったように、関数\(f\)が点\(\alpha \)において連続であることは、\(f\)のグラフが\(\alpha \)において途切れずにつながっていることを意味します。

 

関数が点において連続であることの厳密な定義

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において実数\(\beta \in \mathbb{R} \)へ収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。今、この関数\(f\)が点\(\alpha \)において連続であるならば、\(f\)の\(\alpha \)における極限である\(\beta \)は\(f\left( \alpha \right) \)と一致するため、上の論理式において\(\beta \)を\(f\left( \alpha \right) \)で置き換えることができます。さらに、\(f\)が\(\alpha \)において連続であるためには\(f\)はそもそも\(\alpha \)において定義されている必要があるため、上の論理式において\(x=\alpha \)の場合を除外する必要はありません。言い換えると、上の論理式中の\(0<|x-\alpha |\)の部分は不要です。 以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において連続であることは、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( |x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -f\left( \alpha \right) \right\vert <\varepsilon \right) \end{equation*}が成り立つこととして表現可能です。

例(関数の連続性)
\(f\left( x\right) =3x\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が点\(1\in \mathbb{R} \)において連続であることを示します。\(f\left( 1\right) =3\)であることを踏まえると、\(f\)が\(1\)において連続であることは、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-1|<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert 3x-3\right\vert <\varepsilon \right) \end{equation*}が成り立つことと表現できます。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert 3x-3\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &3\left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{3}
\end{eqnarray*}を得るため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として\(\delta =\frac{\varepsilon }{3}\)を選びます。実際、\(|x-1|<\frac{\varepsilon }{3}\)であるような任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert 3x-3\right\vert &=&3\left\vert x-1\right\vert \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because |x-1|<\frac{\varepsilon }{3} \\ &=&\varepsilon \end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。
例(関数の連続性)
\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が点\(2\in \mathbb{R} \)において連続であることを示します。\(f\left( 2\right) =4\)であることを踏まえると、\(f\)が\(2\)において連続であることは、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-2|<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert x^{2}-4\right\vert <\varepsilon \right) \end{equation*}が成り立つことと表現できます。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-4\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &\left\vert \left( x+2\right) \left( x-2\right) \right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x+2\right\vert \left\vert x-2\right\vert <\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ますが、このままでは\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補を推測できません。今は\(x\rightarrow 2\)の場合について考えているため、最終的に\(\left\vert x-2\right\vert <1\)になることが予想されます。そこで\(\delta \leq 1\)と仮定して話を進めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-2\right\vert <\delta \leq 1 &\Rightarrow &-1<x-2<1 \\
&\Rightarrow &1<x<3 \\
&\Rightarrow &3<x+2<5
\end{eqnarray*}すなわち\(\left\vert x+2\right\vert <5\)が成り立ちます。したがってこのとき、\begin{equation*}
\left\vert x+2\right\vert \left\vert x-2\right\vert <5\left\vert x-2\right\vert
\end{equation*}となるため、\(5\left\vert x-2\right\vert <\varepsilon \)すなわち\(\left\vert x-2\right\vert <\frac{\varepsilon }{5}\)が成り立つ場合には\(\left\vert x+2\right\vert \left\vert x-2\right\vert <\varepsilon \)が成り立つことが保証されます。つまり\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{5}\)ならば\(\left\vert x+2\right\vert \left\vert x-2\right\vert <\varepsilon \)が成り立ちます。以上の議論は\(\delta \leq 1\)と\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{5}\)がともに真の場合に妥当であるため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{5}\right\}
\end{equation*}を選びます。実際、\(\left\vert x-2\right\vert <\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{5}\right\} \)を満たす任意の実数\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-4\right\vert &=&\left\vert \left( x+2\right) \left( x-2\right) \right\vert \\
&=&\left\vert x+2\right\vert \left\vert x-2\right\vert \\
&<&5\left\vert x-2\right\vert \quad \because \left\vert x-1\right\vert <1 \\
&<&5\left( \frac{\varepsilon }{5}\right) \quad \because \left\vert x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{5} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

 

定義域において連続な関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上のある点では連続だが他の点では連続ではないという事態は十分に起こり得ます。一方、\(f\)が\(X\)上の任意の点において連続である場合には、\(f\)は\(X\)上で連続(continuous on \(X\))であると言います。

繰り返しになりますが、関数\(f\)が点において連続であることは、\(f\)のグラフがその点において途切れずにつながっていることを意味します。したがって、\(f\)が定義域である定義域\(X\)上で連続であることは、\(f\)のグラフ全体が途切れずにつながっていることを意味します。

関数の定義域\(X\)が途切れた点集合である場合や、閉区間のように端点を含む集合である場合には話が少し複雑になります。例として、有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。\(f\)が端点\(a\)において連続であることは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :\left( |x-a|<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。\(f\)は区間\(\left[ a,b\right] \)の左側の端点\(a\)より小さい任意の\(x\)において定義されていませんが、\(|x-a|<\delta \)を満たす\(x\)の中には\(a\)より小さい値が含まれています。したがって、そのような\(x\)に対して\(f\left( x\right) \)はそもそも定義されていないため、この場合に上の論理式は意味をなさなくなってしまいます。このような問題を踏まえた上で、端点を含む関数に関しては、その端点における連続性を片側連続という概念のもとで考えます。片側連続性については場を改めて解説します。

次回は関数の連続性と収束列の関係について解説します。
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