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関数の連続性

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点における関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束するかどうかを検討する際には\(f\)は\(a\)の周辺の任意の点において定義されていればよく、\(f\)は必ずしも\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が\(a\)において定義されていない場合でも\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) \)に相当する有限な実数が存在する可能性があります。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束する場合、この極限は\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。一方、関数\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束し、さらにこの極限が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、\(f\)は\(a\)において連続である(continuous at \(a\))であると言います。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。

上の3つの条件の中でも\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合、\(f\)は\(a\)において不連続である(discontinuous at \(a\))と言います。また、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合、つまり関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は\(a \)において連続でも不連続でもありません。関数が点において連続もしくは不連続であるためには、その点が関数の定義域に含まれている必要があるということです。

例(点において連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は定義域上の点\(1\in \mathbb{R} \)において連続でしょうか。\(f\)は\(1\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left(
3x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{x\rightarrow 1}x\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&3\cdot 1\quad \because \lim_{x\rightarrow 1}x=1 \\
&=&3 \\
&=&f\left( 1\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =f\left( 1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(1 \)において連続です。
例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。この関数は定義域上の点\(0\in \mathbb{R} \)において連続でしょうか。\(f\)は\(0\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となり、両者は一致しません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は\(0\)において連続ではありません。
例(点において連続でも不連続でもない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\in \mathbb{R} \)において連続でしょうか。この関数\(f\)は点\(0 \)において定義されていないため、\(0\)において連続でも不連続でもありません。

 

関数が点において連続であることの直感的な解釈

関数が点において連続であることの直感的な意味を図を使って理解します。繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。\(\left(a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合には\(f\)は点\(a\)において不連続であると言い、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合には\(f\)は点\(a\)において連続と不連続のどちらでもありません。

図:連続・不連続のどちらでもない関数
図:連続・不連続のどちらでもない関数

上の図で表される関数\(f\)はそもそも点\(a\)において定義されていないため、\(f\)は点\(a\)において連続と不連続のどちらでもありません。

図:連続ではない関数
図:連続ではない関数

上の図で表される関数は点\(a\)において定義されており、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束しますが、これは\(f\left(a\right) \)とは一致しないため、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

図:連続ではない関数
図:連続ではない関数

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)において定義されていますが、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

図:連続な関数
図:連続な関数

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)において定義されており、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束し、しかもそれは\(f\left( a\right) \)と一致するため、\(f\)は点\(a\)において連続です。以上の例から明らかになったように、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることは、\(f\)のグラフが定義域上の点\(a\)において途切れずにつながっていることを意味します。

 

イプシロン・デルタ論法による関数の連続性の定義

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。では、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることはどのように表現できるでしょうか。今、この関数\(f\)が点\(a\)において連続であるならば、\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限\(b\)は\(f\left( a\right) \)と一致するため、上の論理式中の\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。さらに、\(f\)が点\(a\)において連続であるためには\(f\)は点\(a\)において定義されている必要があるため、上の論理式において\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。言い換えると、上の論理式中の\(0<|x-a|\)の部分は不要です。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義できます。関数が点において連続であることの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(f\)は点\(2\in \mathbb{R} \)を含めた周辺の任意において定義されており、したがって\(f\)が点\(2\)において連続であるかどうか検討できます。そこで、\(f\)が点\(2\)において連続であることを示します。\(f\)が点\(2\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-2|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
2\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-2|<\delta \Rightarrow \left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-2|<\delta \Rightarrow 3\left\vert x-2\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{3}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選べば、\begin{equation}
|x-2|<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}3\left\vert x-2\right\vert &<&3\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
例(連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(1\in \mathbb{R} \)を含めた周辺の任意において定義されており、したがって\(f\)が点\(1\)において連続であるかどうか検討できます。そこで、\(f\)が点\(1\)において連続であることを示します。\(f\)が点\(1\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-1|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
1\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-1|<\delta \Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &=&\left\vert \left( x-1\right) \left(
x+1\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left\vert x+1\right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert x^{2}-1\right\vert \leq \left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(|x-1|<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert -1 &\leq &\left\vert x-1\right\vert \\
&<&1\quad \because |x-1|<1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert <2 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(|x-1|<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( 2+1\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&3\left\vert x-1\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-1|<1\Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert <3\left\vert
x-1\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}|x-1|<\delta \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &<&3\left\vert x-1\right\vert \quad \because
\left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&<&3\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 4\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
例(連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)を選びます。\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\left\{
a\right\}
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとは言えず、したがって、極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)は存在しません。したがって、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}という条件が成立するか否かを検討することもできないため、\(f\)は\(a\)において連続ではないということになります。一方、イプシロン・デルタ論法にもとづく連続性の定義のもとでは、\(f\)は孤立点\(a\)において連続であると判定されます(演習問題にします)。このような事情を踏まえると、イプシロン・デルタ論法にもとづく連続性の定義は、関数の極限を前提とする連続性の定義と必要十分ではないことになります。ただ、関数が孤立点において連続であると考えても不都合は生じないため、イプシロン・デルタ論法にもとづく連続性の定義も引き続き採用します。

 

演習問題

問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x-2
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(3\in \mathbb{R} \)において連続であることを、関数の極限を用いた連続性の定義、およびイプシロン・デルタ論法による連続性の定義のそれぞれの方法で証明してください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることを、関数の極限を用いた連続性の定義、およびイプシロン・デルタ論法による連続性の定義のそれぞれの方法で証明してください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(1\in \mathbb{R} \)において連続であることを、関数の極限を用いた連続性の定義、およびイプシロン・デルタ論法による連続性の定義のそれぞれの方法で証明してください。
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問題(孤立点における連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)を選びます。\(a\)が\(X\)の孤立点である場合、関数の極限を用いた連続性の定義のもとでは\(f\)は点\(a\)において連続ではない一方、イプシロン・デルタ論法による連続性の定義のもとでは\(f\)は点\(a\)において連続であることを示してください。
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次回は関数が連続であることを数列を用いて判定する方法について解説します。

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