関数の連続性

関数が定義域上の点において有限な極限を持つと同時に、その極限がその点における関数の値と一致する場合には、関数はその点において連続であると言います。関数の連続性は収束する数列を用いて表現することもできます。
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点における関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束するかどうかを検討する際には\(f\)は\(a\)の周辺の任意において定義されていればよく、\(f\)は必ずしも\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が\(a\)において定義されていない場合でも\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)に相当する有限な実数が存在する可能性があります。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束する場合、この極限は\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。一方、関数\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束し、さらにこの極限が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、\(f\)は\(a\)において連続である(continuous at \(a\))であると言います。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in
\mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。

上の3つの条件の中でも\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合、\(f\)は\(a\)において不連続である(discontinuous at \(a\))と言います。また、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合、つまり関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は\(a\)において連続でも不連続でもありません。関数が点において連続もしくは不連続であるためには、その点が関数の定義域に含まれている必要があるということです。

例(点において連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は定義域上の点\(1\in \mathbb{R} \)において連続でしょうか。\(f\)は\(1\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left(
3x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{x\rightarrow 1}x\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&3\cdot 1\quad \because \lim_{x\rightarrow 1}x=1 \\
&=&3 \\
&=&f\left( 1\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =f\left( 1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(1\)において連続です。
例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。この関数は定義域上の点\(0\in \mathbb{R} \)において連続でしょうか。\(f\)は\(0\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの片側極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となり、両者は一致しません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は\(0\)において連続ではありません。
例(点において連続でも不連続でもない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\in \mathbb{R} \)において連続でしょうか。この関数\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、\(0\)において連続でも不連続でもありません。

 

関数が点において連続であることの直感的な解釈

関数が点において連続であることの直感的な意味を図を使って理解します。繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in
\mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合には\(f\)は\(a\)において不連続であると言い、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合には\(f\)は\(a\)において連続と不連続のどちらでもありません。

図:連続・不連続のどちらでもない関数
図:連続・不連続のどちらでもない関数

上の図で表される関数\(f\)はそもそも点\(a\)において定義されていないため、\(f\)は\(a\)において連続と不連続のどちらでもありません。

図:連続ではない関数
図:連続ではない関数

上の図で表される関数は点\(a\)において定義されており、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数\(\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)\)へ収束しますが、これは\(f\left( a\right) \)とは一致しないため、\(f\)は\(a\)において連続ではありません。

図:連続ではない関数
図:連続ではない関数

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)において定義されていますが、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は\(a\)において連続ではありません。

図:連続な関数
図:連続な関数

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)において定義されており、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数\(\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)\)へ収束し、しかもそれは\(f\left( a\right) \)と一致するため、\(f\)は\(a\)において連続です。以上の例から明らかになったように、関数\(f\)が点\(\alpha \)において連続であることは、\(f\)のグラフが定義域上の点\(a\)において途切れずにつながっていることを意味します。

 

イプシロン・デルタ論法による関数の連続性の定義

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。では、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることはどのように表現できるでしょうか。今、この関数\(f\)が点\(a\)において連続であるならば、\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限\(b\)は\(f\left( a\right) \)と一致するため、上の論理式中の\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。さらに、\(f\)が\(a\)において連続であるためには\(f\)は\(a\)において定義されている必要があるため、上の論理式において\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。言い換えると、上の論理式中の\(0<|x-a|\)の部分は不要です。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義できます。関数が点において連続であることの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(点において連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\(f\)が点\(1\in \mathbb{R} \)において連続であることを示します。\(f\left( 1\right) =3\)であることを踏まえると、\(f\)が\(1\)において連続であることとは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
\mathbb{R} :\left( |x-1|<\delta \Rightarrow \left\vert 3x-3\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを証明します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert 3x-3\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &3\left\vert
x-1\right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{3}
\end{eqnarray*}を得るため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\frac{\varepsilon }{3}
\end{equation*}を選びます。実際、\(|x-1|<\frac{\varepsilon }{3}\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert 3x-3\right\vert &=&3\left\vert x-1\right\vert \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because |x-1|<\frac{\varepsilon }{3}
\\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。
例(点において連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\(f\)が点\(1\in \mathbb{R} \)において連続であることを示します。\(f\left( 1\right) =1\)であることを踏まえると、\(f\)が\(1\)において連続であることとは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
\mathbb{R} :\left( |x-1|<\delta \Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを証明します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-1\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &\left\vert \left(
x+1\right) \left( x-1\right) \right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert
<\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ますが、このままでは\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補を推測できません。今は\(x\rightarrow 1\)の場合について考えているため、最終的に\(\left\vert x-1\right\vert <1\)になることが予想されます。そこで\(\delta \leq 1\)と仮定して話を進めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-1\right\vert <\delta \leq 1 &\Rightarrow &-1<x-1<1 \\
&\Rightarrow &0<x<2 \\
&\Rightarrow &1<x+1<3
\end{eqnarray*}すなわち\(\left\vert x+1\right\vert <3\)が成り立ちます。したがってこのとき、\begin{equation*}
\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert <3\left\vert
x-1\right\vert
\end{equation*}となるため、\(3\left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \)すなわち\(\left\vert x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{3}\)が成り立つ場合には\(\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \)が成り立つことが保証されます。つまり\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{3}\)ならば\(\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \)が成り立ちます。以上の議論は\(\delta \leq 1\)と\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{3}\)がともに真の場合に妥当であるため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\}
\end{equation*}を選びます。実際、\(\left\vert x-1\right\vert <\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\} \)を満たす任意の実数\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-1\right\vert &=&\left\vert \left( x+1\right) \left(
x-1\right) \right\vert \\
&=&\left\vert x+1\right\vert \left\vert x-1\right\vert \\
&<&3\left\vert x-1\right\vert \quad \because \left\vert x-1\right\vert <1 \\
&<&3\left( \frac{\varepsilon }{3}\right) \quad \because \left\vert
x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{3} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

 

数列を用いた関数の連続性の定義

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは数列を用いて表現することもできます。具体的には、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだときに、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することは、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(b\)へ収束するための必要十分条件です。では、関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることもまた数列を用いて表現できるでしょうか。

上の関数\(f\)が点\(a\)において連続であるものとします。\(f\)が\(a\)において連続であることは\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限が\(f\left( a\right) \)と一致することを意味するため、上の命題中の\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(f\)が\(a\)において連続である場合には\(f\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、上の命題中の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(a\)を項として持つ可能性を排除する必要はありません。以上を踏まえると、関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだときに、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束することとして表現できそうです。実際、これは正しい主張です(証明は演習問題にします)。

命題(数列を用いた関数の連続性の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において連続であるための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(数列を用いた関数の連続性の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は定義域上の点\(2\in \mathbb{R} \)において連続でしょうか。一般項が\begin{equation*}
x_{n}=2+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)に注目します。この数列は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)上の点を項とし、なおかつ\(2\)へ収束する数列です。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>2\)であるため、\(f\)の定義より、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{equation*}
f\left( x_{n}\right) =\left( 2+\frac{1}{n}\right) +3=5+\frac{1}{n}
\end{equation*}となり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty
}\left( 5+\frac{1}{n}\right) =5
\end{equation*}となりますが、これは\(f\left( 2\right) =2+1=3\)と一致しません。先の命題より、このような数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することは\(f\)が\(2\)において連続ではないことを意味します。

次回は関数の片側連続性について解説します。

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