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関数

関数の連続性

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点における関数の連続性

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall \delta >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap \left( X\backslash
\left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず何らかの有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

集積点の定義より、関数\(f\)は集積点\(a\)の周辺の点において定義されている一方で、点\(a\)自身において定義されているとは限りません。ただ、\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ収束するかを検討する際には、\(f\)は点\(a\)の周辺の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束する状況は起こり得ます。また、関数\(f\)が集積点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束する場合、その極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束し、さらにその極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において連続である(continuous at \(a\))であると言います。逆に、以上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、関数\(f\)は点\(a\)において不連続である(discontinuous at \(a\))と言います。

関数\(f\)の定義域上の点\(a\in X\)が定義域\(X\)の集積点ではない場合、\(a\)は\(X\)の孤立点になります。この場合、関数\(f\)は点\(a\)において連続であるものと定めます。その根拠は後ほど解説します

例(点において連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(a\)は定義域\(\mathbb{R} \)の集積点であるとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
3x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&3a\quad \because \text{恒等関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続であることが明らかになりました。
例(点において連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の端点\(0\in \mathbb{R} _{+}\)に注目したとき、これは定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の集積点であるとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\sqrt{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{0}\quad \because \text{無理関数の右側極限} \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において連続であることが明らかになりました。
例(点において連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の端点\(0\in \left\{ 0\right\} \)に注目したとき、これは定義域\(\left\{0\right\} \)の孤立点であるため、\(f\)は点\(0\)において連続です。

 

関数は連続であるとは限らない

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。したがって、これらの条件の中の少なくとも1つが成立しない場合、関数\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

関数は点において連続であるとは限りません。まずは、条件\(\left( a\right) \)が成り立たないがゆえに連続ではないケースを挙げます。

例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。

続いて、条件\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で条件\(\left( b\right) \)が成り立たないがゆえに連続ではないケースを挙げます。

例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。定義域上の点\(0\in \mathbb{R} \)に注目したとき、これは定義域\(\mathbb{R} \)の集積点です。その一方で、左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}であり、両者は一致しません。したがって\(x\rightarrow 0\)の場合に関数\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。

最後に、条件\(\left( a\right) ,\left(b\right) \)が成り立つ一方で条件\(\left( c\right) \)が成り立たないがゆえに連続ではないケースを挙げます。

例(点において連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(0\in \mathbb{R} \)に注目したとき、これは定義域\(\mathbb{R} \)の集積点です。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
f\left( 0\right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \not=f\left( 0\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。

 

関数が点において連続であることの直感的な解釈

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。一方、以上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、関数\(f\)は点\(a\)において不連続です。

図:関数が不連続な点
図:関数が不連続な点

上の図で表される関数\(f\)はそもそも点\(a\)において定義されていないため、\(f\)は点\(a\)において不連続です。

図:関数が不連続な点
図:関数が不連続な点

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)および周辺の点において定義されており、\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束しますが、その極限が\(f\left(a\right) \)とは一致しないため、\(f\)は点\(a\)において不連続です。

図:関数が不連続な点
図:関数が不連続な点

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)および周辺の点において定義されていますが、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(a\)において不連続です。

図:関数が連続な点
図:関数が連続な点

上の図で表される関数\(f\)は点\(a\)および周辺の点において定義されており、\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束し、しかもそれは\(f\left( a\right) \)と一致するため、\(f\)は点\(a\)において連続です。以上の例から明らかであるように、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることは、\(f\)のグラフが定義域上の点\(a\)において途切れずにつながっていることを意味します。

 

集合上で連続な関数

先に例を通じて確認したように、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(X\)上のすべての点において連続であるとは限りません。そこで、関数\(f\)が連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)上で連続である(continuous on \(Y\))と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(f\)が定義域上\(X\)のすべての点において連続である場合、\(f\)は連続である(continuous)と言います。

例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、この関数\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点\(a\)において同様であるため、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数は定義域の端点\(0\in \mathbb{R} _{+}\)において連続です。また、定義域の内点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、これは定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の集積点であるとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{x}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{a}\quad \because \text{無理関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点\(a\)において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。したがって、この関数\(f\)は定義域\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続です。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数は定義域上の唯一の点\(0\in \left\{0\right\} \)において連続です。したがって、この関数\(f\)は定義域\(\left\{ 0\right\} \)上で連続です。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。その一方で、定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、これは定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の集積点であるとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\lim\limits_{x\rightarrow a}x}\quad
\because \text{有理関数の極限} \\
&=&\frac{1}{a}\quad \because \text{恒等関数および定数関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、この関数\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。先に示したように、この関数は定義域上の点\(0\)において連続ではありません。一方、\(0\)とは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、これは定義域\(\mathbb{R} \)の集積点であるとともに、\(a<0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}0\quad
\because a<0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&0\quad \because \text{定数関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\(a>0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because a>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1\quad \because \text{定数関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、この関数\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上では連続ではないものの、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であることが明らかになりました。
例(集合上で連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。一方、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、これは定義域\(\mathbb{R} \)の集積点であるとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because a\not=0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&a\quad \because \text{恒等関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、この関数\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上では連続ではないものの、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x-2
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x-1}{x^{2}+2x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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問題(加法的関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right)
\end{equation*}を満たす場合、\(f\)は加法的関数(additive function)であると言います。加法的関数\(f\)が連続な点\(a\in \mathbb{R} \)が存在する場合には、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続であることを示してください。
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