絶対値関数の極限
絶対値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定まる値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}であるということです。
点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}となります。
命題（絶対値関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
例（絶対値関数の極限）
絶対値関数\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}\left\vert x\right\vert &=&\left\vert 1\right\vert =1
\\
\lim_{x\rightarrow 0}\left\vert x\right\vert &=&\left\vert 0\right\vert =0
\\
\lim_{x\rightarrow -1}\left\vert x\right\vert &=&\left\vert -1\right\vert =1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}\left\vert x\right\vert &=&\left\vert 1\right\vert =1
\\
\lim_{x\rightarrow 0}\left\vert x\right\vert &=&\left\vert 0\right\vert =0
\\
\lim_{x\rightarrow -1}\left\vert x\right\vert &=&\left\vert -1\right\vert =1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（絶対値関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x+x+1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =3a^{3}-2a^{2}+a+1
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\in \mathbb{R} \)であるため、絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 3a^{3}-2a^{2}+a+1}\left\vert x\right\vert =\left\vert
3a^{3}-2a^{2}+a+1\right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において連続）。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left\vert 3a^{3}-2a^{2}+a+1\right\vert \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x+x+1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =3a^{3}-2a^{2}+a+1
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\in \mathbb{R} \)であるため、絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 3a^{3}-2a^{2}+a+1}\left\vert x\right\vert =\left\vert
3a^{3}-2a^{2}+a+1\right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において連続）。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left\vert 3a^{3}-2a^{2}+a+1\right\vert \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
例（絶対値関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] =\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)のもとでは\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\in \mathbb{R} \)であるため、絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}\left\vert
x\right\vert =\left\vert \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right\vert
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(\frac{2a+1}{\left(1-a\right) ^{3}}\)において連続）。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left\vert \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right\vert \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] =\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)のもとでは\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\in \mathbb{R} \)であるため、絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}\left\vert
x\right\vert =\left\vert \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right\vert
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(\frac{2a+1}{\left(1-a\right) ^{3}}\)において連続）。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left\vert \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right\vert \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
絶対値関数の片側極限
片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。
命題（絶対値関数の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left\vert
a\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\left\vert
a\right\vert
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left\vert
a\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\left\vert
a\right\vert
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
絶対値関数の無限大における極限
絶対値関数の無限大における極限は以下の通りです。
命題（絶対値関数の無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
例（絶対値関数の無限大における）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x+x+1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x^{3}\left( x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty
\end{equation*}となります。やはり、多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ x^{3}\left( x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{3}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x+x+1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x^{3}\left( x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty
\end{equation*}となります。やはり、多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ x^{3}\left( x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{3}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty
\end{equation*}となります。
演習問題
問題（絶対値関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -3+}\frac{x-3}{\left\vert x-3\right\vert }
\end{equation*}を求めてください。
\lim_{x\rightarrow -3+}\frac{x-3}{\left\vert x-3\right\vert }
\end{equation*}を求めてください。
問題（絶対値関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -5-}\frac{\left( x+5\right) ^{2}}{\left\vert \left(
x+5\right) ^{2}\right\vert }
\end{equation*}を求めてください。
\lim_{x\rightarrow -5-}\frac{\left( x+5\right) ^{2}}{\left\vert \left(
x+5\right) ^{2}\right\vert }
\end{equation*}を求めてください。
問題（絶対値関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 6}\frac{\left\vert x+4\right\vert }{x+4}
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。
\lim_{x\rightarrow 6}\frac{\left\vert x+4\right\vert }{x+4}
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。
問題（絶対値関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 9}\frac{\left\vert x-9\right\vert }{x-9}
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。
\lim_{x\rightarrow 9}\frac{\left\vert x-9\right\vert }{x-9}
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。
問題（絶対値関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -6}\frac{x+6}{\left\vert x-5\right\vert }
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。
\lim_{x\rightarrow -6}\frac{x+6}{\left\vert x-5\right\vert }
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。
問題（絶対値関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 5}\frac{\left\vert x^{2}-10x+25\right\vert }{\left(
x-5\right) ^{2}}
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。
\lim_{x\rightarrow 5}\frac{\left\vert x^{2}-10x+25\right\vert }{\left(
x-5\right) ^{2}}
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。
問題（絶対値関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2}\frac{\left( x-7\right) \left( x+2\right) }{\left\vert
x+2\right\vert }
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。
\lim_{x\rightarrow -2}\frac{\left( x-7\right) \left( x+2\right) }{\left\vert
x+2\right\vert }
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。
問題（絶対値関数の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2-}\left[ \left( x+3\right) \frac{\left\vert
x+2\right\vert }{x+2}\right] \end{equation*}を求めてください。
\lim_{x\rightarrow -2-}\left[ \left( x+3\right) \frac{\left\vert
x+2\right\vert }{x+2}\right] \end{equation*}を求めてください。
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