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絶対値関数の極限

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絶対値関数の極限

絶対値関数\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x>0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。つまり、\(\left\vert x\right\vert \)は変数\(x\)の値に応じて恒等関数\(x\)やその定数倍\(-x\)、もしくは定数関数\(0\)になるため、\(\left\vert x\right\vert \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されます。

命題(絶対値関数の極限)
絶対値関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(絶対値関数の極限)
絶対値関数は全区間上に定義可能であるため、関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\left\vert x\right\vert \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

例(絶対値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x+x+1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =3a^{3}-2a^{2}+a+1
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は\(\mathbb{R} \)上に定義されるため、\(\left\vert a\right\vert \)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)の周辺の任意の点において定義されており、したがって絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 3a^{3}-2a^{2}+a+1}\left\vert x\right\vert =\left\vert
3a^{3}-2a^{2}+a+1\right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left\vert 3a^{3}-2a^{2}+a+1\right\vert \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(絶対値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] =\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は\(\mathbb{R} \)上に定義されるため、\(\left\vert a\right\vert \)は点\(\frac{2a+1}{\left(1-a\right) ^{3}}\)の周辺の任意の点において定義されており、したがって絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}\left\vert
x\right\vert =\left\vert \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right\vert
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(\frac{2a+1}{\left(1-a\right) ^{3}}\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left\vert \frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right\vert \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

絶対値関数の片側極限

片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(絶対値関数の片側極限)
絶対値関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。また、\(\left\vert x\right\vert \)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

例(絶対値関数の極限)
有界閉区間上に定義された絶対値関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、絶対値関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(0\)に注目したとき、絶対値関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(1\)に注目したとき、絶対値関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1-}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

 

絶対値関数の無限大における極限

絶対値関数の無限大における極限は以下の通りです。

命題(絶対値関数の無限大における極限)
絶対値関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく大きい任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty
\end{equation*}が成り立つ。また、\(\left\vert x\right\vert \)が限りなく小さい任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty
\end{equation*}が成り立つ。

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例(絶対値関数の無限大における)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x+x+1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x^{3}\left( x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =+\infty
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty
\end{equation*}となります。やはり、多項式関数の無限大における極限より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ x^{3}\left( x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{3}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
x^{3}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) =+\infty
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は限りなく大きい任意の値において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および合成関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert =+\infty
\end{equation*}となります。

 

演習問題

問題(絶対値関数の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -3+}\frac{x-3}{\left\vert x-3\right\vert }
\end{equation*}を求めてください。

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問題(絶対値関数の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -5-}\frac{\left( x+5\right) ^{2}}{\left\vert \left(
x+5\right) ^{2}\right\vert }
\end{equation*}を求めてください。

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問題(絶対値関数の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 6}\frac{\left\vert x+4\right\vert }{x+4}
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。

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問題(絶対値関数の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 9}\frac{\left\vert x-9\right\vert }{x-9}
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。

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問題(絶対値関数の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -6}\frac{x+6}{\left\vert x-5\right\vert }
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。

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問題(絶対値関数の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 5}\frac{\left\vert x^{2}-10x+25\right\vert }{\left(
x-5\right) ^{2}}
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。

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問題(絶対値関数の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2}\frac{\left( x-7\right) \left( x+2\right) }{\left\vert
x+2\right\vert }
\end{equation*}は存在するでしょうか。議論してください。

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問題(絶対値関数の極限)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2-}\left[ \left( x+3\right) \frac{\left\vert
x+2\right\vert }{x+2}\right] \end{equation*}を求めてください。

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