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絶対値関数の極限

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絶対値関数

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x>0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるとき、\(f\)を絶対値関数(absolute value function)と呼びます。つまり、絶対値関数とは入力した\(x\)に対してその絶対値\(\left\vert x\right\vert \)を返す関数です。

図:絶対値関数
図:絶対値関数

絶対値関数のグラフは以上の通りです。\(y\)軸を中心に左右対称の形をしています。

例(絶対値関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}であるものとします。つまり\(f\)は絶対値関数です。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&\left\vert 1\right\vert =1 \\
f\left( 0\right) &=&\left\vert 0\right\vert =0 \\
f\left( -1\right) &=&\left\vert -1\right\vert =1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

関数\(f\left( x\right) \)を用いて\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)という形で定義される関数に関しても同様に考えます。

例(絶対値関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\vert 2x-1\right\vert
\end{equation*}であるものとします。絶対値の定義より、\(2x-1>0\)すなわち\(x>\frac{1}{2}\)の場合には、\begin{equation*}
\left\vert 2x-1\right\vert =2x-1
\end{equation*}であり、\(2x-1=0\)すなわち\(x=\frac{1}{2}\)の場合には、\begin{equation*}
\left\vert 2x-1\right\vert =\left\vert 2\cdot \frac{1}{2}-1\right\vert =0
\end{equation*}であり、\(2x-1<0\)すなわち\(x<\frac{1}{2}\)の場合には、\begin{equation*}
\left\vert 2x-1\right\vert =-\left( 2x-1\right) =-2x+1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\vert 2x-1\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
2x-1 & \left( if\ x>\frac{1}{2}\right) \\
0 & \left( if\ x=\frac{1}{2}\right) \\
-2x+1 & \left( if\ x<\frac{1}{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

 

絶対値関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が絶対値関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つということです。以下ではこの関数の極限を求めます。

絶対値関数は\(x\)の値によって関数形が変わるため場合を分けて考えます。まず、\(a>0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
x\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad \because a>0\text{と}f\text{の定義} \\
&=&a\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。続いて、\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
x\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( -x\right) \quad \because a<0\text{と}f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&-a\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。最後に、\(a=0\)に関しては、そこでの左右の片側極限が、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left\vert
x\right\vert =\lim_{x\rightarrow 0+}x=0 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left\vert
x\right\vert =\lim_{x\rightarrow 0-}\left( -x\right) =0
\end{eqnarray*}となり両者は一致するため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0
\end{equation*}となることが明らかになりました。以上の議論を総合すると、絶対値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束し、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
a & \left( if\ a>0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right) \\
-a & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となることが明らかになりました。

命題(命題関数の極限)

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は絶対値関数であるものとする。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
a & \left( if\ a>0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right) \\
-a & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。

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例(絶対値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}であるものとします。つまり\(f\)は絶対値関数です。このとき、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left\vert
x\right\vert =1 \\
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left\vert
x\right\vert =0 \\
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -1}\left\vert
x\right\vert =1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

関数\(f\left( x\right) \)を用いて\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)という形で定義される関数に関しても同様に考えます。

例(絶対値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\vert 2x-1\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
2x-1 & \left( if\ x>\frac{1}{2}\right) \\
0 & \left( if\ x=\frac{1}{2}\right) \\
-2x+1 & \left( if\ x<\frac{1}{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>\frac{1}{2}\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
2x-1\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x-1\right) \quad \because a>\frac{1}{2}\text{と}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}2x-\lim_{x\rightarrow a}1\quad \because \text{収束する関数の差の極限} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}x-\lim_{x\rightarrow a}1\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&2a-1\quad \because \text{恒等関数および定数関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。\(a<\frac{1}{2}\)の場合や\(a=\frac{1}{2}\)の場合についても同様に考えることにより(演習問題にします)、\(f\)はそれぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束し、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
2a-1 & \left( if\ a>\frac{1}{2}\right) \\
0 & \left( if\ a=\frac{1}{2}\right) \\
-2a+1 & \left( if\ a<\frac{1}{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となることが示されます。
例(絶対値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =2x+\left\vert x-3\right\vert
\end{equation*}を定めます。この関数\(f\)は\(x\rightarrow 3\)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) =6
\end{equation*}となります(演習問題にします)。
例(絶対値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{x^{2}-1}{\left\vert x-1\right\vert }
\end{equation*}を定めます。この関数\(f\)は\(x\rightarrow 1\)のときに有限な実数へ収束しません(演習問題にします)。

 

絶対値関数の無限大における極限

絶対値関数の無限大における極限はどうなるでしょうか。まずは\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限です。\(x\)が正の値をとるとき、絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は恒等関数\(x\)と一致します。恒等関数\(x\)に関しては、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)に関しても、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }x\quad \because x>0 \\
&=&+\infty \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。続いて\(x\rightarrow -\infty \)の場合です。\(x\)が負の値をとるとき、絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は恒等関数の定数倍\(-x\)と一致します。恒等関数\(x\)に関しては、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }x=-\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left\vert x\right\vert &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }\left( -x\right) \quad \because x<0 \\
&=&-\lim_{x\rightarrow -\infty }x\quad \because \text{発散する関数の定数倍} \\
&=&-\left( -\infty \right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&+\infty \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

命題(絶対値関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は絶対値関数であるものとする。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}などが成り立つ。
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次回は単項式関数が収束することを示します。

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