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関数の定数倍の極限

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点において収束する関数の定数倍の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、関数\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(点において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)が与えられたとき、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限を\(c\)倍すれば\(c\cdot f\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。

例(点において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-1\)倍)として定義されています。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x=a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
-x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&-a\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において片側収束する関数の定数倍の片側極限

片側極限についても同様の命題が成り立ちます。

命題(点において片側収束する関数の定数倍の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f\)が\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。

証明

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例(点において片側収束する関数の定数倍の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-\frac{1}{\pi }\)倍)として定義されています。定義域の端点\(0\)について、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{x}{\pi }\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{\pi }\lim_{x\rightarrow 0+}x\quad \because \text{右側収束する関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{\pi }\cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。定義域のもう一方の端点\(1\)について、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1-}x=1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( -\frac{x}{\pi }\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{\pi }\lim_{x\rightarrow 1-}x\quad \because \text{左側収束する関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{\pi }\cdot 1\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\frac{1}{\pi }
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において収束する関数の定数倍の極限

無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます。

命題(無限大において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

例(無限大において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は関数\(\frac{1}{x}\)の定数倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)として定義されています。関数\(\frac{1}{x}\)は正の無限大において有限な実数へ収束し、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -\frac{1}{2x}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&-\frac{1}{2}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
\quad \because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、関数\(\frac{1}{x}\)は負の無限大において有限な実数へ収束し、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -\frac{1}{2x}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&-\frac{1}{2}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
\quad \because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 0\quad \because \left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において発散する関数の定数倍の極限

関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、関数\(c\cdot f\)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}c\cdot \left( +\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
0 & \left( if\quad c=0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \\
c\cdot \left( -\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
0 & \left( if\quad c=0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(点において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、関数\(c\cdot f\)の極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(点において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は関数\(\frac{1}{x}\)の定数倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)として定義されています。点\(0\)について、関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{2x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because
\text{発散する関数の積の極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left( 1\right)
\\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において発散する関数の定数倍の極限

関数\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f\)が正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合や、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f\)が正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、関数\(c\cdot f\)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}c\cdot \left( +\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
0 & \left( if\quad c=0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \\
c\cdot \left( -\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
0 & \left( if\quad c=0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(無限大において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合や、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、関数\(c\cdot f\)の極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(無限大において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は関数\(\frac{1}{x}\)の定数倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)として定義されています。恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -\frac{x}{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow +\infty }x\quad \because \text{発散する関数の積の極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left( 1\right)
\\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }x=-\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( -\frac{x}{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow \infty }x\quad \because \text{発散する関数の積の極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot \left( -\infty \right) \quad \because \left( 2\right)
\\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{7\pi }{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の\(f\)の極限や、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の\(f\)の極限を求めてください。
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問題(関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{2x}{7\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の\(f\)の極限や、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の\(f\)の極限を求めてください。
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次回は複数の関数の和として表される関数の極限について解説します。

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