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関数の定数倍の極限(定数倍の法則)

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恒等関数の極限

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点において収束する関数の定数倍の極限

実数\(c\in \mathbb{R} \)と関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ収束するならば、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の収束可能性を検討する際には、関数の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。

命題(点において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(cf\)もまた有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(点において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x=a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
-x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \text{関数の定数倍の極限} \\
&=&-a\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において片側収束する関数の定数倍の片側極限

片側極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数\(c\in \mathbb{R} \)と関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。

右側極限をとるために、点\(a\in \mathbb{R} \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点である状況を想定します。\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ右側収束するならば、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束するとともに、両者の右側極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

左側極限をとるために、点\(a\in \mathbb{R} \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点である状況を想定します。\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ左側収束するならば、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束するとともに、両者の左側極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の片側収束可能性を検討する際には、関数の片側極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が片側収束することを確認すればよいということになります。

命題(点において片側収束する関数の定数倍の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。

  1. 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるものとする。\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ右側収束するならば、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(cf\)もまた有限な実数へ右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
    \end{equation*}が成り立つ。
  2. 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点であるものとする。\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ左側収束するならば、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(cf\)もまた有限な実数へ左側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
    \end{equation*}が成り立つ。
証明

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例(点において片側収束する関数の定数倍の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)について、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
-x\right) \quad \because x>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}x\quad \because \text{関数の定数倍の片側極限} \\
&=&-0\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0-}x=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}x\quad
\because x<0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、関数の極限と片側極限の関係より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0
\end{equation*}もまた成り立ちます。

 

無限大において収束する関数の定数倍の極限

無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数\(c\in \mathbb{R} \)と関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。

正の無限大における極限をとるために、関数\(f\)が以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}を満たす状況を想定します。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ収束するならば、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

負の無限大における極限をとるために、関数\(f\)が以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}を満たす状況を想定します。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ収束するならば、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(無限大において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。

  1. 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
    \end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に関数\(cf\)もまた有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
    =c\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
    \end{equation*}が成り立つ。
  2. 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
    \end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に関数\(cf\)もまた有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
    =c\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
    \end{equation*}が成り立つ。
証明

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例(無限大において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(\frac{1}{x}\)に関しては、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -\frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&-\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because
\text{関数の定数倍の極限} \\
&=&-0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、関数\(\frac{1}{x}\)に関しては、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -\frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&-\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because
\text{関数の定数倍の極限} \\
&=&-0\quad \because \left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において発散する関数の定数倍の極限

発散する関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数\(c\in \mathbb{R} \)と関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。

関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f\)が正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、関数\(cf\)の極限に関して以下の関係\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray}c\cdot \left( +\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2) \\
c\cdot \left( -\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が前提になっています。

以上の主張を具体的に表現すると、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty \quad \cdots (4)
\end{equation}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right)
&=&c\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&c\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left( 4\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty \quad \cdots (5)
\end{equation}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right)
&=&c\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&c\cdot \left( -\infty \right) \quad \because \left( 5\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。

ちなみに、\(c=0\)の場合には関数\(cf\)は定数関数\(0\)になるため、この場合には\(cf\)は有限な実数\(0\)へ収束します。

命題(点において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f\)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、関数\(cf\)の極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(点において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)について、関数\(\frac{1}{x^{2}}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because \text{関数の定数倍の極限} \\
&=&-1\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において片側発散する関数の定数倍の極限

片側発散する関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数\(c\in \mathbb{R} \)と関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。

右側極限をとるために、点\(a\in \mathbb{R} \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点である状況を想定します。\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(f\)が無限大へ発散する場合にも、関数\(cf\)の右側極限に関して以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray*}c\cdot \left( +\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \\
c\cdot \left( -\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が前提になっています。

左側極限をとるために、点\(a\in \mathbb{R} \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点である状況を想定します。\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(f\)が無限大へ発散する場合にも、関数\(cf\)の左側極限に関して以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray*}c\cdot \left( +\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \\
c\cdot \left( -\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が前提になっています。

ちなみに、\(c=0\)の場合には関数\(cf\)は定数関数\(0\)になるため、この場合には\(cf\)は有限な実数\(0\)へ片側収束します。

命題(点において片側発散する関数の定数倍の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。

  1. 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるものとする。\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(f\)が無限大へ発散するならば、関数\(cf\)の右側極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
    \end{equation*}を満たす。
  2. 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点であるものとする。\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(f\)が無限大へ発散するならば、関数\(cf\)の左側極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
    \end{equation*}を満たす。
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例(点において片側発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)について、関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{関数の定数倍の片側極限} \\
&=&-1\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x}=-\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left( -\frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0-}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{関数の定数倍の片側極限} \\
&=&-1\cdot \left( -\infty \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において発散する関数の定数倍の極限

無限大において発散する関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数\(c\in \mathbb{R} \)と関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。

正の無限大における極限をとるために、関数\(f\)が以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}を満たす状況を想定します。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に関数\(f\)が無限大へ発散する場合には、関数\(cf\)の極限に関して以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray*}c\cdot \left( +\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \\
c\cdot \left( -\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が前提になっています。

負の無限大における極限をとるために、関数\(f\)が以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}を満たす状況を想定します。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に関数\(f\)が無限大へ発散する場合には、関数\(cf\)の極限に関して以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray*}c\cdot \left( +\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \\
c\cdot \left( -\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(無限大において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。

  1. 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
    \end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に関数\(f\)が無限大へ発散するならば、関数\(cf\)の極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
    =c\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
    \end{equation*}を満たす。
  2. 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
    \end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に関数\(f\)が無限大へ発散するならば、関数\(cf\)の極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
    =c\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
    \end{equation*}を満たす。
証明

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例(無限大において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow +\infty }x\quad \because \text{関数の定数倍の極限} \\
&=&-1\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }x=-\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow -\infty }x\quad \because \text{関数の定数倍の極限} \\
&=&-1\cdot \left( -\infty \right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{7\pi }{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の\(f\)の極限や、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の\(f\)の極限を求めてください。
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問題(関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{2x}{7\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の\(f\)の極限や、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の\(f\)の極限を求めてください。
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関連知識

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