関数の極限と定数倍

収束する関数を定数倍して得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の定数倍になります。また、このような関係は無限極限に関しても拡張可能です。

関数 極限 収束 定数倍

点において収束する関数の定数倍の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\)が与えられたとき、この関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)を\(c\)倍して得られる値\(c\cdot f\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を構成できます。

関数\(f\)が点において収束する場合には関数\(c\cdot f\)もまた収束し、両者の極限の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(点において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(f\)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において有限な実数に収束するならば関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(\alpha \)において有限な実数に収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot \lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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上の命題より、関数\(f\)が収束することが分かっている場合には、関数\(c\cdot f\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(c\cdot f\)の極限を得るためには\(f\)の極限を\(c\)倍すればよいのです。

例(点において収束する関数の定数倍の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する関数\(x^{2}\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3}x^{2}=9
\end{equation*}が成り立つため、関数\(3x^{2}\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}3x^{2} &=&3\cdot \lim_{x\rightarrow 3}x^{2} \\
&=&3\cdot 9 \\
&=&27
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、関数\(-\frac{1}{2}x^{3}\)に関しては、やはり上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}-\frac{1}{2}x^{2} &=&-\frac{1}{2}\cdot \lim_{x\rightarrow 3}x^{2} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 9 \\
&=&-\frac{9}{2}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

無限大において収束する関数の定数倍の極限

無限大における極限についても同様の命題が成り立ちます。

命題(無限大において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)において有限な実数に収束するならば関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow +\infty \)において有限な実数に収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が\(x\rightarrow -\infty \)において有限な実数に収束するならば関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow -\infty \)において有限な実数に収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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例(無限大において収束する関数の定数倍の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に関する関数\(\frac{1}{x}\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0
\end{equation*}が成り立つため、関数\(3\cdot \frac{1}{x}\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 3\cdot \frac{1}{x}\right) &=&3\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x} \\
&=&3\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、関数\(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x}\)に関しては、やはり上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x}\right) &=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}などとなります。

 

点において発散する関数の定数倍の極限

点において無限極限に発散するような関数についても同様の性質が成り立ちます。

命題(点において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(f\)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において無限大\(+\infty \)に発散するならば、関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の\(\alpha \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot \lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =c\cdot +\infty
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が\(\alpha \)において無限小\(-\infty \)に発散するならば、\(c\cdot f\)の\(\alpha \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot \lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =c\cdot -\infty
\end{equation*}を満たす。
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ただし、実数\(c\)と無限\(+\infty ,-\infty \)の積については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルールにもとづいて計算を行います。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ c\cdot +\infty &=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
0 & \left( if\quad c=0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)\end{array}\right. \\
\left( b\right) \ c\cdot -\infty &=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
0 & \left( if\quad c=0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

拡大実数系について復習する
例(点において発散する関数の定数倍の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に関する関数\(\frac{1}{x^{2}}\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、関数\(3\cdot \frac{1}{x^{2}}\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 3\cdot \frac{1}{x^{2}}\right) &=&3\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}} \\
&=&3\cdot +\infty \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、関数\(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}}\)に関しては、やはり上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}}\right) &=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot +\infty \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}などとなります。

 

無限大において発散する関数の定数倍の極限

無限大において無限極限に発散するような関数についても同様です。

命題(無限大において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(f\)が\(+\infty \)おいて\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)に発散するならば、関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の\(+\infty \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が\(-\infty \)おいて\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)に発散するならば、\(c\cdot f\)の\(-\infty \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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ここでも、実数\(c\)と無限\(+\infty ,-\infty \)の積については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における先の演算ルールにもとづいて計算を行います。

例(無限大において発散する関数の定数倍の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する関数\(x^{2}\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、関数\(3\cdot x^{2}\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 3\cdot x^{2}\right) &=&3\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} \\
&=&3\cdot +\infty \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、関数\(-\frac{1}{2}\cdot x^{2}\)に関しては、やはり上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{2}\cdot x^{2}\right) &=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot +\infty \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}などとなります。

 

本節のまとめ

本節では関数の定数倍の極限に関して 4 通りのケースを考えましたが、得られた 4 つの命題を一般化すると以下のようになります。

系(関数の極限と定数倍)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、拡大実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} ^{\ast }\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\beta
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot \lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =c\cdot \beta
\end{equation*}が成り立つ。

\(\alpha ,\beta \)が拡大実数であるとは、これらは有限の実数にもなり得るし、\(+\infty \)や\(-\infty \)にもなり得るということです。\(\alpha ,\beta \)がともに有限の実数の場合には、この命題は本節において最初に提示した命題になります。また、\(\alpha \)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)で\(\beta \)が有限の実数の場合には、この命題は本節において 2 番目に提示した命題になります。また、\(\alpha \)が有限の実数で\(\beta \)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)の場合には、この命題は本節において 3 番目に提示した命題になります。また、\(\alpha ,\beta \)がともに\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)の場合には、この命題は本節において 4 番目に提示した命題になります。このような意味において、この命題は本節における議論の集約です。

次回は収束する関数の和について解説します。
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