関数の定数倍の極限

収束する関数を定数倍して得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の定数倍になります。また、このような関係は無限極限に関しても拡張可能です。
関数 極限 収束 定数倍
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点において収束する関数の定数倍の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、関数\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R}
\end{equation*}が成り立つものとします。これは、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とし、なおかつ\(a\)へ収束する任意の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことと必要十分です。ここで、実数\(c\)と先の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)から新たな数列\(\left\{ c\cdot f\left( x_{n}\right) \right\} \)を定義します。一般に、収束する数列の定数倍もまた収束するため先の数列\(\left\{ c\cdot f\left( x_{n}\right) \right\} \)は収束し、その極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ c\cdot f\left( x_{n}\right) \right] &=&c\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&c\cdot \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \quad \because \left(
1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上の議論により、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とし、なおかつ\(a\)へ収束する任意の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、それに対して数列\(\left\{ c\cdot f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(c\cdot \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束することが示されましたが、これは、関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です

命題(点において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)が与えられたとき、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限を\(c\)倍すれば\(c\cdot f\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。

例(点において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-x
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意にとったとき、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するでしょうか。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-1\)倍)として定義されていますが、恒等関数\(x\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}x=a \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって先の命題より\(f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
-x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \left( -1\right) x\right] \\
&=&\left( -1\right) \lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( -1\right) a\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-a
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において片側収束する関数の定数倍の片側極限

片側極限についても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(点において片側収束する関数の定数倍の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ収束し、そこでの右側極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が\(a\)より小さい周辺の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a-\)のときに有限な実数へ収束し、そこでの左側極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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例(点において片側収束する関数の定数倍の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-\frac{x}{\pi }
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は定義域の端点\(0,1\)において片側収束するでしょうか。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-\frac{1}{\pi }\)倍)として定義されていますが、恒等関数\(x\)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}x &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow 1-}x &=&1
\end{eqnarray*}などが成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{x}{\pi }\right) =-\frac{1}{\pi }\lim_{x\rightarrow 0+}x=-\frac{1}{\pi }\cdot 0=0 \\
\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( -\frac{x}{\pi }\right) =-\frac{1}{\pi }\lim_{x\rightarrow 1-}x=-\frac{1}{\pi }\cdot 1=-\frac{1}{\pi }
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

無限大において収束する関数の定数倍の極限

無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(無限大において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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例(無限大において収束する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-\frac{1}{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は関数\(\frac{1}{x}\)の定数倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)として定義されていますが、関数\(\frac{1}{x}\)は正負の無限大において有限な実数へ収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x} &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x} &=&0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。したがって先の命題より\(f\)もまた正負の無限大において有限な実数へ収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -\frac{1}{2x}\right) =-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}\cdot 0=0 \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -\frac{1}{2x}\right) =-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}\cdot 0=0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

点において発散する関数の定数倍の極限

無限極限に発散するような関数についても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(点において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散するならば、\(c\cdot f\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c\cdot \left( +\infty \right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が\(a\)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、\(c\cdot f\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c\cdot \left( -\infty \right)
\end{equation*}が成り立つ。
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ただし、上の命題において、実数\(c\)と無限大\(\pm \infty \)の積については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}
c\cdot \left( +\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
0 & \left( if\quad c=0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)\end{array}\right. \\
c\cdot \left( -\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
0 & \left( if\quad c=0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)\end{array}\right.
\end{eqnarray*}にもとづいて計算を行います。

例(点において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-\frac{1}{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は関数\(\frac{1}{x}\)の定数倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)として定義されていますが、関数\(\frac{1}{x}\)に関しては、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{2x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left( 1\right)
\\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において発散する関数の定数倍の極限

無限大において無限極限に発散するような関数についても同様の命題が成り立ちます(長くなるため証明は「命題の証明ページ」へ掲載します)。

命題(無限大において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに正もしくは負の無限大へ発散するならば、\(c\cdot f\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が\(x\rightarrow -\infty \)のときに正もしくは負の無限大へ発散するならば、\(c\cdot f\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題においても、実数\(c\)と無限大\(\pm \infty \)の積については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}
c\cdot \left( +\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
0 & \left( if\quad c=0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)\end{array}\right. \\
c\cdot \left( -\infty \right) &=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
0 & \left( if\quad c=0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)\end{array}\right.
\end{eqnarray*}にもとづいて計算を行います。

例(無限大において発散する関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)として定義されていますが、恒等関数\(x\)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }x &=&-\infty
\end{eqnarray*}などが成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -\frac{x}{2}\right) =-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow +\infty }x=-\frac{1}{2}\cdot \left( +\infty \right) =-\infty \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -\frac{x}{2}\right) =-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow -\infty }x=-\frac{1}{2}\cdot \left( -\infty \right) =+\infty
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

関数の定数倍の極限

本節では関数の定数倍の極限に関して4通りのケースを考えましたが(片側極限を除く)、得られた4つの命題を一般化すると以下のようになります。

命題(関数の定数倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。拡大実数\(a,b\in \mathbb{R} ^{\ast }\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ場合、\(c\cdot f\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c\cdot b
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題において\(a,b\)が拡大実数であるとは、これらは有限の実数にもなり得るし、正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)にもなり得るということです。\(a,b\)がともに有限の実数の場合、この命題は本節において最初に提示した命題になります。また、\(a\)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)で\(b\)が有限の実数の場合、この命題は本節において2番目に提示した命題になります。また、\(a\)が有限の実数で\(b\)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)の場合、この命題は本節において3番目に提示した命題になります。また、\(a,b\)がともに\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)の場合には、この命題は本節において4番目に提示した命題になります。このような意味において、この命題は本節における議論の集約です。

次回は複数の関数の和として表される関数の極限について解説します。

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