連続関数の定数倍の原始関数・不定積分・定積分（定数倍の法則）

連続関数の定数倍の原始関数

区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、定数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの実数\(x\in I\)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f\)は定義域である区間\(I\)上で連続であるものとします。この場合、関数\(cf\)もまた\(I\)上で連続になることが保証されます。区間上で連続な関数は原始関数を持つことが保証されるため、この場合、2つの関数\(f\)および\(cf\)はともに原始関数を持つことが保証されます。では、両者の原始関数の間にどのような関係が成り立つのでしょうか。

先の議論より関数\(f\)は原始関数を持つことが保証されるため、\(f\)の原始関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす関数\(F\)を任意に選ぶということです。さらに、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの実数\(x\in I\)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( cF+C\right) \left( x\right) =cF\left( x\right) +C
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
cF+C:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。この関数\(cF+C\)は微分可能であるとともに、関数\(cf\)の原始関数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in I:\left( cF+C\right) ^{\prime }\left( x\right) =\left(
cf\right) \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

つまり、区間上で連続な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)が与えられたとき、\(f\)の原始関数\(F\)を\(c\)倍した上で任意の定数\(C\)を加えれば、得られた関数\(cF+C\)は\(cf\)の原始関数になります。したがって、区間上で連続な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の原始関数を探す際には、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、関数\(f\)の原始関数を探せばよいということになります。

区間上に定義された連続関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は無数の原始関数を持つため、\(f\)の原始関数をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}P\left( f\right)
\end{equation*}で表記します。定数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これと先の関数\(f\)から新たな関数\(cf:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、この関数\(cf\)もまた連続であるため無数の原始関数を持ちます。この関数\(cf\)の原始関数をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}P\left( cf\right)
\end{equation*}で表記します。以上の2つの集合の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。

先に示したように、関数\(f\)の原始関数\(F\)と定数\(C\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、関数\(cF+C\)は関数\(cf\)の原始関数になることが保証されるため、\(f\)の何らかの原始関数を定数\(c\)倍した上で何らかの定数\(C\)を加えることで得られるすべての関数からなる集合を、\begin{equation*}cP\left( f\right) +C=\left\{ cF+C\ |\ F\in P\left( f\right) \wedge C\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と表記するのであれば、\begin{equation*}
cP\left( f\right) +C\subset P\left( cf\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。逆に、\begin{equation*}
P\left( cf\right) \subset cP\left( f\right) +C
\end{equation*}もまた成立するため（演習問題）、結局、\begin{equation*}
P\left( cf\right) =cP\left( f\right) +C
\end{equation*}を得ます。つまり、関数\(cf\)のすべての原始関数からなる集合（左辺）は、関数\(f\)の何らかの原始関数を定数\(c\)倍した上で何らかの定数を加えることで得られるすべての関数からなる集合（右辺）と一致するということです。

連続関数の定数倍の不定積分

連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数の不定積分と、その関数の定数倍として定義される関数の不定積分の間には以下が成り立ちます。

連続関数の定数倍の定積分

連続関数とその定数倍として定義される関数の原始関数の間に成立する関係が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、両者の定積分の間に成立する関係を以下のように特定できます。

つまり、区間上で連続な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)が与えられたとき、その区間の部分集合であるような任意の有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上で\(f\)と\(cf\)はともにリーマン積分可能であるとともに、\(f\)の定積分を\(c\)倍すれば、\(cf\)の定積分が得られることを上の命題は保証しています。したがって、区間上で連続な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の定積分を求める際には、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、関数\(f\)の定積分を求めればよいということになります。

演習問題