連続関数の定数倍の原始関数
区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、定数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの実数\(x\in I\)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f\)は定義域である区間\(I\)上で連続であるものとします。この場合、関数\(cf\)もまた\(I\)上で連続になることが保証されます。区間上で連続な関数は原始関数を持つことが保証されるため、この場合、2つの関数\(f\)および\(cf\)はともに原始関数を持つことが保証されます。では、両者の原始関数の間にどのような関係が成り立つのでしょうか。
先の議論より関数\(f\)は原始関数を持つことが保証されるため、\(f\)の原始関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす関数\(F\)を任意に選ぶということです。さらに、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの実数\(x\in I\)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( cF+C\right) \left( x\right) =cF\left( x\right) +C
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
cF+C:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。この関数\(cF+C\)は微分可能であるとともに、関数\(cf\)の原始関数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in I:\left( cF+C\right) ^{\prime }\left( x\right) =\left(
cf\right) \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
つまり、区間上で連続な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)が与えられたとき、\(f\)の原始関数\(F\)を\(c\)倍した上で任意の定数\(C\)を加えれば、得られた関数\(cF+C\)は\(cf\)の原始関数になります。したがって、区間上で連続な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の原始関数を探す際には、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、関数\(f\)の原始関数を探せばよいということになります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数\(x\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より、関数\(x\)の原始関数を任意に選んだとき、それを\(-1\)倍した上で任意の定数\(C\)を加えることで得られる関数はもとの関数\(f\)の原始関数になります。具体例を挙げると、以下の関数\begin{equation*}\frac{1}{2}x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は関数\(x\)の原始関数ですが、これを\(-1\)倍した上で任意の定数\(C\)を加えることで得られる関数\begin{equation*}-\frac{1}{2}x^{2}+C:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はもとの\(f\)の原始関数になります。実際、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left( -\frac{1}{2}x^{2}+C\right) &=&-x+0\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&-x \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、主張が正しいことが確認されました。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数\(x^{2}\)の定数倍（\(\frac{1}{2}\)倍）として定義されているため、先の命題より、関数\(x^{2}\)の原始関数を任意に選んだとき、それを\(\frac{1}{2}\)倍した上で任意の定数\(C\)を加えることで得られる関数はもとの関数\(f\)の原始関数になります。具体例を挙げると、以下の関数\begin{equation*}\frac{1}{3}x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は関数\(x^{2}\)の原始関数ですが、これを\(\frac{1}{2}\)倍した上で任意の定数\(C\)を加えることで得られる関数\begin{equation*}\frac{1}{6}x^{3}+C:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はもとの\(f\)の原始関数になります。実際、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{6}x^{3}+C\right) &=&\frac{1}{2}x^{2}+0\quad
\because \text{多項式関数の微分} \\
&=&\frac{1}{2}x^{2} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、主張が正しいことが確認されました。
連続関数の定数倍の不定積分
区間上に定義された連続関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は無数の原始関数を持つため、\(f\)の原始関数をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}P\left( f\right)
\end{equation*}で表記します。定数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これと先の関数\(f\)から新たな関数\(cf:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、この関数\(cf\)もまた連続であるため無数の原始関数を持ちます。この関数\(cf\)の原始関数をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}P\left( cf\right)
\end{equation*}で表記します。以上の2つの集合の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。
先に示したように、関数\(f\)の原始関数\(F\)と定数\(C\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、関数\(cF+C\)は関数\(cf\)の原始関数になることが保証されるため、\(f\)の何らかの原始関数を定数\(c\)倍した上で何らかの定数\(C\)を加えることで得られるすべての関数からなる集合を、\begin{equation*}cP\left( f\right) +C=\left\{ cF+C\ |\ F\in P\left( f\right) \wedge C\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と表記するのであれば、\begin{equation*}
cP\left( f\right) +C\subset P\left( cf\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。逆に、\begin{equation*}
P\left( cf\right) \subset cP\left( f\right) +C
\end{equation*}もまた成立するため（演習問題）、結局、\begin{equation*}
P\left( cf\right) =cP\left( f\right) +C
\end{equation*}を得ます。つまり、関数\(cf\)のすべての原始関数からなる集合（左辺）は、関数\(f\)の何らかの原始関数を定数\(c\)倍した上で何らかの定数を加えることで得られるすべての関数からなる集合（右辺）と一致するということです。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(P\left( f\right) \)は関数\(f\)のすべての原始関数からなる集合であり、\(P\left(cf\right) \)は関数\(cf\)のすべての原始関数からなる集合であり、また、\begin{equation*}cP\left( f\right) +C=\left\{ cF+C\ |\ F\in P\left( f\right) \wedge C\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}である。
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数の不定積分と、その関数の定数倍として定義される関数の不定積分の間には以下が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
c\int f\left( x\right) dx+C=\left\{ cF+C\ |\ F\in \int f\left( x\right)
dx\wedge C\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数\(x\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( -x\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\int xdx+C_{1}\quad \because \text{連続関数の定数倍の不定積分} \\
&=&-\left( \frac{1}{2}x^{2}+C_{2}\right) +C_{1}\quad \because \text{恒等関数の不定積分} \\
&=&-\frac{1}{2}x^{2}-C_{2}+C_{1} \\
&=&-\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C_{1},C_{2},C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数\(x^{2}\)の定数倍（\(\frac{1}{2}\)倍）として定義されているため、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{x^{2}}{2}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\int x^{2}dx+C_{1}\quad \because \text{連続関数の定数倍の不定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( \frac{1}{3}x^{3}+C_{2}\right) +C_{1}\quad \because
\text{単項式関数の不定積分} \\
&=&\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{2}C_{2}+C_{1} \\
&=&\frac{1}{6}x^{3}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C_{1},C_{2},C\)は積分定数です。
連続関数の定数倍の定積分
連続関数とその定数倍として定義される関数の原始関数の間に成立する関係が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、両者の定積分の間に成立する関係を以下のように特定できます。
x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、区間上で連続な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)が与えられたとき、その区間の部分集合であるような任意の有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上で\(f\)と\(cf\)はともにリーマン積分可能であるとともに、\(f\)の定積分を\(c\)倍すれば、\(cf\)の定積分が得られることを上の命題は保証しています。したがって、区間上で連続な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の定積分を求める際には、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、関数\(f\)の定積分を求めればよいということになります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数\(x\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、恒等関数\(x\)の\(\left[ a,b\right] \)上での定積分を\(-1\)倍すればもとの関数\(f\)の\(\left[a,b\right] \)上での定積分が得られます。つまり、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( -x\right) dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&-\int_{a}^{b}xdx\quad \because \text{連続関数の定数倍の定積分} \\
&=&-\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{a}^{b}\quad \because \text{恒等関数の定積分} \\
&=&-\left( \frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}\right) \\
&=&\frac{a^{2}-b^{2}}{2}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数\(x^{2}\)の定数倍（\(\frac{1}{2}\)倍）として定義されているため、\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\frac{x^{2}}{2}dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\int_{a}^{b}x^{2}dx\quad \because \text{連続関数の定数倍の定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \frac{x^{3}}{3}\right] _{a}^{b}\quad \because \text{多項式関数の定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( \frac{b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3}\right) \\
&=&\frac{b^{3}-a^{3}}{6}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
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