楕円（楕円弧）の長さと積分

楕円は滑らか

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する楕円の中心が\(\left( h,k\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)であり、\(x\)軸に沿った半径が\(a>0\)であり、\(y\)軸に沿った半径が\(b>0\)である場合、楕円の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=h+a\cos \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}となります。

楕円上の点の\(x\)座標を特定する関数\(x:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dx}{dt} &=&\frac{d}{dt}\left[ h+a\cos \left( t\right) \right] \\
&=&0+a\left[ -\sin \left( t\right) \right] \\
&=&-a\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}となります。

楕円上の点の\(y\)座標を特定する関数\(y:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dt} &=&\frac{d}{dt}\left[ k+b\sin \left( t\right) \right] \\
&=&0+b\cos \left( t\right) \\
&=&b\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。

以上より、任意の\(t\in \left(0,2\pi \right) \)において、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{dx\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dy\left( t\right) }{dt}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-a\sin \left( t\right) \\
b\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となるため、楕円は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上において滑らかであることが明らかになりました。

楕円の長さ

中心が\(\left( h,k\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)であり、\(x\)軸に沿った半径が\(a>0\)であり、\(y\)軸に沿った半径が\(b>0\)である楕円の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=h+a\cos \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}ですが、楕円は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上において滑らかであることが明らかになりました。したがって、楕円の長さは、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[
\frac{dy\left( y\right) }{dt}\right] ^{2}}dt &=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\left[
-a\sin \left( t\right) \right] ^{2}+\left[ b\cos \left( t\right) \right] ^{2}}dt \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{a^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +b^{2}\cos ^{2}\left(
t\right) }dt
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\text{楕円の長さ}=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{a^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +b^{2}\cos ^{2}\left( t\right) }dt
\end{equation*}と定まります。

楕円は対称的な形状をしているため、楕円上に存在する弧\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=h+a\cos \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \right)
\end{equation*}の長さを4倍すればもとの楕円の長さが得られます。したがって、楕円の長さを、\begin{eqnarray*}
4\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( y\right) }{dt}\right] ^{2}}dt &=&4\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\left[ -a\sin \left( t\right) \right] ^{2}+\left[ b\cos
\left( t\right) \right] ^{2}}dt \\
&=&4\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{a^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +b^{2}\cos
^{2}\left( t\right) }dt
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\text{楕円の長さ}=4\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{a^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +b^{2}\cos ^{2}\left( t\right) }dt
\end{equation*}と表現することもできます。

楕円の長さを以下のように表現することもできます。証明では置換積分などを利用します。

楕円弧の長さ

楕円上の弧、すなわち楕円弧の媒介変数表示は、\begin{equation*}
0\leq t_{0}<t_{1}\leq 2\pi
\end{equation*}を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=h+a\cos \left( t\right) \\
y=k+b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}となります。この楕円弧の始点の座標は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t_{0}\right) \\
k+b\sin \left( t_{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、終点の座標は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cos \left( t_{1}\right) \\
k+b\sin \left( t_{1}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。

楕円の場合と同様の理由により、楕円弧もまた\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において滑らかです。したがって、楕円弧の長さは、\begin{eqnarray*}\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( y\right) }{dt}\right] ^{2}}dt &=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ -a\sin \left( t\right) \right] ^{2}+\left[ b\cos \left(
t\right) \right] ^{2}}dt \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{a^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +b^{2}\cos
^{2}\left( t\right) }dt
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\text{楕円弧の長さ}=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{a^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +b^{2}\cos ^{2}\left( t\right) }dt
\end{equation*}と定まります。