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1変数関数の積分

微分積分学の第2基本定理(求積分定理)

目次

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ニュートンとライプニッツによる発見

これまでは有界な閉区間上に定義された有界な関数がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、関数がリーマン積分可能であること、ないしリーマン積分可能ではないことを具体的に判定する方法について解説し、さらに、リーマン積分可能な関数の具体例を提示してきました。簡単に復習します。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が有界であるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)とは以下の条件\begin{equation*}a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる組であり、代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast}\right\} _{k=1}^{n}\)とは以下の条件\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }\in \left[
x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{1}^{\ast },\cdots ,x_{n}^{\ast }\in \mathbb{R} \)からなる組です。さらに、分割\(P\)の大きさは、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義されます。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)が与えられたとき、関数\(f\)のリーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right)
\end{equation*}と定義されます。関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることとは、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)を\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)のリーマン和がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、上の極限\(\alpha \)を\(f\)の\(\left[a,b\right] \)間の定積分と呼び、そのことを、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\alpha
\end{equation*}で表記します。

ただし、以上の定義にもとづいて関数の定積分を特定する作業は煩雑になりがちです。加えて、定積分の候補となる実数をどのように選べばよいかという問題もあります。上積分と下積分を用いる方法など、関数がリーマン積分可能であることを判定し、さらに定積分を特定するための代替的な手段をいくつか解説しましたが、それらの手法もまた面倒を伴います。より簡単な手段を通じて定積分を具体的に特定できればより望ましいと言えます。こうした問題に解決方法を与えたのがニュートン(Newton)とライプニッツ(Leibniz)です。彼らは微分と積分の間に成立する関係を発見することにより、関数の定積分を簡単に導出する方法を編み出しました。順番に解説します。

 

微分積分学の第2基本定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がリーマン積分可能であることは判明している一方で、その定積分は明らかではない状況を想定します。つまり、定積分\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まることは判明しているものの、その具体的な値は不明であるということです。このとき、\(f\)と定義域を共有する関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}の中に、以下の2つの条件を満たすものが存在する状況を想定します。

1つ目の条件は、この関数\(F\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるということです。つまり、\(F\)は定義域の内部\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続であるとともに、定義域の左側の端点\(a\)において右側連続であり、定義域の右側の端点\(b\)において左側連続であるということです。

2つ目の条件は、関数\(F\)は区間\(\left[ a,b\right] \)の内部\(\left(a,b\right) \)上で微分可能であるとともに、その導関数\(F^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( a,b\right) \)上において関数\(f\)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in \left( a,b\right) :F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\(\left( a,b\right) \)上において関数\(F\)は関数\(f\)の原始関数(primitive function)もしくは逆導関数(antiderivative)であると言います。

以上の条件が満たされる場合、関数\(f\)の\(\left[a,b\right] \)上の定積分が、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=F\left( b\right) -F\left( a\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。これを微分積分学の第2基本定理(second fundamental theorem of calculus)や求積分定理(evaluatioin theorem)などと呼びます。

命題(微分積分学の第2基本定理)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。また、関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \left( a,b\right) :F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件が満たされる場合には、以下の関係\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=F\left( b\right) -F\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である場合、定義にもとづいて定積分を導出する作業は煩雑になりがちです。一方、先の命題によると、\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、なおかつ\(\left( a,b\right) \)上で微分すると\(f\)と一致するような関数\(F\)が存在する場合には、\(f\)の定積分を以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=F\left( b\right) -F\left( a\right)
\end{equation*}から導出することができます。

例(微分積分学の第2基本定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は恒等関数です。恒等関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるとともに、その定積分は、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{equation*}として定まりますが、同様の結論を先の命題から導きます。関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(F\)は単項式関数であるため\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であり、導関数\(F^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( a,b\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}x^{2}\right)
\quad \because F\text{の定義} \\
&&\frac{1}{2}\cdot 2\cdot x \\
&=&x\quad \because \text{単項式関数の微分} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を満たすため、\(F\)は\(\left(a,b\right) \)上において\(f\)の原始関数です。したがって、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&F\left( b\right) -F\left( a\right) \quad
\because \text{微分積分学の第2基本定理} \\
&=&\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}\quad \because F\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

例(微分積分学の第2基本定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は単項式関数ですが、単項式関数は連続であるため\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{1}{3}x^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(F\)は単項式関数であるため\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であり、導関数\(F^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( a,b\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{3}x^{3}\right)
\quad \because F\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{3}\cdot 3\cdot x^{2} \\
&=&x^{2}\quad \because \text{単項式関数の微分} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を満たすため、\(F\)は\(\left(a,b\right) \)上において\(f\)の原始関数です。したがって、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&F\left( b\right) -F\left( a\right) \quad
\because \text{微分積分学の第2基本定理} \\
&=&\frac{1}{3}b^{3}-\frac{1}{3}a^{3}\quad \because F\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{3}\left( b^{3}-a^{3}\right)
\end{eqnarray*}となります。

例(微分積分学の第2基本定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は正弦関数ですが、正弦関数は連続であるため\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =-\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(F\)は余弦関数の定数倍(\(-1\)倍)であるため\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であり、導関数\(F^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( a,b\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( -\cos \left( x\right)
\right) \quad \because F\text{の定義} \\
&=&-\left( -\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{余弦関数の微分} \\
&=&\sin \left( x\right) \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を満たすため、\(F\)は\(\left(a,b\right) \)上において\(f\)の原始関数です。したがって先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&F\left( b\right) -F\left( a\right) \quad
\because \text{微分積分学の第2基本定理} \\
&=&-\cos \left( b\right) -\left[ -\cos \left( a\right) \right] \quad
\because F\text{の定義} \\
&=&\cos \left( a\right) -\cos \left( b\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

微分積分学の第2基本定理が要求する条件の吟味

微分積分学の第2定理を適用するためには、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である必要があります。\(\left[ a,b\right] \)上で連続な関数は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能ですが、その逆は成立するとは限りません。\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\(f\)に対して微分積分学の第2定理を適用するためには、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であれば十分であり、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上で連続である必要はありません。

微分積分学の第2定理を適用するためには、関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの条件を満たす必要があります。1つ目の条件は、\(F\)が\(\left[ a,b\right]\)上で連続であることです。2つ目の条件は、\(F\)が\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \left( a,b\right) :F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。関数\(F\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続である必要があるため、区間の端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続である必要があります。その一方で、\(F\)は\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であればよいため、区間の端点\(a\)において右側微分可能である必要はなく、もう一方の端点\(b\)において左側微分可能である必要もありません。つまり、\(F\)が点\(a\)において右側連続である一方で右側微分可能でない場合や、点\(b\)において左側連続である一方で左側微分可能でない場合にも、微分積分学の第2基本定理は適用可能です。

以下が具体例です。

例(微分積分学の第2基本定理が要求する条件の吟味)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
-\cos \left( \frac{1}{x}\right) +2x\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left(
if\ 0<x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。また、関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界であり、\(\left( 0,1\right] \)上で連続ですが、点\(0\)において右側連続ではありません。\(f\)が連続ではない\(\left[ 0,1\right] \)上の点は有限個(点\(0\)だけ)であるため、\(f\)は\(\left[0,1\right] \)上でリーマン積分可能です。関数\(F\)は\(\left[0,1\right] \)上で連続であり、\(\left[ 0,1\right) \)上で微分可能ですが、点\(1\)において左側微分可能ではありません。ただし、\begin{equation*}\forall x\in \left( 0,1\right) :F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、これらの関数\(f,F\)は微分積分学の第2基本定理が要求する条件を満たします。したがって、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&F\left( 1\right) -F\left( 0\right) \\
&=&1^{2}\sin \left( \frac{1}{1}\right) -0 \\
&=&\sin \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります(演習問題)。

 

演習問題

問題(微分積分学の第2基本定理)
以下の定積分の値を求めてください。\begin{equation*}
\int_{-2}^{2}x^{3}dx
\end{equation*}
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問題(微分積分学の第2基本定理)
以下の定積分の値を求めてください。\begin{equation*}
\int_{0}^{3}e^{x}dx
\end{equation*}
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問題(微分積分学の第2基本定理)
以下の定積分の値を求めてください。\begin{equation*}
\int_{4}^{9}x^{\frac{1}{2}}dx
\end{equation*}
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問題(微分積分学の第2基本定理)
以下の定積分の値を求めてください。\begin{equation*}
\int_{0}^{2}\left( x^{3}-x^{2}\right) dx
\end{equation*}
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問題(微分積分学の第2基本定理)
以下の定積分の値を求めてください。\begin{equation*}
\int_{-1}^{1}\left( x^{2}+x^{21}\right) dx
\end{equation*}
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問題(微分積分学の第2基本定理)
以下の定積分の値を求めてください。\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\left( x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}\right) dx
\end{equation*}
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問題(微分積分学の第2基本定理)
以下の定積分の値を求めてください。\begin{equation*}
\int_{1}^{e}\left( x+\frac{1}{x}\right) dx
\end{equation*}
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問題(微分積分学の第2基本定理)
以下の定積分の値を求めてください。\begin{equation*}
\int_{-1}^{1}\left\vert x-\frac{1}{2}\right\vert dx
\end{equation*}
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問題(微分積分学の第2基本定理)
以下の定積分の値を求めてください。\begin{equation*}
\int_{-2}^{1}\left\vert x^{2}-1\right\vert dx
\end{equation*}
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問題(微分積分学の第2基本定理が要求する条件)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
-\cos \left( \frac{1}{x}\right) +2x\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left(
if\ 0<x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。また、関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

  1. \(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界であることを示してください。
  2. \(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
  3. \(F\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
  4. \(F\)の導関数を求めてください。
  5. \(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であることを示すとともに、定積分\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\end{equation*}の値を求めてください。
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