変数yに関する関数のグラフの右側の領域の面積
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるものとします。加えて、この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において非負値のみをとる状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall y\in \left[ a,b\right] :f\left( y\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つということです（下図）。
その上で、関数\(f\)のグラフと\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積を特定します（上図）。この領域\(S\)は関数のグラフに相当する曲線\(x=f\left( y\right) \)と\(y\)軸、および2本の水平な直線\(y=a\)と\(y=b\)によって囲まれています。
関数\(f\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{y_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ y_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が与えられれば、関数\(f\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上におけるリーマン和が、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( y_{k}-y_{k-1}\right)
\cdot f\left( y_{k}^{\ast }\right)
\end{equation*}として定まります。ただし、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)とは以下の条件\begin{equation*}a=y_{0}<y_{1}<\cdots <y_{n-1}<y_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(y_{0},y_{1},\cdots ,y_{n-1},y_{n}\in \mathbb{R} \)からなる組であり、代表点の組\(P^{\ast }\)とは以下の条件\begin{equation*}y_{k}^{\ast }\in \left[ y_{k-1},y_{k}\right]
\end{equation*}を満たす有限個の点\(y_{1}^{\ast },\cdots ,y_{n}^{\ast }\in \mathbb{R} \)からなる組です。
リーマン和は上図の青い領域の面積に相当します。リーマン和の値は分割\(P\)や代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方に依存します。分割\(P\)の大きさは、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ y_{k}-y_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義されますが、分割\(P\)の大きさを\(0\)へ近づける形で分割を変更していった場合、リーマン和を構成する個々の四角形はより細かくなるため、リーマン和の値は領域\(S\)の面積へと近づいていきます。
仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるため、この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。したがって、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)のリーマン和は有限な実数へ限りなく近づきます。つまり、関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( y\right) dy
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。先の考察より、分割\(P\)の大きさを\(0\)に近づけるにつれてリーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast }\right) \)の値は領域\(S\)の面積へ近づいていくため、リーマン和の極限に相当する定積分\(\int_{a}^{b}f\left(y\right) dy\)は領域\(S\)の面積と限りなく一致します。このような事情を踏まえた上で、\begin{equation*}S\text{の面積}=\int_{a}^{b}f\left( y\right) dy
\end{equation*}と定めます。
結論を整理すると、有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに非負値をとる場合、以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{関数のグラフ} &:&x=f\left(
y\right) \\
y\text{軸} &:&x=0 \\
\text{上側の垂直線} &:&y=b \\
\text{下側の垂直線} &:&y=a
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=\int_{a}^{b}f\left( y\right) dy
\end{equation*}と定義されるということです。
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、この関数\(g\)は定数関数です。この関数\(g\)のグラフと\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)は底辺の長さが\(1\)で高さが\(1\)の正方形であるため、その面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=1
\end{equation*}です。同じことを先の命題から導きます。関数\(g\)は定義域\(\left[ 0,1\right]\)上において連続かつ非負値をとるため、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\int_{0}^{1}g\left( y\right) dy \\
&=&\int_{0}^{1}1dy\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left[ y\right] _{0}^{1} \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(g\)のグラフは右に凸な放物線です。関数\(f\)のグラフが\(y\)軸と交わる切片は、\begin{equation*}-y^{2}+1=0
\end{equation*}を解くことにより、\begin{equation*}
y=1,-1
\end{equation*}と判明します。したがって、関数\(g\)のグラフの中でも\(y\)軸より右方の部分と\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\int_{-1}^{1}g\left( y\right) dy \\
&=&\int_{-1}^{1}\left( -y^{2}+1\right) dy \\
&=&\left[ -\frac{1}{3}y^{3}+y\right] _{-1}^{1} \\
&=&\left( -\frac{1}{3}+1\right) -\left( \frac{1}{3}-1\right) \\
&=&\frac{4}{3}
\end{eqnarray*}となります。
変数yに関する関数のグラフの左側の領域の面積
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。加えて、この関数\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上において非正値のみをとる状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall y\in \left[ a,b\right] :f\left( y\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つということです（下図）。
その上で、関数\(f\)のグラフと\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積を特定します（上図）。この領域\(S\)は関数のグラフに相当する曲線\(x=f\left( y\right) \)と\(y\)軸、および2本の水平な直線\(y=a\)と\(y=b\)によって囲まれています。
仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるため、この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。つまり、関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( y\right) dy
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。ただし、仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において非正値をとるため、定積分の値は非正の実数になります。その一方で、面積は非負の実数であるため、この場合には、\begin{equation*}S\text{の面積}=\left\vert \int_{a}^{b}f\left( y\right)
dy\right\vert
\end{equation*}と定めます。
結論を整理すると、有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに非正値をとる場合、以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{関数のグラフ} &:&x=f\left(
y\right) \\
y\text{軸} &:&x=0 \\
\text{上側の垂直線} &:&y=b \\
\text{下側の垂直線} &:&y=a
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=\left\vert \int_{a}^{b}f\left( y\right)
dy\right\vert
\end{equation*}と定義されるということです。
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、この関数\(f\)は定数関数です。この関数\(f\)のグラフと\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)は底辺の長さが\(1\)で高さが\(1\)の正方形であるため、その面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=1
\end{equation*}です。同じことを先の命題から導きます。関数\(f\)は定義域\(\left[ 0,1\right]\)上において連続かつ非正値をとるため、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\left\vert \int_{0}^{1}f\left( y\right)
dy\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{0}^{1}\left( -1\right) dy\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left[ -y\right] _{0}^{1}\right\vert \\
&=&\left\vert -1-0\right\vert \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは左に凸な放物線です。関数\(f\)のグラフが\(y\)軸と交わる切片は、\begin{equation*}y^{2}-1=0
\end{equation*}を解くことにより、\begin{equation*}
y=1,-1
\end{equation*}と判明します。したがって、関数\(f\)のグラフの中でも\(y\)軸より左側の部分と\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\left\vert \int_{-1}^{1}f\left( y\right)
dy\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{-1}^{1}\left( y^{2}-1\right) dy\right\vert \\
&=&\left\vert \left[ \frac{1}{3}y^{3}-y\right] _{-1}^{1}\right\vert \\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{3}-1\right) -\left( -\frac{1}{3}+1\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert -\frac{4}{3}\right\vert \\
&=&\frac{4}{3}
\end{eqnarray*}となります。
変数yに関する関数のグラフとy軸によって囲まれる領域の面積
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。加えて、この関数\(f\)は\(\left[a,c\right] \)上において非正値のみをとり、\(\left[ c,b\right] \)上において非負値のみをとる状況を想定します。つまり、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall y &\in &\left[ a,c\right] :f\left( y\right) \leq 0
\\
\left( b\right) \ \forall y &\in &\left[ c,b\right] :f\left( y\right) \geq 0
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです（下図）。
その上で、関数\(f\)のグラフと\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積を特定します。この領域\(S\)は2つの領域\(S_{1},S_{2}\)に分割可能です（上図）。
仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるため、この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。区間上でリーマン積分可能な関数は部分区間上においてもリーマン積分可能であるためこの関数\(f\)は\(\left[ a,c\right] \)上および\(\left[ b,c\right] \)上においてリーマン積分可能です。つまり、関数\(f\)の\(\left[a,c\right] \)上および\(\left[ c,b\right] \)上における定積分\begin{eqnarray*}&&\int_{a}^{c}f\left( y\right) dy \\
&&\int_{c}^{b}f\left( y\right) dy
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まります。
領域\(S\)は2つの領域\(S_{1},S_{2}\)に分割されるため、\(S\)の面積は\(S_{1}\)の面積と\(S_{2}\)の面積の和と一致します。以上の事実とこれまでの議論を踏まえると、領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&S_{1}\text{の面積}+S_{2}\text{の面積} \\
&=&\left\vert \int_{a}^{c}f\left( y\right) dy\right\vert +\left\vert
\int_{c}^{b}f\left( y\right) dy\right\vert
\end{eqnarray*}と定まります。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は連続であるとともに、区間\(\left[ -1,0\right] \)上において非正値をとり、区間\(\left[ 0,1\right] \)上において非負値をとります。したがって、この関数\(f\)のグラフと\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\left\vert \int_{-1}^{0}f\left( y\right)
dy\right\vert +\left\vert \int_{0}^{1}f\left( y\right) dy\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{-1}^{0}ydy\right\vert +\left\vert
\int_{0}^{1}ydy\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left[ \frac{1}{2}y^{2}\right] _{-1}^{0}\right\vert
+\left\vert \left[ \frac{1}{2}y^{2}\right] _{0}^{1}\right\vert \\
&=&\left\vert 0-\frac{1}{2}\right\vert +\left\vert \frac{1}{2}-0\right\vert
\\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフと\(y\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフと\(y\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフと\(y\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
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