関数の平均の極限に関する命題
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について以下の2つの条件が成り立つものとします。
1つ目の条件は、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるということ、つまり、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が1つの有限な実数として定まるということです。
2つ目の条件は、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の左側の端点\(a\)において右側連続であること、つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
十分小さい正の実数\(h>0\)を任意に選んだ上で区間\(\left[ a,a+h\right] \subset \left[ a,b\right] \)をとると、関数\(f\)の区間\(\left[ a,a+h\right] \)における平均値は、\begin{equation*}\frac{1}{h}\int_{a}^{a+h}f\left( x\right) dx
\end{equation*}となります。仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるため、その部分集合である\(\left[ a,a+h\right] \)上でもリーマン積分可能です。したがって上の平均値は有限な実数として定まることが保証されます。以上を踏まえた上で\(h\rightarrow 0+\)のときの極限をとると、その右側極限の値は\(f\left( a\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0+}\left[ \frac{1}{h}\int_{a}^{a+h}f\left( x\right) dx\right] =f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。
左側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について以下の2つの条件が成り立つものとします。
1つ目の条件は、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるということ、つまり、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が1つの有限な実数として定まるということです。
2つ目の条件は、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の右側の端点\(b\)において左側連続であること、つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =f\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
十分小さい負の実数\(h<0\)を任意に選んだ上で区間\(\left[ b+h,b\right] \subset \left[ a,b\right] \)をとると、関数\(f\)の区間\(\left[ b+h,b\right] \)における平均値は、\begin{equation*}\frac{1}{-h}\int_{b+h}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}となります。仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるため、その部分集合である\(\left[ b+h,b\right] \)上でもリーマン積分可能です。したがって上の平均値は有限な実数として定まることが保証されます。以上を踏まえた上で\(h\rightarrow 0-\)のときの極限をとると、その左側極限の値は\(f\left( b\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0-}\left[ \frac{1}{-h}\int_{b+h}^{b}f\left( x\right) dx\right] =f\left( b\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。ただし、\begin{equation*}
h^{\prime }=-h
\end{equation*}とおけば、上の命題は、\begin{equation*}
\lim_{h^{\prime }\rightarrow 0+}\left[ \frac{1}{h^{\prime }}\int_{b-h^{\prime }}^{b}f\left( x\right) dx\right] =f\left( b\right)
\end{equation*}となるため、代わりに以下を示します。
\end{equation*}が成り立つ。
微分積分学の第1基本定理
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとします。つまり、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能な関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である任意の有界閉区間上においてもリーマン積分可能であるため、点\(x\in \left[ a,b\right] \)を任意に選んだとき、関数\(f\)は区間\(\left[ a,x\right] \)上でリーマン積分可能であり、したがって定積分\begin{equation*}\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能な関数\(f\)が与えられた場合、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。加えて、以上の条件のもとでは、この関数\(F\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続になることが保証されます。つまり、\(F\)は区間の端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続であり、区間の内部\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続になるということです。
仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上でリーマン積分可能ですが、リーマン積分可能な関数は必ずしも連続であるとは限らないことに注意してください。ただ、関数\(f\)が点\(x\in \left[ a,b\right] \)において連続であることを認める場合には、先の関数\(F\)は点\(x\)において連続であるだけでなく、微分可能であることも保証されるとともに、そこでの微分係数\(F^{\prime }\left(x\right) \)は関数\(f\)が点\(x\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)と一致することが保証されます。つまり、以下が成り立つということです。
- 関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の端点\(a\)において右側連続である場合には、関数\(F\)は点\(a\)において右側微分可能であることが保証されるとともに、\begin{equation*}F^{\prime }\left( a+0\right) =f\left( a\right) \end{equation*}が成り立つ。
- 関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の端点\(b\)において左側連続である場合には、関数\(F\)は点\(b\)において左側微分可能であることが保証されるとともに、\begin{equation*}F^{\prime }\left( b-0\right) =f\left( b\right) \end{equation*}が成り立つ。
- 関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の内点\(x\in \left( a,b\right) \)において連続である場合には、関数\(F\)は点\(x\)において微分可能であることが保証されるとともに、\begin{equation*}F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right) \end{equation*}が成り立つ。
以上の主張を簡潔に表現すると、区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能な関数\(f\)が点\(x\in \left[ a,b\right] \)において連続である場合には、その点\(x\)において関数\(F\)は\(f\)の原始関数になる、ということです。これを微分積分学の第1基本定理（first fundamental theorem of calculus）と呼びます。証明では関数の平均の極限に関する先の諸定理を利用します。
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。この関数\(F\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続である。加えて、関数\(f\)が点\(x\in \left[ a,b\right] \)において連続であるならば、関数\(F\)は点\(x\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるものとします。連続関数はリーマン積分可能であるため、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt
\end{equation*}を定める関数\(F:\left[ a,b\right]\rightarrow \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。加えて、この場合には先の命題が要求する条件が満たされるため、任意の点\(x\in \left[ a,b\right] \)において、\begin{equation*}F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、微分積分学の第1定理は、連続関数\(f\)には原始関数\(F\)が存在することを保証します。加えて、関数\(F\)の定義より、上の関係を、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt=f\left( x\right)
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、連続関数\(f\)を区間\(\left[ a,x\right] \)上で積分して得られた結果を微分すると、もとの関数\(f\)が点\(x\)に対して定める値\(f\left(x\right) \)が得られるということです。
微分積分学の第1基本定理が要求する条件の吟味
一般に、有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能な関数は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとは限りません。\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\(f\)に対して微分積分学の第1定理を適用するためには、\(f\)が連続である必要があります。関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である一方で\(\left[ a,b\right] \)上の点において連続ではない場合、微分積分学の第1定理の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ -1\leq x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は単調増加関数であるため\(\left[ -1,1\right] \)上でリーマン積分可能であり、関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{-1}^{x}f\left( t\right) dt=\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ -1\leq x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(f\)は点\(0\)において連続ではないため、この点\(0\)は微分積分学の第1基本定理が要求する条件を満たしません。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{F\left( 0+h\right) -F\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{h-0}{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{F\left( 0+h\right) -F\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{0-0}{h}=0
\end{eqnarray*}であるため\(F\)は点\(0\)において微分可能ではなく、したがって、\begin{equation*}F^{\prime }\left( 0\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}という関係は成立しません。
演習問題
f\left( x\right) =\int_{1}^{x}\sqrt{t^{3}+4t}dt
\end{equation*}の点\(x=2\)における微分係数を求めてください。
f\left( x\right) =\int_{-\frac{\pi }{2}}^{x}\sqrt{\sin ^{2}\left( t\right) +2}dt
\end{equation*}の点\(x=\frac{\pi }{6}\)における微分係数を求めてください。
f\left( x\right) =\int_{3}^{x^{2}}\frac{1}{t}dt
\end{equation*}の導関数を求めてください。
f\left( x\right) =\int_{0}^{x^{2}}\sqrt{t^{2}+1}dt
\end{equation*}の導関数を求めてください。
f\left( x\right) =\int_{0}^{x^{3}}t^{2}dt
\end{equation*}の導関数を求めてください。
f\left( x\right) =\int_{x^{2}}^{x^{3}}tdt
\end{equation*}の導関数を求めてください。
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