平面上に存在する曲線（弧）の長さと積分

平面上に存在する滑らかな曲線

媒介変数\(t\)が\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間\(\left[ a,b\right] \subset \mathbb{R} \)上の値をとり得る状況を想定した上で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。この場合、曲線\(C\)そのものは、\begin{equation*}C=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}と定義されます。

曲線\(C\)上の点の座標を特定する2つの関数\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに定義域の内部である開区間\(\left( a,b\right) \)上において\(C^{1}\)級であるとともに、それらの導関数\(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall t\in \left( a,b\right) :\left(
\begin{array}{c}
\frac{dx\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dy\left( t\right) }{dt}\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち、導関数\(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\)がともに\(\left( a,b\right) \)上において連続であるとともに、\(\left( a,b\right) \)上の任意の点\(t\)において微分係数\(\frac{dx\left( t\right) }{dt},\frac{dy\left(t\right) }{dt}\)の少なくとも一方が非ゼロである場合には、この曲線\(C\)は\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかである（smooth）と言います。

曲線は滑らかであるとは限りません。以下の例より明らかです。

平面上に存在する滑らかな曲線の長さ

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この曲線\(C\)は\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかであるものとします。

媒介変数\(t\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)を等分する分割\(P=\left\{ t_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選びます。分割の定義より、\begin{equation*}a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b
\end{equation*}が成り立ちます。また、分割\(P\)によって生成される区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合であるすべての小区間が共有する長さを、\begin{equation*}\Delta t=t_{k}-t_{k-1}=\frac{b-a}{n}\quad \left( k=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}で表記します。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)の要素であるパラメータの値\(t_{k}\in P\)に対応する曲線\(C\)上の点の座標を、\begin{equation*}P_{k}=\left(
\begin{array}{c}
x\left( t_{k}\right) \\
y\left( t_{k}\right)
\end{array}\right) \quad \left( k=0,1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}で表記します。さらに、隣り合う2つの点\(P_{k-1},P_{k}\)を結ぶ線分の長さを、\begin{equation*}\left\vert P_{k-1}P_{k}\right\vert =\sqrt{\left[ x\left( t_{k}\right)
-x\left( t_{k-1}\right) \right] ^{2}+\left[ y\left( t_{k}\right) -y\left(
t_{k-1}\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}で表記します。曲線\(C\)上に存在する有限個の点\(P_{0},P_{1},\cdots ,P_{n}\)について、隣り合う点どうしを結べば\(n\)本の線分が得られます。それらの線分の長さの総和を、\begin{eqnarray*}L\left( P\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left\vert P_{k-1}P_{k}\right\vert \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\sqrt{\left[ x\left( t_{k}\right) -x\left( t_{k-1}\right) \right] ^{2}+\left[ y\left( t_{k}\right) -y\left( t_{k-1}\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}で表記します（下図のグレーの線分の長さの総和）。

線分の長さの総和\(L\left(P\right) \)は区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)の選び方に依存します。分割\(P\)の大きさは、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ t_{k}-t_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義されますが、分割\(P\)の大きさを\(0\)へ近づける形で分割を変更していった場合、線分の本数は増えるとともに、個々の線分の長さは短くなっていくため、線分の長さの総和\(L\left( P\right) \)は曲線\(C\)の真の長さへと近づいていきます。

仮定より曲線\(C\)は\(\left[ a,b\right]\)上において滑らかであるため、それぞれの\(t\in \left( a,b\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であるとともに、これは連続関数になります。したがって、この関数\(f\)の定義域を任意の形で\(\left[ a,b\right] \)に拡大することにより得られる関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であり、定積分\begin{equation}\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}\sqrt{\left[ \frac{dx\left(
t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt \quad \cdots (1)
\end{equation}が有限な実数として定まります。

その一方で、曲線\(C\)上の点を結ぶことにより得られる線分の長さの総和\(L\left( P\right) \)を変形すると、\begin{eqnarray*}L\left( P\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left\vert P_{k-1}P_{k}\right\vert \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\sqrt{\left[ x\left( t_{k}\right) -x\left( t_{k-1}\right) \right] ^{2}+\left[ y\left( t_{k}\right) -y\left( t_{k-1}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \sqrt{\left[ x\left( t_{k}\right) -x\left(
t_{k-1}\right) \right] ^{2}+\left[ y\left( t_{k}\right) -y\left(
t_{k-1}\right) \right] ^{2}}\cdot \frac{\Delta t}{\Delta t}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \sqrt{\left[ x\left( t_{k}\right) -x\left(
t_{k-1}\right) \right] ^{2}+\left[ y\left( t_{k}\right) -y\left(
t_{k-1}\right) \right] ^{2}}\cdot \frac{\Delta t}{\sqrt{\left( \Delta
t\right) ^{2}}}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \sqrt{\left[ \frac{x\left( t_{k}\right) -x\left(
t_{k-1}\right) }{\Delta t}\right] ^{2}+\left[ \frac{y\left( t_{k}\right)
-y\left( t_{k-1}\right) }{\Delta t}\right] ^{2}}\cdot \Delta t\right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
L\left( P\right) =\sum_{k=0}^{n}\left[ \sqrt{\left[ \frac{x\left(
t_{k}\right) -x\left( t_{k-1}\right) }{\Delta t}\right] ^{2}+\left[ \frac{y\left( t_{k}\right) -y\left( t_{k-1}\right) }{\Delta t}\right] ^{2}}\cdot
\Delta t\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。関数\(x,y\)は\(C^{1}\)級であるため、\begin{eqnarray}\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{x\left( t_{k}\right) -x\left(
t_{k-1}\right) }{\Delta t} &=&\frac{dx\left( t_{k-1}\right) }{dt} \quad \cdots (3) \\
\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{y\left( t_{k}\right) -y\left(
t_{k-1}\right) }{\Delta t} &=&\frac{dy\left( t_{k-1}\right) }{dt} \quad \cdots (4)
\end{eqnarray}を得ます。さらに、\begin{equation}
\left\vert P\right\vert \rightarrow 0\Leftrightarrow \Delta t\rightarrow 0
\quad \cdots (5)
\end{equation}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L\left( P\right)
&=&\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n}\left[ \sqrt{\left[ \frac{x\left( t_{k}\right) -x\left( t_{k-1}\right) }{\Delta t}\right] ^{2}+\left[
\frac{y\left( t_{k}\right) -y\left( t_{k-1}\right) }{\Delta t}\right] ^{2}}\cdot \Delta t\right] \quad \because \left( 2\right) ,\left( 5\right) \\
&=&\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n}\left[ \sqrt{\left[ \frac{dx\left( t_{k-1}\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left(
t_{k-1}\right) }{dt}\right] ^{2}}\cdot \Delta t\right] \quad \because \left(
3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n}\left[ f\left( t_{k-1}\right)
\cdot \Delta t\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n}\left[ f\left(
t_{k-1}\right) \cdot \left\vert t_{k}-t_{k-1}\right\vert \right] \\
&=&\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt\quad \because f\text{はリーマン積分可能} \\
&=&\int_{a}^{b}\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[
\frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を得ます。先の考察より、分割\(P\)の大きさを\(0\)に近づけるにつれて\(L\left( P\right) \)の値は曲線\(C\)の長さへ近づいていくため、\begin{equation*}C\text{の長さ}=\int_{a}^{b}\sqrt{\left[ \frac{dx\left(
t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt
\end{equation*}と定めます。

結論を整理します。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}が与えられているとともに、この曲線\(C\)が\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかである場合には、\begin{equation*}C\text{の長さ}=\int_{a}^{b}\sqrt{\left[ \frac{dx\left(
t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt
\end{equation*}と定めます。

滑らかな弧へ分割可能な曲線の長さ

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかではない場合においても、区間\(\left[ a,b\right] \)を複数の小区間へ分割し、それぞれの小区間において曲線\(C\)が滑らかである場合には、小区間上に定義された個々の弧の長さを求めた上でそれらの総和をとれば、もとの曲線\(C\)の長さが得られます。

演習問題