1変数関数のリーマン積分可能性とダルブー積分可能性の関係

リーマン積分可能性とダルブー積分可能性の関係

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が有界であるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast}\right\} _{k=1}^{n}\)が与えられれば、関数\(f\)のリーマン和は、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right)
\end{equation*}として定まります。ただし、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)とは以下の条件\begin{equation*}a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる組であり、代表点の組\(P^{\ast }\)とは以下の条件\begin{equation*}x_{k}^{\ast }\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{1}^{\ast },\cdots ,x_{n}^{\ast }\in \mathbb{R} \)からなる組です。また、分割\(P\)の大きさは、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義されます。関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることとは、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)のリーマン和がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、上の極限\(\alpha \)を\(f\)の\(\left[a,b\right] \)間の定積分と呼び、そのことを、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\alpha
\end{equation*}で表記します。

関数\(f\)のリーマン和\(S\left(f,P,P^{\ast }\right) \)は区間の分割\(P\)に依存するだけでなく、分割\(P\)に対する代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方にも依存します。関数\(f\)がリーマン積分可能であることを示す際には分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)をともに動かす状況を想定する必要があるため、多くの場合、その手続きは煩雑になります。よりシンプルな条件を用いて関数がリーマン積分可能であることを判定できれば、それはより望ましいと言えます。ここで役に立つのが上積分と下積分です。

有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選べば、\(f\)の上リーマン和は、\begin{equation*}U\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot M_{k}
\end{equation*}と定義され、\(f\)の下リーマン和は、\begin{equation*}L\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot m_{k}
\end{equation*}と定義されます。ただし、\begin{eqnarray*}
M_{k} &=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right\} \\
m_{k} &=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right\}
\end{eqnarray*}です。上リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}ですが、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)間の上リーマン積分はこの集合の下限\begin{equation*}\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\inf \left\{ U\left( f,P\right)
\in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}と定義されるとともに、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P:\left( \left\vert
P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert U\left( f,P\right) -\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一方、下リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}ですが、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)間の下リーマン積分はこの集合の上限\begin{equation*}\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\sup \left\{ L\left( f,P\right)
\in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}と定義されるとともに、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P:\left( \left\vert
P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert L\left( f,P\right) -\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。関数\(f\)が有界である場合、上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ1つの実数として定まることが保証されます。

先ほど指摘したように、関数\(f\)のリーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast }\right) \)は区間の分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)の双方に依存するため、関数\(f\)がリーマン積分可能であることを判定する作業は煩雑になりがちです。一方、関数\(f\)の上リーマン和\(U\left( f,P\right) \)や下リーマン和\(L\left( f,P\right) \)は区間の分割\(P\)のみに依存するため、関数\(f\)の上リーマン積分や下リーマン積分は比較的容易に導出できます。したがって、定積分を特定する作業を上リーマン積分および下リーマン積分を特定する作業に帰着できるのであれば、それは望ましいと言えます。

有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された有界関数\(f\)の上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ1つの実数として定まりますが、両者は一致するとは限りません。上リーマン積分と下リーマン積分の値が一致する場合には、関数\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上においてダルブー積分可能（Darboux integrable）であると言います。関数の上リーマン積分と下リーマン積分が一致することは、すなわち関数がダルブー積分可能であることは、その関数がリーマン積分可能であることと必要十分であるとともに、この場合、定積分の値は上リーマン積分および下リーマン積分の値と一致することが保証されます。

上積分と下積分を用いた積分可能性の判定

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が有界である場合、上積分と下積分はいずれも有限な実数として定まります。繰り返しになりますが、上積分と下積分はそれぞれ、\begin{eqnarray*}\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\inf \left\{ U\left(
f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\sup \left\{ L\left(
f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。もしくは、ダルブーの定理より、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}U\left( f,P\right) &=&\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx \\
\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L\left( f,P\right) &=&\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、極限を用いて上積分と下積分を導出することもできます。いずれにせよ、何らかの方法を通じて上積分と下積分を求めた上で、それらの値が一致することを確認できれば、先の命題より、その値は定積分と一致することが保証されます。

上積分と下積分を用いた積分不可能性の判定

繰り返しになりますが、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が有界である場合、上積分と下積分はいずれも有限な実数として定まります。上積分と下積分が一致することは関数\(f\)が積分可能であるための必要十分条件であるため、上積分と下積分が一致しない場合、関数\(f\)は積分可能ではありません。

演習問題