絶対値と定積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert f\left( x\right)
\right\vert
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界かつリーマン積分可能である場合、関数\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(\left[ a,b\right] \)上において有界かつリーマン積分可能であるとともに、両者の定積分の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\right\vert \leq
\int_{a}^{b}\left\vert f\left( x\right) \right\vert dx
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、関数\(f\)の定積分の絶対値は関数\(\left\vert f\right\vert \)の定積分を上回らないということです。絶対値の定義より、これを、\begin{equation*}-\int_{a}^{b}\left\vert f\left( x\right) \right\vert dx\leq
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\leq \int_{a}^{b}\left\vert f\left( x\right)
\right\vert dx
\end{equation*}と表現することもできます。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、そこから関数\(\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\left\vert \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\right\vert \leq
\int_{a}^{b}\left\vert f\left( x\right) \right\vert dx
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数であるため\(\left[ -1,1\right] \)上においてリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{1}xdx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ 1^{2}-\left( -1\right) ^{2}\right] \quad \because \text{恒等関数の定積分} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。関数\(\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) &=&\left\vert f\left( x\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を定めますが、先の命題より\(\left\vert f\right\vert \)は\(\left[-1,1\right] \)上でリーマン積分可能です。実際、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{1}\left\vert f\left( x\right) \right\vert dx
&=&\int_{-1}^{1}\left\vert x\right\vert dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{-1}^{0}\left( -x\right) dx+\int_{0}^{1}xdx\quad \because \text{定積分の加法性} \\
&=&-\int_{-1}^{0}xdx+\int_{0}^{1}xdx \\
&=&-\frac{1}{2}\left[ 0^{2}-\left( -1\right) ^{2}\right] +\frac{1}{2}\left(
1^{2}-0^{2}\right) \quad \because \text{恒等関数の定積分} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。さらに、\begin{eqnarray*}
\left\vert \int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx\right\vert &=&\left\vert
0\right\vert =0 \\
\int_{-1}^{1}\left\vert f\left( x\right) \right\vert dx &=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert \int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx\right\vert \leq
\int_{-1}^{1}\left\vert f\left( x\right) \right\vert dx
\end{equation*}が成立します。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
定積分の値の範囲の特定
有界閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がリーマン積分可能であることが判明している一方で、その定積分が判明していない状況を想定します。\(f\)は有界である場合には\(\left\vert f\right\vert \)もまた有界であるため、その値域の上限\(\sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right) \)が有限な実数として定まります。加えて、上限の定義より、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :\left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq
\sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\sup\left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right) \)を\(\left[ a,b\right] \)上に定義された定数関数とみなすのであれば、定数関数はリーマン積分可能であるため、定積分の単調性より、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left\vert f\left( x\right) \right\vert dx\leq \int_{a}^{b}\sup
\left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、定数関数の定積分に関しては、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right)
dx=\left( b-a\right) \sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right]
\right)
\end{equation*}となるため、先の不等式を、\begin{equation}
\int_{a}^{b}\left\vert f\left( x\right) \right\vert dx\leq \left( b-a\right)
\sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現できます。また、与えられた条件のもとでは、先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\right\vert \leq
\int_{a}^{b}\left\vert f\left( x\right) \right\vert dx
\end{equation*}が成り立つため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\left\vert \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\right\vert \leq \left( b-a\right)
\sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\left( b-a\right) \sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right]
\right) \leq \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\leq \left( b-a\right) \sup
\left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}を得ます。つまり、リーマン積分可能な関数\(f\)に関しては、定積分がとり得る値の範囲を上の不等式から絞り込めるということです。
\sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数は連続であるため\(f\)は\(\left[ 0,\pi \right] \)上でリーマン積分可能です。さらに、\begin{eqnarray*}\sup \left\vert f\right\vert \left( \left[ 0,\pi \right] \right) &=&\sup
\left\vert \sin \right\vert \left( \left[ 0,\pi \right] \right) \\
&=&\sup \left\{ \left\vert \sin \left( x\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,\pi \right] \right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、上の命題より、定積分は、\begin{equation*}
\left\vert \int_{0}^{\pi }f\left( x\right) dx\right\vert \leq \left( \pi
-0\right) \cdot 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\pi \leq \int_{0}^{\pi }f\left( x\right) dx\leq \pi
\end{equation*}を満たします。正弦関数の定積分の導出方法は場を改めて解説しますが、実際の値は、\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }\sin \left( x\right) dx=2
\end{equation*}であり、この結果は先の不等式と整合的です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }f\left( x\right) dx<5
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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