小区間上で積分可能な関数は区間上で積分可能
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であるか検討している状況を想定します。\(a<c<b\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、区間\(\left[ a,b\right] \)を2つの小区間\(\left[ a,c\right] \)と\(\left[ c,b\right] \)へ分割できます。\(f\)が\(\left[ a,c\right] \)上および\(\left[ c,b\right] \)上においてリーマン積分可能であることが判明している場合、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であることが保証されるとともに、それらの定積分の間には、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{a}^{c}f\left( x\right)
dx+\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}という関係が成立します。つまり、それぞれの小区間においてリーマン積分可能な関数はもとの区間においてもリーマン積分可能であり、それぞれの小区間における定積分の和をとればもとの区間における定積分が得られるということです。
dx+\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ -1,0\right] \)上で単調減少であるため\(\left[ -1,0\right] \)上でリーマン積分可能であり、\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上で単調増加であるため\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であるため、先の命題より、\(f\)は\(\left[ -1,1\right] \)上でリーマン積分可能であり、\begin{equation*}\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx=\int_{-1}^{0}f\left( x\right)
dx+\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち\begin{equation*}
\int_{-1}^{1}x^{2}dx=\int_{-1}^{0}x^{2}dx+\int_{0}^{1}x^{2}dx
\end{equation*}という関係が成り立ちます。実際、\(f\)は\(\left[-1,1\right] \)上で連続であるため\(\left[ -1,1\right] \)上でリーマン積分可能です。
\begin{array}{cc}
x^{2} & \left( if\ 0\leq x\leq 2\right) \\
1-x & \left( if\ 2\leq x\leq 5\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 0,2\right] \)上で単調増加であるため\(\left[ 0,2\right] \)上でリーマン積分可能であり、\(f\)は\(\left[ 2,5\right]\)上で単調減少であるため\(\left[ 2,5\right] \)上でリーマン積分可能であるため、先の命題より、\(f\)は\(\left[ 0,5\right] \)上でリーマン積分可能であり、\begin{equation*}\int_{0}^{5}f\left( x\right) dx=\int_{0}^{2}f\left( x\right)
dx+\int_{2}^{5}f\left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{0}^{5}f\left( x\right) dx=\int_{0}^{2}x^{2}dx+\int_{2}^{5}\left(
1-x\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ちなみに、\(f\)は点\(2\)において連続ではないため、連続性から積分可能性を導出することはできません。
区間上で積分可能な関数は小区間上で積分可能
小区間上で積分可能な関数は区間上で積分可能であることが明らかになりましたが、実は、その逆の関係もまた成立します。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であることが判明している状況を想定します。\(a<c<b\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、区間\(\left[ a,b\right] \)を2つの小区間\(\left[ a,c\right] \)と\(\left[ c,b\right] \)へ分割できますが、この場合、\(f\)はが\(\left[ a,c\right] \)上および\(\left[ c,b\right] \)上においてリーマン積分可能であることが保証されるとともに、それらの定積分の間には、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{a}^{c}f\left( x\right)
dx+\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}という関係が成立します。つまり、区間においてリーマン積分可能な関数はそれぞれの小区間においてもリーマン積分可能であり、それぞれの小区間における定積分の和をとればもとの区間における定積分が得られるということです。
dx+\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つ。
定積分の加法性
先の2つの命題より、関数が有界閉区間上においてリーマン積分可能であることと、それぞれの小区間においてリーマン積分可能であることが必要十分であることが明らかになりました。したがって以下の命題を得ます。これを定積分の加法性（additivity）と呼びます。
\(a<c<b\)を満たす実数\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることと、\(f\)が\(\left[ a,c\right] \)上および\(\left[ c,b\right] \)上でリーマン積分可能であることは必要十分であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{a}^{c}f\left( x\right)
dx+\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つ。
上の命題は区間を2つに分割する状況を想定したものですが、区間を有限かつ任意個に分割する場合にも同様の主張が成り立ちます。証明では小区間の個数に関する数学的帰納法を利用します。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。さらに、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選ぶ。このとき、関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることと、\(f\)が任意の小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)においてリーマン積分可能であることは必要十分であるとともに、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{x_{0}}^{x_{1}}f\left( x\right)
dx+\cdots +\int_{x_{n-1}}^{x_{n}}f\left( x\right) dx \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}という関係が成り立つ。ただし、\(x_{0}=a\)かつ\(x_{n}=b\)である。
定積分の加法性の一般化
これまでは\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(a\)から\(b\)までの定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}について考えてきましたが、逆に、\(b\)から\(a\)までの定積分を、\begin{equation}\int_{b}^{a}f\left( x\right) dx=-\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとして定義します。つまり、定積分の端点を入れ替えると積分の符号が逆になるということです。加えて、端点が等しい場合の定積分\begin{equation*}
\int_{a}^{a}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を新たに導入する場合、\(\left( 1\right) \)を認めるのであれば、\begin{equation*}\int_{a}^{a}f\left( x\right) dx=-\int_{a}^{a}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を得ますが、定積分は1つの実数として定まるとともに、正負の値が一致する実数は\(0\)しか存在しないため、この場合、\begin{equation}\int_{a}^{a}f\left( x\right) dx=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}とならざるを得ません。そこで、\(\left( 2\right) \)によって点における定積分の定義とします。
定積分の加法性とは、\(a<c<b\)を満たす実数\(a,b,c\)について、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{a}^{c}f\left( x\right)
dx+\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つという主張ですが、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)を踏まえると、実数\(a,b,c\)の位置関係に関わらず同様の関係が成り立つことを示すことができます。
m &=&\min \left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}と表記した上でそれらを端点とする有界閉区間上に関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ m,M\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。関数\(f\)が\(\left[ m,M\right] \)上でリーマン積分可能であるならば、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{a}^{c}f\left( x\right)
dx+\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つ。
定積分の加法性を利用したリーマン積分可能性の判定方法
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であるか検討している状況を想定します。
関数\(f\)が定義域\(\left[ a,b\right] \)上において単調関数であるとは限らない場合でも、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を適当に選ぶことにより、\(f\)がそれぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)上において単調関数になる状況は起こり得ます。単調関数はリーマン積分可能であるため、\(f\)はそれぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)上においてリーマン積分可能です。すると先の命題より、\(f\)はもとの区間\(\left[ a,b\right] \)においてもリーマン積分可能であることが保証されます。
\end{equation*}を定めるものとします。以下のような\(\left[0,2\pi \right] \)の分割\begin{equation*}P=\left\{ 0,\pi ,2\pi \right\}
\end{equation*}に注目します。関数\(f\)はそれぞれの小区間\begin{equation*}\left[ 0,\pi \right] ,\ \left[ \pi ,2\pi \right] \end{equation*}上において単調関数であるためリーマン積分可能であり、したがって先の命題より、\(f\)はもとの区間\(\left[0,2\pi \right] \)上においてもリーマン積分可能です。定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{2\pi }f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{2\pi }\sin \left( x\right)
dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{0}^{\pi }\sin \left( x\right) dx+\int_{\pi }^{2\pi }\sin \left(
x\right) dx\quad \because \text{定積分の加法性}
\end{eqnarray*}を満たします。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が\(\left[ 0,2\pi \right] \)上においてリーマン積分可能であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が\(\left[ -1,2\right] \)上においてリーマン積分可能であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が\(\left[ 0,1\right]\)上においてリーマン積分可能であることを示してください。
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