区間の左側の端点において無限大となる関数の広義積分
これまでは有界閉区間上に定義された有界な関数に対象を限定した上で、そのような関数がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、リーマン積分可能な関数の性質について解説してきました。では、定義域が有界閉区間ではないような関数や、有界ではない関数などについても、そのリーマン積分可能性を検討できるのでしょうか。まずは有界ではない関数について考えます。以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、このままでは\(f\)が有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であるか検討できません。ただ、有界閉区間上でリーマン積分可能な関数に関しては、区間\(\left[ 0,1\right] \)上の有限個の点\(x\)に対して関数が定める値を自由に入れ替えても、その関数は\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であることが保証されます。したがって、先の関数\(f\)が区間\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であるか検討する際には、区間の端点\(0\)に対して\(f\)が定める値\(f\left( 0\right) \)を任意に選んでも一般性は失われません。ただ、\(f\left( 0\right) \)の値を任意に選ぶことにより関数\(f\)の定義域を拡張して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を得たとしても、そもそもこの関数は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界ではありません。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{-\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つからです。リーマン積分は、有界閉区間上に定義された有界関数に対して定義される概念であるため、結局、この関数\(f\)が区間\(\left[ 0,1\right]\)上でリーマン積分可能であるか検討することさえできません。
上の例が示唆するように、定義域である区間の端点において無限大となる有界ではない関数に対しては、そもそもリーマン積分可能であるか検討できません。このような問題を解決するためには、リーマン積分の概念を何らかの形で拡張する必要があります。具体的には以下の通りです。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界半開区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\pm \infty
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、この関数は有界ではないということです。その一方で、\begin{equation*}
a<c<b
\end{equation*}を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ c,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\left[ c,b\right] \)において有界であるものとします。関数\(f\)が新たな定義域である有界閉区間\(\left[ c,b\right] \)上で有界であるならば、\(f\)が\(\left[ c,b\right] \)上でリーマン積分可能であるか検討できます。その上で、\(f\)は常に\(\left[ c,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとします。つまり、\(a<c<b\)を満たす\(c\in \mathbb{R} \)としてどのような値を選んだ場合でも、関数\(f\)の区間\(\left[ c,b\right] \)上での不定積分\begin{equation*}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まる状況を想定するということです。以上の仮定のもとでは、\(a\)に限りなく近い任意の\(c\)について不定積分\(\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx\)が有限な実数として定まることが保証されるため、\(c\rightarrow a+\)の場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{c\rightarrow a+}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をとることができます。この右側極限が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)はそもそもの定義域である区間\(\left( a,b\right] \)上で広義積分可能（improper integrable）であると言います。また、\(f\)が区間\(\left( a,b\right]\)上で広義積分可能である場合、先の右側極限を、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow a+}\int_{c}^{b}f\left(
x\right) dx
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(\left( a,b\right] \)上での広義積分（improper integral）と呼びます。
改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( a,b\right] \)上で広義積分可能であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\int_{c}^{b}f\left(
x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow a+}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。その上で、\(f\)の\(\left(a,b\right] \)上での広義積分は、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow a+}\int_{c}^{b}f\left(
x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。なお、関数\(f\)が\(\left( a,b\right] \)上で広義積分可能ではない場合、\(f\)は\(\left( a,b\right] \)上で発散する（diverge）と言います。
定義域である区間の端点において有界ではない関数を念頭に置いた上で先のように定義される積分を第2種の広義積分（improper integral of type 2）と呼びます。ちなみに、第1種の広義積分は、無限区間上での積分を念頭に置いた上で定義される積分です。詳細は場を改めて解説します。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において定義されておらず、なおかつ、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}x^{-\frac{1}{2}}=+\infty
\end{equation*}であるため、\(f\)が\(\left( 0,1\right]\)上で広義積分可能であるか検証します。そこで、\begin{equation*}0<\varepsilon <1
\end{equation*}を満たす\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(f\)の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ \varepsilon ,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ \varepsilon ,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ \varepsilon ,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{-\frac{1}{2}}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ \varepsilon ,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,\varepsilon ^{-\frac{1}{2}}\right] \quad \because 0<\varepsilon
<1 \\
&=&\left[ 1,\frac{1}{\sqrt{\varepsilon }}\right] \end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\left[\varepsilon ,1\right] \)上で有界です。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{\varepsilon }^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{\varepsilon }^{1}x^{-\frac{1}{2}}dx \\
&=&\left[ 2x^{\frac{1}{2}}\right] _{\varepsilon }^{1} \\
&=&2\cdot 1^{\frac{1}{2}}-2\cdot \varepsilon ^{\frac{1}{2}} \\
&=&2-2\sqrt{\varepsilon }
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{\varepsilon }^{1}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\left( 2-2\sqrt{\varepsilon }\right) \\
&=&2-0 \\
&=&2
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left( 0,1\right] \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx=2
\end{equation*}となります。
区間の右側の端点において無限大となる関数の広義積分
定義域である区間の右側の端点において無限大となる有界ではない関数についても、その広義積分を同様に定義します。具体的には以下の通りです。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界半開区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =\pm \infty
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、この関数は有界ではないということです。その一方で、\begin{equation*}
a<c<b
\end{equation*}を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,c\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\left[ a,c\right] \)において有界であるものとします。関数\(f\)が新たな定義域である有界閉区間\(\left[ a,c\right] \)上で有界であるならば、\(f\)が\(\left[ a,c\right] \)上でリーマン積分可能であるか検討できます。その上で、\(f\)は常に\(\left[ a,c\right] \)上でリーマン積分可能であるものとします。つまり、\(a<c<b\)を満たす\(c\in \mathbb{R} \)としてどのような値を選んだ場合でも、関数\(f\)の区間\(\left[ a,c\right] \)上での不定積分\begin{equation*}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まる状況を想定するということです。以上の仮定のもとでは、\(b\)に限りなく近い任意の\(c\)について不定積分\(\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx\)が有限な実数として定まることが保証されるため、\(c\rightarrow b-\)の場合の左側極限\begin{equation*}\lim_{c\rightarrow b-}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をとることができます。この左側極限が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)はそもそもの定義域である区間\(\left[ a,b\right) \)上で広義積分可能（improper integrable）であると言います。また、\(f\)が区間\(\left[a,b\right) \)上で広義積分可能である場合、先の左側極限を、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow b-}\int_{a}^{c}f\left(
x\right) dx
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(\left[ a,b\right) \)上での広義積分（improper integral）と呼びます。
改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right) \)上で広義積分可能であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\int_{a}^{c}f\left(
x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow b-}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。その上で、\(f\)の\(\left[a,b\right) \)上での広義積分は、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow b-}\int_{a}^{c}f\left(
x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。なお、関数\(f\)が\(\left[ a,b\right) \)上で広義積分可能ではない場合、\(f\)は\(\left[ a,b\right) \)上で発散する（diverge）と言います。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において定義されておらず、なおかつ、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
-x\right) ^{-\frac{1}{2}}=+\infty
\end{equation*}であるため、\(f\)が\(\left[-1,0\right) \)上で広義積分可能であるか検証します。そこで、\begin{equation*}-1<\varepsilon <0
\end{equation*}を満たす\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(f\)の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,\varepsilon \right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -1,\varepsilon \right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,\varepsilon \right] \right\} \\
&=&\left\{ \left( -x\right) ^{-\frac{1}{2}}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,\varepsilon \right] \right\} \\
&=&\left[ 1,\left( -\varepsilon \right) ^{-\frac{1}{2}}\right] \quad
\because -1<\varepsilon <0 \\
&=&\left[ 1,\frac{1}{\sqrt{-\varepsilon }}\right] \end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\left[-1,\varepsilon \right] \)上で有界です。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{\varepsilon }f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{\varepsilon
}\left( -x\right) ^{-\frac{1}{2}}dx \\
&=&\left[ -2\left( -x\right) ^{\frac{1}{2}}\right] _{-1}^{\varepsilon } \\
&=&-2\cdot \left( -\varepsilon \right) ^{\frac{1}{2}}+2\cdot 1^{\frac{1}{2}}
\\
&=&-2\sqrt{-\varepsilon }+2
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0-}\int_{-1}^{\varepsilon }f\left( x\right) dx
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0-}\left( -2\sqrt{-\varepsilon }+2\right)
\\
&=&0+2 \\
&=&2
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left[ -1,0\right) \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx=2
\end{equation*}となります。
区間の内点において有界ではない関数の広義積分
有界閉区間の内点において無限大となる有界ではない関数については、その内点を境に区間を2つに分割した上で、それぞれの区間において広義積分可能であるか検証します。双方の区間において広義積分可能である場合、その関数は全体の有界閉区間において広義積分可能であるものと定めます。その上で、2つの区間における広義積分の和として、全体の区間における広義積分を定義します。具体的には以下の通りです。
\(a<c<b\)を満たす実数\(a,b,c\in \mathbb{R} \)について、関数\(f\)は点\(c\)を除く有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上の任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \backslash \left\{ c\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow c-}f\left( x\right) &=&\pm \infty \\
\lim_{x\rightarrow c+}f\left( x\right) &=&\pm \infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つものとします。つまり、この関数は有界ではないということです。その上で、この関数\(f\)が区間\(\left[ a,c\right) \)上で広義積分可能であり、なおかつ区間\(\left( c,b\right] \)上で広義積分可能であるならば、すなわち、広義積分\begin{eqnarray*}&&\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx \\
&&\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まる場合には、この関数\(f\)はそもそもの定義域である\(\left[ a,b\right] \backslash \left\{ c\right\} \)上で広義積分可能（improper integrable）であると言います。その上で、\(f\)の\(\left[ a,b\right]\backslash \left\{ c\right\} \)上での広義積分（improper integral）を、\(\left[ a,c\right) \)上での広義積分と\(\left( c,b\right] \)上での広義積分の和として定義します。つまり、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{a}^{c}f\left( x\right)
dx+\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}として\(f\)の\(\left[ a,b\right] \backslash \left\{c\right\} \)上での広義積分を定義するということです。一方、関数\(f\)が区間\(\left[ a,c\right) \)上で広義積分可能ではないか、区間\(\left( c,b\right] \)上で広義積分可能ではないか、その少なくとも一方が成り立つ場合、この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \backslash \left\{c\right\} \)上で広義積分可能ではないものと定め、この場合、\(f\)は\(\left[ a,b\right]\backslash \left\{ c\right\} \)上で発散する（diverge）と言います。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において定義されておらず、なおかつ、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}x^{-\frac{1}{3}}=-\infty \\
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{-\frac{1}{3}}=+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)が\(\left[ -1,1\right] \backslash \left\{ 0\right\} \)上で広義積分可能であるか検証します。つまり、\(f\)が\(\left[ -1,0\right) \)上で広義積分可能かつ\(\left( 0,1\right] \)上で広義積分可能であるか検証するということです。まずは\(f\)が\(\left[-1,0\right) \)上で広義積分可能であるか検証します。そこで、\begin{equation*}-1<\varepsilon <0
\end{equation*}を満たす\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{\varepsilon }f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{\varepsilon }x^{-\frac{1}{3}}dx \\
&=&\left[ \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\right] _{-1}^{\varepsilon } \\
&=&\frac{3}{2}\varepsilon ^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{2}\left( -1\right) ^{\frac{2}{3}} \\
&=&\frac{3}{2}\varepsilon ^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0-}\int_{-1}^{\varepsilon }f\left( x\right) dx
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0-}\left( \frac{3}{2}\varepsilon ^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{2}\right) \\
&=&0-\frac{3}{2} \\
&=&-\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left[ -1,0\right) \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx=-\frac{3}{2}
\end{equation*}となります。続いて、\(f\)が\(\left( 0,1\right] \)上で広義積分可能であるか検証します。そこで、\begin{equation*}0<\varepsilon <1
\end{equation*}を満たす\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\int_{\varepsilon }^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{\varepsilon }^{1}x^{-\frac{1}{3}}dx \\
&=&\left[ \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\right] _{\varepsilon }^{1} \\
&=&\frac{3}{2}1^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{2}\varepsilon ^{\frac{2}{3}} \\
&=&\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\varepsilon ^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{\varepsilon }^{1}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\left( \frac{3}{2}-\frac{3}{2}\varepsilon ^{\frac{2}{3}}\right) \\
&=&\frac{3}{2}-0 \\
&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left( 0,1\right] \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx=\frac{3}{2}
\end{equation*}となります。以上より、\(f\)は\(\left[ -1,1\right] \backslash \left\{ 0\right\} \)上で広義積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}f\left( x\right)
dx+\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx \\
&=&-\frac{3}{2}+\frac{3}{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であることが明らかになりました。
関数は広義積分可能であるとは限らない
関数は広義積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。\begin{equation*}
0<\varepsilon <1
\end{equation*}を満たす\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(f\)の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ \varepsilon ,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ \varepsilon ,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ \varepsilon ,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ \varepsilon ,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,\frac{1}{\varepsilon }\right] \quad \because 0<\varepsilon <1
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\left[\varepsilon ,1\right] \)上で有界です。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{\varepsilon }^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{\varepsilon }^{1}\left(
\frac{1}{x}\right) dx \\
&=&\left[ \ln \left( \left\vert x\right\vert \right) \right] _{\varepsilon
}^{1} \\
&=&\ln \left( 1\right) -\ln \left( \varepsilon \right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{\varepsilon }^{1}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\left( \ln \left( 1\right) -\ln \left(
\varepsilon \right) \right) \\
&=&\ln \left( 1\right) -\left( -\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left( 0,1\right] \)上で広義積分可能ではありません（発散する）。
演習問題
\int_{1}^{3}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx
\end{equation*}が広義積分であることを確認してください。その上で、広義積分可能であるか検討するとともに、広義積分可能である場合には広義積分の値を具体的に求めてください。
\int_{0}^{1}\ln \left( x\right) dx
\end{equation*}が広義積分であることを確認してください。その上で、広義積分可能であるか検討するとともに、広義積分可能である場合には広義積分の値を具体的に求めてください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】