原始関数に関する直接置換の定理
区間上に定義された関数が連続である場合には原始関数が存在することが保証されるものの、原始関数を具体的に特定することが困難であるような状況は多々発生します。そのような場合には、問題をより扱い形へ変換してから原始関数を特定することになります。まずは根拠となる命題を示し、続いて、その命題を利用して原始関数を特定する方法を解説し、その上で具体例を提示します。
区間上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。\(g\)の値域\(g\left( J\right) \)が\(f\)の定義域\(I\)の部分集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in J:g\left( x\right) \in I
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ g:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in J\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( x\right) =f\left( g\left( x\right) \right)
\end{equation*}を値として定めます。連続関数どうしの合成関数は連続であるため、\(f\)と\(g\)がともに連続であれば\(f\circ g\)は連続です。さらに、\(g\)が\(C^{1}\)級である場合には連続な導関数\begin{equation*}\frac{dg}{dx}:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。合成関数\(f\circ g\)および導関数\(\frac{dg}{dx}\)が与えられれば新たな関数\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \cdot \frac{dg}{dx}:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数はそれぞれの\(x\in J\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \left( f\circ g\right) \cdot \frac{dg}{dx}\right) \left( x\right)
&=&f\left( g\left( x\right) \right) \cdot \frac{dg\left( x\right) }{dx} \\
&=&\left. f\left( u\right) \right\vert _{u=g\left( x\right) }\cdot \frac{dg\left( x\right) }{dx}
\end{eqnarray*}を値として定めます。連続関数どうしの積として定義される関数は連続であるため、先の仮定のもとでは関数\(\left( f\circ g\right) \cdot \frac{dg}{dx}\)は連続関数になるため、その原始関数が存在することが保証されることに注意してください。さて、仮定より関数\(f\)もまた連続であるため、その原始関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もまた存在します。つまり、\begin{equation*}
\forall u\in I:\frac{dF\left( u\right) }{du}=f\left( u\right)
\end{equation*}を満たす関数\(F\)が存在するということです。原始関数\(F\)は変数\(u\)に関する関数であるため、\begin{equation*}u=g\left( x\right)
\end{equation*}を用いてこれを変数\(x\)に関する関数\(F\left( g\left( x\right)\right) \)へ変換すれば、すなわち、合成関数\begin{equation*}F\circ g:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}をとれば、これは\(\left(f\circ g\right) \cdot \frac{dg}{dx}\)の原始関数になることが保証されます。これは直接置換（direct substitution）と呼ばれる主張です。関数\(\left( f\circ g\right) \cdot \frac{dg}{dx}\)の原始関数を求めることが困難である一方、関数\(f\)の原始関数を求めることが容易である場合、この手法は有用です。
直接置換が有効であることの根拠は以下の命題です。これを直接置換の定理（direct substitution theorem）と呼びます。
\end{equation*}を定める関数\(F\circ g+C:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは\(\left( f\circ g\right) \cdot \frac{dg}{dx}\)の原始関数になる。
区間上に定義された連続関数が与えられた状況を想定します。その一方で、その原始関数を特定するのが困難であるものとします。関数の形状を観察したところ、その関数は2つの関数\(f,g\)および関数\(g\)の導関数\(\frac{dg}{dx}\)を用いて、\begin{equation*}f\left( g\left( x\right) \right) \cdot \frac{dg\left( x\right) }{dx}=\left.
f\left( u\right) \right\vert _{u=g\left( x\right) }\cdot \frac{dg\left(
x\right) }{dx}
\end{equation*}という形で表されていることに気づくことができた状況を想定します。ただし、\(f\)は連続であり、\(g\)は\(C^{1}\)級です。この場合、直接置換の定理より、関数\(f\)の原始関数\(F\left(u\right) \)を特定した上で、\(u=g\left( x\right) \)を用いてこれを変数\(x\)に関する関数\(F\left(g\left( x\right) \right) \)に変換すれば、これはもとの関数\(\left( f\circ g\right) \cdot \frac{dg}{dx}\)の原始関数であることが保証されます。与えられた関数の形状を観察した上で、以上のような形で原始関数を特定する手法を\(u\)-置換（\(u\)-substitution）や直接置換（direct substitution）などと呼びます。直接置換を用いて原始関数を求める手順を改めて整理します。
- 与えられた関数が区間上に定義された連続であることを確認する。この場合、その関数の原始関数が存在することが保証される。
- その関数が2つの関数\(f,g\)を用いて、\begin{equation*}f\left( g\left( x\right) \right) \cdot \frac{dg\left( x\right) }{dx}=\left.f\left( u\right) \right\vert _{u=g\left( x\right) }\cdot \frac{dg\left( x\right) }{dx}
\end{equation*}という形で表されているか観察する。ただし、\(f\)は連続であり、\(g\)は\(C^{1}\)級でなければならない。 - 関数\(f\left( u\right) \)の原始関数\(F\left( u\right) \)を求めた上で、\(u=g\left( x\right) \)を用いてそれを\(F\left( g\left( x\right) \right) \)へ変換する。関数\(F\left( g\left( x\right) \right) +C\)は\(\left( f\circ g\right) \cdot \frac{dg}{dx}\)の原始関数である。
以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため原始関数が存在します。この関数\(f\)の形状を観察すると、\begin{eqnarray*}x^{2}e^{x^{3}} &=&\left. e^{u}\right\vert _{u=x^{3}}\cdot \frac{1}{3}\frac{d}{dx}x^{3} \\
&=&\left. \frac{1}{3}e^{u}\right\vert _{u=x^{3}}\cdot \frac{d}{dx}x^{3}
\end{eqnarray*}であることに気が付きます。関数\(\frac{1}{3}e^{u}\)は連続であり、関数\(x^{3}\)は\(C^{1}\)級であるため直接置換を利用できます。具体的には、関数\(\frac{1}{3}e^{u}\)の原始関数は、\begin{equation*}\frac{1}{3}e^{u}+C
\end{equation*}であるため、\(u=x^{3}\)を用いてこれを変数\(x\)に関する関数に変換すると、\begin{equation*}\frac{1}{3}e^{x^{3}}+C
\end{equation*}を得ますが、先の命題より、これはもとの関数\(f\)の原始関数です。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{3}e^{x^{3}}+C\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{1}{3}e^{x^{3}}+\frac{d}{dx}C \\
&=&\frac{1}{3}\frac{d}{dx}e^{x^{3}}+0 \\
&=&\frac{1}{3}\left( \left. \frac{d}{du}e^{u}\right\vert _{u=x^{3}}\cdot
\frac{d}{dx}x^{3}\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{1}{3}\left( \left. e^{u}\right\vert _{u=x^{3}}\cdot \frac{d}{dx}x^{3}\right) \\
&=&\frac{1}{3}\left( e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}\right) \\
&=&x^{2}e^{x^{3}} \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成立しています。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上で連続であるため原始関数が存在します。この関数\(f\)の形状を観察すると、\begin{equation*}\sin ^{2}\left( x\right) \cdot \cos \left( x\right) =\left. u^{2}\right\vert
_{u=\sin \left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\sin \left( x\right)
\end{equation*}であることに気が付きます。関数\(x^{2}\)は連続であり、関数\(\sin \left(x\right) \)は\(C^{1}\)級であるため直接置換を利用できます。具体的には、関数\(u^{2}\)の原始関数は、\begin{equation*}\frac{1}{3}u^{3}+C
\end{equation*}であるため、\(u=\sin \left( x\right) \)を用いてこれを変数\(x\)に関する関数に変換すると、\begin{equation*}\frac{1}{3}\sin ^{3}\left( x\right) +C
\end{equation*}を得ますが、先の命題より、これはもとの関数\(f\)の原始関数です。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{3}\sin ^{3}\left( x\right) +C\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{1}{3}\sin ^{3}\left( x\right) +\frac{d}{dx}C \\
&=&\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\sin ^{3}\left( x\right) +0 \\
&=&\frac{1}{3}\left( \left. \frac{d}{du}u^{3}\right\vert _{u=\sin \left(
x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{1}{3}\left( \left. 3u^{2}\right\vert _{u=\sin \left( x\right)
}\cdot \cos \left( x\right) \right) \\
&=&\frac{1}{3}\left( 3\sin ^{2}\left( x\right) \cdot \cos \left( x\right)
\right) \\
&=&\sin ^{2}\left( x\right) \cdot \cos \left( x\right) \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成立しています。
不定積分に関する直接置換の定理
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、不定積分に関する以下の命題が得られます。
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
直接置換を用いて不定積分を求める手順を整理します。
- 与えられた関数が区間上に定義された連続であることを確認する。この場合、その関数の不定積分が存在することが保証される。
- その関数が2つの関数\(f,g\)を用いて、\begin{equation*}f\left( g\left( x\right) \right) \cdot \frac{dg\left( x\right) }{dx}=\left.f\left( u\right) \right\vert _{u=g\left( x\right) }\cdot \frac{dg\left(x\right) }{dx}
\end{equation*}という形で表されているか観察する。ただし、\(f\)は連続であり、\(g\)は\(C^{1}\)級でなければならない。 - 関数\(f\left( u\right) \)の不定積分\begin{equation*}\int f\left( u\right) du\end{equation*}を求める。
- 与えられた不定積分は変数\(u\)に関する関数からなる集合であるため、\(u=g\left( x\right) \)を用いてそれを変数\(x\)に関する関数からなる集合へ変換すれば関数\(f\left(g\left( x\right) \right) \cdot \frac{dg\left( x\right) }{dx}\)の不定積分が得られる。
以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。この関数\(f\)の形状を観察すると、\begin{eqnarray*}x^{2}e^{x^{3}} &=&\left. e^{u}\right\vert _{u=x^{3}}\cdot \frac{1}{3}\frac{d}{dx}x^{3} \\
&=&\left. \frac{1}{3}e^{u}\right\vert _{u=x^{3}}\cdot \frac{d}{dx}x^{3}
\end{eqnarray*}であることに気が付きます。関数\(\frac{1}{3}e^{u}\)は連続であり、関数\(x^{3}\)は\(C^{1}\)級であるため直接置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{3}e^{u}du &=&\frac{1}{3}\int e^{u}du+C \\
&=&\frac{1}{3}e^{u}+C
\end{eqnarray*}であるため、\(u=x^{3}\)を用いてこれを変数\(x\)に関する関数からなる集合に変換すると\(f\)の不定積分が得られます。つまり、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{3}e^{x^{3}}+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。この関数\(f\)の形状を観察すると、\begin{equation*}\sin ^{2}\left( x\right) \cdot \cos \left( x\right) =\left. u^{2}\right\vert
_{u=\sin \left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\sin \left( x\right)
\end{equation*}であることに気が付きます。関数\(x^{2}\)は連続であり、関数\(\sin \left(x\right) \)は\(C^{1}\)級であるため直接置換を利用できます。具体的には、\begin{equation*}\int u^{2}du=\frac{1}{3}u^{3}+C
\end{equation*}であるため、\(u=\sin \left( x\right) \)を用いてこれを変数\(x\)に関する関数からなる集合に変換すると\(f\)の不定積分が得られます。つまり、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{3}\sin ^{3}\left( x\right) +C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
定積分に関する直接置換の定理
原始関数に関する直接置換の定理と微分積分学の第2基本定理を用いることにより、定積分に関する直接置換の定理を導くことができます。具体的には以下の通りです。
a\right) }^{g\left( b\right) }f\left( u\right) du
\end{equation*}となる。
直接置換を用いて定積分を求める手順を整理します。
- 与えられた関数が区間上に定義された連続であることを確認する。この場合、その関数がリーマン積分可能であることが保証される。
- その関数が2つの関数\(f,g\)を用いて、\begin{equation*}f\left( g\left( x\right) \right) \cdot \frac{dg\left( x\right) }{dx}=\left.f\left( u\right) \right\vert _{u=g\left( x\right) }\cdot \frac{dg\left(x\right) }{dx}
\end{equation*}という形で表されているか観察する。ただし、\(f\)は連続であり、\(g\)は\(C^{1}\)級でなければならない。 - 積分区間を\(\left[ a,b\right] \)から\(\left[ g\left( a\right) ,g\left( b\right) \right] \)へ変換した上で、関数\(f\)を\(\left[ g\left( a\right) ,g\left( b\right) \right] \)上でリーマン積分する。得られた定積分は関数\(\left( g\left( x\right) \right) \cdot \frac{dg\left( x\right) }{dx}\)の\(\left[ a,b\right] \)上での定積分と一致する。つまり、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( f\circ g\right) \cdot \frac{dg}{dx}dx=\int_{g\left(a\right) }^{g\left( b\right) }f\left( u\right) du
\end{equation*}を計算する。
以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数を\(\left[ -1,2\right] \)上で積分します。\(f\)は連続関数であるため積分可能です。この関数\(f\)の形状を観察すると、\begin{eqnarray*}x^{2}e^{x^{3}} &=&\left. e^{u}\right\vert _{u=x^{3}}\cdot \frac{1}{3}\frac{d}{dx}x^{3} \\
&=&\left. \frac{1}{3}e^{u}\right\vert _{u=x^{3}}\cdot \frac{d}{dx}x^{3}
\end{eqnarray*}であることに気が付きます。関数\(\frac{1}{3}e^{u}\)は連続であり、関数\(x^{3}\)は\(C^{1}\)級であるため直接置換を利用できます。具体的には、積分区間を、\begin{equation*}\left[ -1,2\right] \rightarrow \left[ \left( -1\right) ^{3},2^{3}\right] =\left[ -1,8\right] \end{equation*}へ変換した上で直接置換を利用すると、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{8}\frac{1}{3}e^{u}du \\
&=&\frac{1}{3}\int_{-1}^{8}e^{u}du \\
&=&\frac{1}{3}\left[ e^{u}\right] _{-1}^{8} \\
&=&\frac{1}{3}\left( e^{8}-e^{-1}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数を\(\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)上で積分します。\(f\)は連続関数であるため積分可能です。この関数\(f\)の形状を観察すると、\begin{equation*}\sin ^{2}\left( x\right) \cdot \cos \left( x\right) =\left. u^{2}\right\vert
_{u=\sin \left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\sin \left( x\right)
\end{equation*}であることに気が付きます。関数\(x^{2}\)は連続であり、関数\(\sin \left(x\right) \)は\(C^{1}\)級であるため直接置換を利用できます。具体的には、積分区間を、\begin{equation*}\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \left[ \sin \left( 0\right) ,\sin
\left( \frac{\pi }{2}\right) \right] =\left[ 0,1\right] \end{equation*}へ変換した上で直接置換を利用すると、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}u^{2}du \\
&=&\left[ \frac{1}{3}u^{3}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{3}-0 \\
&=&\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{e}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\int 3x^{-4}\left( 2+4x^{-3}\right) ^{-7}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int \left( 3-4x\right) \left( 4x^{2}-6x+7\right) ^{10}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int 5\left( x-4\right) \left( x^{2}-8x\right) ^{\frac{1}{3}}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int \left( x-2x^{3}\right) e^{x^{4}-x^{2}}dx
\end{equation*}を求めてください。
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