円（円弧）の長さと積分

円は滑らか

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する円の中心が\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)であり半径が\(r>0\)である場合、円の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=a+r\cos \left( t\right) \\
y=b+r\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}となります。

円上の点の\(x\)座標を特定する関数\(x:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dx}{dt} &=&\frac{d}{dt}\left( a+r\cos \left( t\right) \right) \\
&=&0+r\left[ -\sin \left( t\right) \right] \\
&=&-r\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}となります。

円上の点の\(y\)座標を特定する関数\(y:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dt} &=&\frac{d}{dt}\left( b+r\sin \left( t\right) \right) \\
&=&0+r\cos \left( t\right) \\
&=&r\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。

以上より、任意の\(t\in \left(0,2\pi \right) \)において、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{dx\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dy\left( t\right) }{dt}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-r\sin \left( t\right) \\
r\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となるため、円は\(\left[0,2\pi \right] \)上において滑らかであることが明らかになりました。

円の長さ

中心が\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)であり半径が\(r>0\)である円の長さ、すなわち円周の長さは、\begin{equation*}2\pi r
\end{equation*}ですが、同じことを積分を用いて示します。円の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=a+r\cos \left( t\right) \\
y=b+r\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}であるとともに、円は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上において滑らかであることが明らかになりました。したがって、円の長さは、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[
\frac{dy\left( y\right) }{dt}\right] ^{2}}dt &=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\left[
-r\sin \left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r\cos \left( t\right) \right] ^{2}}dt \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{r^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +r^{2}\cos ^{2}\left(
t\right) }dt \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{r^{2}}dt\quad \because \sin ^{2}\left( t\right)
+\cos ^{2}\left( t\right) =1 \\
&=&\int_{0}^{2\pi }rdt\quad \because r>0 \\
&=&\left[ rt\right] _{0}^{2\pi } \\
&=&2\pi r-0 \\
&=&2\pi r
\end{eqnarray*}と定まります。これは先の結果と整合的です。

円弧の長さ

円上の弧、すなわち円弧の媒介変数表示は、\begin{equation*}
0\leq t_{0}<t_{1}\leq 2\pi
\end{equation*}を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=a+r\cos \left( t\right) \\
y=b+r\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}となります。この円弧の始点の座標は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r\cos \left( t_{0}\right) \\
b+r\sin \left( t_{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、終点の座標は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r\cos \left( t_{1}\right) \\
b+r\sin \left( t_{1}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。

円の場合と同様の理由により、円弧もまた\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において滑らかです。したがって、円弧の長さは、\begin{eqnarray*}\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( y\right) }{dt}\right] ^{2}}dt &=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ -r\sin \left( t\right) \right] ^{2}+\left[ r\cos \left(
t\right) \right] ^{2}}dt \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{r^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +r^{2}\cos
^{2}\left( t\right) }dt \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{r^{2}}dt\quad \because \sin ^{2}\left( t\right)
+\cos ^{2}\left( t\right) =1 \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}rdt\quad \because r>0 \\
&=&\left[ rt\right] _{t_{0}}^{t_{1}} \\
&=&rt_{1}-rt_{0} \\
&=&r\left( t_{1}-t_{0}\right)
\end{eqnarray*}と定まります。

演習問題