非負値をとる関数の定積分の非負性
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が非負値をとるものとします。すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能である場合、定積分もまた非負値になること、すなわち、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\geq 0
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上においてリーマン積分可能ならば、その定積分についても、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\geq 0
\end{equation*}が成り立つ。
定積分の単調性
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、関数\(f,g\)の定義域\(\left[ a,b\right] \)上の点\(x\)を任意に選んだとき、それに対して\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)は\(g\)が定める値\(g\left( x\right) \)以上になるということです。加えて、\(f,g\)はともに\(\left[a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるものとします。以上の条件が満たされる場合、\(f\)と\(g\)の定積分についても以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\geq \int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質を定積分の単調性（monotonicity）と呼びます。証明では先の命題を利用します。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、\(f,g\)はともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能ならば、それらの定積分についても、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\geq \int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題において関数\(g\)として定数関数\begin{equation*}g\left( x\right) =0
\end{equation*}を採用すれば、これは\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能であるとともに定積分は\(0\)であるため、ここから最初に示した命題が得られます。つまり、上の2つの命題は必要十分であるということです。
g\left( x\right) &=&x^{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。両者の間には、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ 0,1\right] :x\geq x^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ 0,1\right] :f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、自然数ベキ関数である\(f\)と恒等関数である\(g\)は連続であるため\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\geq \int_{0}^{1}g\left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{0}^{1}xdx\geq \int_{0}^{1}x^{2}dx
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}xdx &=&\frac{1}{2} \\
\int_{0}^{1}x^{2}dx &=&\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}であるため、この結果は先の命題の主張と整合的です。
定積分の狭義の単調性
先の命題において大小関係\(\leq \)を狭義大小関係\(<\)に置き換えた主張もまた成り立ちます。つまり、区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能な関数\(f,g\)の間に、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) >g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、それらの定積分の間にも、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx>\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、\(f,g\)はともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能ならば、それらの定積分についても、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx>\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
定積分の値の範囲の特定
有界閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がリーマン積分可能であることが判明している一方で、その定積分が判明していない状況を想定します。\(f\)は有界であるため、その値域の上限\(\sup f\left( \left[ a,b\right] \right) \)と下限\(\inf f\left( \left[ a,b\right] \right) \)がそれぞれ有限な実数として定まります。加えて、上限および下限の定義より、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :\inf f\left( \left[ a,b\right] \right) \leq
f\left( x\right) \leq \sup f\left( \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\inf f\left( \left[ a,b\right] \right) \)と\(\sup f\left( \left[ a,b\right]\right) \)をそれぞれ\(\left[ a,b\right] \)上に定義された定数関数とみなすのであれば、定数関数はリーマン積分可能であるため、このとき先の命題が適用可能であり、定積分の間にも、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\inf f\left( \left[ a,b\right] \right) dx\leq
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\leq \int_{a}^{b}\sup f\left( \left[ a,b\right] \right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。ただし、定数関数の定積分に関しては、\begin{eqnarray*}
\int_{a}^{b}\inf f\left( \left[ a,b\right] \right) dx &=&\left( b-a\right)
\inf f\left( \left[ a,b\right] \right) \\
\int_{a}^{b}\sup f\left( \left[ a,b\right] \right) dx &=&\left( b-a\right)
\sup f\left( \left[ a,b\right] \right)
\end{eqnarray*}となるため、先の不等式を、\begin{equation*}
\left( b-a\right) \inf f\left( \left[ a,b\right] \right) \leq
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\leq \left( b-a\right) \sup f\left( \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、リーマン積分可能な関数\(f\)に関しては、定積分がとり得る値の範囲を上の不等式から絞り込めるということです。
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\leq \left( b-a\right) \sup f\left( \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数は連続であるため\(f\)は\(\left[ 0,\pi \right] \)上でリーマン積分可能です。さらに、\begin{eqnarray*}\inf f\left( \left[ 0,\pi \right] \right) &=&\inf \sin \left( \left[ 0,\pi \right] \right) =\inf \left[ 0,1\right] =0 \\
\sup f\left( \left[ 0,\pi \right] \right) &=&\sup \sin \left( \left[ 0,\pi \right] \right) =\sup \left[ 0,1\right] =1
\end{eqnarray*}であるため、上の命題より、定積分は、\begin{equation*}
\left( \pi -0\right) \cdot 0\leq \int_{0}^{\pi }f\left( x\right) dx\leq
\left( \pi -0\right) \cdot 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0\leq \int_{0}^{\pi }\sin \left( x\right) dx\leq \pi
\end{equation*}を満たします。正弦関数の定積分の導出方法は場を改めて解説しますが、実際の値は、\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }\sin \left( x\right) dx=2
\end{equation*}であり、この結果は先の不等式と整合的です。
演習問題
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす場合には、それらの定積分についても、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\geq \int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つことを本文中で示しました。上リーマン積分や下リーマン積分についても同様の命題が成り立ちます。つまり、関数\(f,g\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界である場合には上リーマン積分や下リーマン積分がそれぞれ有限な実数として定まることが保証されますが、加えて\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx\geq
\overline{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) dx \\
&&\left( b\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx\geq
\underline{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立つということです。これらを証明してください。
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