指数関数の原始関数
区間上に定義された指数関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるということです。
指数関数\(a^{x}\)は連続であるため原始関数が存在します。具体的には以下の通りです。
命題（指数関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（指数関数の原始関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ \frac{a^{x}}{\ln \left(
a\right) }+C\right] \\
&=&\frac{a^{x}\ln \left( a\right) }{\ln \left( a\right) }+0 \\
&=&a^{x} \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ \frac{a^{x}}{\ln \left(
a\right) }+C\right] \\
&=&\frac{a^{x}\ln \left( a\right) }{\ln \left( a\right) }+0 \\
&=&a^{x} \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
指数関数の不定積分
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数である指数関数について以下が成り立ちます。
命題（指数関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（指数関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（自然指数関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\frac{e^{x}}{\ln \left( e\right) }+C \\
&=&e^{x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\frac{e^{x}}{\ln \left( e\right) }+C \\
&=&e^{x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（指数関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left(
\frac{1}{2}\right) }+C \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( 1\right) -\ln \left(
2\right) }+C \\
&=&-\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( 2\right) }+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left(
\frac{1}{2}\right) }+C \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( 1\right) -\ln \left(
2\right) }+C \\
&=&-\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( 2\right) }+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（指数関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\cdot 2^{x}+7
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( 3\cdot 2^{x}+7\right) dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\int 3\cdot 2^{x}dx+\int 7dx\quad \because \text{和の法則} \\
&=&3\int 2^{x}dx+\int 7dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&3\cdot \frac{2^{x}}{\ln \left( 2\right) }+7x+C\quad \because \text{指数関数と定数関数の不定積分} \\
&=&\frac{3}{\ln \left( 2\right) }2^{x}+7x+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( 3\cdot 2^{x}+7\right) dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\int 3\cdot 2^{x}dx+\int 7dx\quad \because \text{和の法則} \\
&=&3\int 2^{x}dx+\int 7dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&3\cdot \frac{2^{x}}{\ln \left( 2\right) }+7x+C\quad \because \text{指数関数と定数関数の不定積分} \\
&=&\frac{3}{\ln \left( 2\right) }2^{x}+7x+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（指数関数の不定積分）
関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =x\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(h\)は区間\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。\(h\)は恒等関数\(x\)と指数関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)の積として定義される関数です。恒等関数\(x\)は微分するとシンプルになり、指数関数\(e^{x}\)は積分してもそれほど複雑にならないため、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\begin{equation*}
h=f\cdot g^{\prime }
\end{equation*}という関係が成立します。さらに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&1 \\
g\left( x\right) &=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }
\end{eqnarray*}です。関数\(f,g\)はともに\(C^{1}\)級であるため、\begin{eqnarray*}\int h\left( x\right) dx &=&\int \left( f\cdot g^{\prime }\right) \left(
x\right) dx\quad \because h=f\cdot g^{\prime } \\
&=&\left( f\cdot g\right) \left( x\right) -\int \left( f^{\prime }\cdot
g\right) \left( x\right) dx\quad \because \text{部分積分} \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x-\int \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }dx \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\int \left( \frac{1}{2}\right)
^{x}dx\quad \because \text{定数倍の法則}
\\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\cdot \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }+C \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\left[ x-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right] +C \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( 2^{-1}\right) }\left[ x-\frac{1}{\ln \left( 2^{-1}\right) }\right] +C \\
&=&-\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( 2\right) }\left[ x+\frac{1}{\ln \left( 2\right) }\right] +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(h\)は区間\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。\(h\)は恒等関数\(x\)と指数関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)の積として定義される関数です。恒等関数\(x\)は微分するとシンプルになり、指数関数\(e^{x}\)は積分してもそれほど複雑にならないため、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\begin{equation*}
h=f\cdot g^{\prime }
\end{equation*}という関係が成立します。さらに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&1 \\
g\left( x\right) &=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }
\end{eqnarray*}です。関数\(f,g\)はともに\(C^{1}\)級であるため、\begin{eqnarray*}\int h\left( x\right) dx &=&\int \left( f\cdot g^{\prime }\right) \left(
x\right) dx\quad \because h=f\cdot g^{\prime } \\
&=&\left( f\cdot g\right) \left( x\right) -\int \left( f^{\prime }\cdot
g\right) \left( x\right) dx\quad \because \text{部分積分} \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x-\int \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }dx \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\int \left( \frac{1}{2}\right)
^{x}dx\quad \because \text{定数倍の法則}
\\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\cdot \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }+C \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\left[ x-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right] +C \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( 2^{-1}\right) }\left[ x-\frac{1}{\ln \left( 2^{-1}\right) }\right] +C \\
&=&-\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( 2\right) }\left[ x+\frac{1}{\ln \left( 2\right) }\right] +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（指数関数との合成関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2^{-x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は指数関数\(2^{x}\)と関数\(-x\)の合成関数です。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=-x \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =-u \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} \)とすれば、その値域は\(\mathbb{R} \)となり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は狭義単調減少であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =-x \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int 2^{-x}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int 2^{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int -2^{u}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\int 2^{u}du\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{2^{u}}{\ln \left( 2\right) }+C\quad \because \text{指数関数の不定積分} \\
&=&-\frac{2^{-x}}{\ln \left( 2\right) }+C\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は指数関数\(2^{x}\)と関数\(-x\)の合成関数です。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=-x \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =-u \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} \)とすれば、その値域は\(\mathbb{R} \)となり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は狭義単調減少であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =-x \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int 2^{-x}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int 2^{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int -2^{u}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\int 2^{u}du\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{2^{u}}{\ln \left( 2\right) }+C\quad \because \text{指数関数の不定積分} \\
&=&-\frac{2^{-x}}{\ln \left( 2\right) }+C\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
指数関数の定積分
指数関数の原始関数が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより指数関数の定積分を特定できます。具体的には以下の通りです。
命題（指数関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。\(b<c\)を満たす点\(b,c\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ b,c\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{b}^{c}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }\right] _{b}^{c} \\
&=&\frac{a^{c}-a^{b}}{\ln \left( a\right) }
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}と表されるものとする。\(b<c\)を満たす点\(b,c\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ b,c\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{b}^{c}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }\right] _{b}^{c} \\
&=&\frac{a^{c}-a^{b}}{\ln \left( a\right) }
\end{eqnarray*}となる。
例（指数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }\right] _{0}^{1}=\frac{a-1}{\ln \left( a\right) } \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }\right] _{-1}^{1}=\frac{a-a^{-1}}{\ln \left( a\right) } \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }\right] _{-1}^{0}=\frac{1-a^{-1}}{\ln \left( a\right) }
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }\right] _{0}^{1}=\frac{a-1}{\ln \left( a\right) } \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }\right] _{-1}^{1}=\frac{a-a^{-1}}{\ln \left( a\right) } \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{a^{x}}{\ln \left( a\right) }\right] _{-1}^{0}=\frac{1-a^{-1}}{\ln \left( a\right) }
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（自然指数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{e^{x}}{\ln \left( e\right) }\right] _{0}^{1}=e-1 \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{e^{x}}{\ln \left( e\right) }\right] _{-1}^{1}=e-e^{-1} \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{e^{x}}{\ln \left( e\right) }\right] _{-1}^{0}=1-e^{-1}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{e^{x}}{\ln \left( e\right) }\right] _{0}^{1}=e-1 \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{e^{x}}{\ln \left( e\right) }\right] _{-1}^{1}=e-e^{-1} \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{e^{x}}{\ln \left( e\right) }\right] _{-1}^{0}=1-e^{-1}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（指数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right)
^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right] _{0}^{1}=\frac{\frac{1}{2}-1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }=\frac{1}{2\ln \left( 2\right) } \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right)
^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right] _{-1}^{1}=\frac{\frac{1}{2}-\left( \frac{1}{2}\right) ^{-1}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }=\frac{3}{2\ln \left( 2\right) } \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right)
^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right] _{-1}^{0}=\frac{1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{-1}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }=\frac{1}{\ln \left(
2\right) }
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right)
^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right] _{0}^{1}=\frac{\frac{1}{2}-1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }=\frac{1}{2\ln \left( 2\right) } \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right)
^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right] _{-1}^{1}=\frac{\frac{1}{2}-\left( \frac{1}{2}\right) ^{-1}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }=\frac{3}{2\ln \left( 2\right) } \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right)
^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right] _{-1}^{0}=\frac{1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{-1}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }=\frac{1}{\ln \left(
2\right) }
\end{eqnarray*}となります。
例（指数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\cdot 2^{x}+7
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( 3\cdot 2^{x}+7\right)
dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{a}^{b}3\cdot 2^{x}dx+\int_{a}^{b}7dx\quad \because \text{和の法則} \\
&=&3\int_{a}^{b}2^{x}dx+\int_{a}^{b}7dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&3\cdot \left[ \frac{2^{x}}{\ln \left( 2\right) }\right] _{a}^{b}+\left[ 7x\right] _{a}^{b}+C\quad \because \text{指数関数と定数関数の不定積分}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2}f\left( x\right) dx &=&3\cdot \left[ \frac{2^{x}}{\ln \left(
2\right) }\right] _{-1}^{2}+\left[ 7x\right] _{-1}^{2}+C \\
&=&3\cdot \left( \frac{2^{2}-2^{-1}}{\ln \left( 2\right) }\right) +\left[
14-\left( -7\right) \right] +C \\
&=&\frac{21}{2\ln \left( 2\right) }+21+C
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( 3\cdot 2^{x}+7\right)
dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{a}^{b}3\cdot 2^{x}dx+\int_{a}^{b}7dx\quad \because \text{和の法則} \\
&=&3\int_{a}^{b}2^{x}dx+\int_{a}^{b}7dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&3\cdot \left[ \frac{2^{x}}{\ln \left( 2\right) }\right] _{a}^{b}+\left[ 7x\right] _{a}^{b}+C\quad \because \text{指数関数と定数関数の不定積分}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2}f\left( x\right) dx &=&3\cdot \left[ \frac{2^{x}}{\ln \left(
2\right) }\right] _{-1}^{2}+\left[ 7x\right] _{-1}^{2}+C \\
&=&3\cdot \left( \frac{2^{2}-2^{-1}}{\ln \left( 2\right) }\right) +\left[
14-\left( -7\right) \right] +C \\
&=&\frac{21}{2\ln \left( 2\right) }+21+C
\end{eqnarray*}となります。
例（指数関数の定積分）
関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =x\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は微分するとシンプルになり、指数関数\(e^{x}\)は積分してもそれほど複雑にならないため、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\begin{equation*}
h=f\cdot g^{\prime }
\end{equation*}という関係が成立します。さらに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&1 \\
g\left( x\right) &=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }
\end{eqnarray*}です。関数\(f,g\)はともに\(C^{1}\)級であるため、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}h\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( f\cdot g^{\prime
}\right) \left( x\right) dx\quad \because h=f\cdot g^{\prime } \\
&=&\left[ \left( f\cdot g\right) \left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx\quad
\because \text{部分積分} \\
&=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x\right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }dx \\
&=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x\right] _{a}^{b}-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\int_{a}^{b}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x\right] _{a}^{b}-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\cdot \left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right] _{a}^{b} \\
&=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x\right] _{a}^{b}\left( 1-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2}h\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right)
^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x\right] _{-1}^{2}\left( 1-\frac{1}{\ln
\left( \frac{1}{2}\right) }\right) \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}2-\left( \frac{1}{2}\right)
^{-1}\left( -1\right) }{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\left( 1-\frac{1}{\ln
\left( \frac{1}{2}\right) }\right) \\
&=&-\frac{5}{2\ln \left( 2\right) }\left( 1+\frac{1}{\ln \left( 2\right) }\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は微分するとシンプルになり、指数関数\(e^{x}\)は積分してもそれほど複雑にならないため、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\begin{equation*}
h=f\cdot g^{\prime }
\end{equation*}という関係が成立します。さらに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&1 \\
g\left( x\right) &=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }
\end{eqnarray*}です。関数\(f,g\)はともに\(C^{1}\)級であるため、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}h\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( f\cdot g^{\prime
}\right) \left( x\right) dx\quad \because h=f\cdot g^{\prime } \\
&=&\left[ \left( f\cdot g\right) \left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx\quad
\because \text{部分積分} \\
&=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x\right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }dx \\
&=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x\right] _{a}^{b}-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\int_{a}^{b}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x\right] _{a}^{b}-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\cdot \left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right] _{a}^{b} \\
&=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x\right] _{a}^{b}\left( 1-\frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2}h\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{\left( \frac{1}{2}\right)
^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }x\right] _{-1}^{2}\left( 1-\frac{1}{\ln
\left( \frac{1}{2}\right) }\right) \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}2-\left( \frac{1}{2}\right)
^{-1}\left( -1\right) }{\ln \left( \frac{1}{2}\right) }\left( 1-\frac{1}{\ln
\left( \frac{1}{2}\right) }\right) \\
&=&-\frac{5}{2\ln \left( 2\right) }\left( 1+\frac{1}{\ln \left( 2\right) }\right)
\end{eqnarray*}となります。
指数関数と純変化量定理
純変化量定理を再掲します。これは微分積分学の第2基本定理から導かれます。
命題（純変化量定理）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}が成立する。
導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後における\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。
関数\(f\)が指数関数\(a^{x}\)である場合、導関数\(\frac{df}{dx}\)は\(\ln \left( a\right) a^{x}\)ですが、これは連続であるためリーマン積分可能であり、したがって純変化定理を利用できます。つまり、瞬間変化率\(\frac{df}{dx}\)が\(\ln \left( a\right) a^{x}\)であるような状況においては、もとの指数関数\(f\)の変化量は、自然指数関数の定積分と一致するということです。
例（指数関数と純変化量定理）
時点\(t\geq 0\)におけるバクテリアの個体数が、\begin{equation*}N\left( t\right) =2^{t}
\end{equation*}であるものとします。時点\(0\)から時点\(t\)までの合計増加量は、\begin{eqnarray*}N\left( t\right) -N\left( 0\right) &=&2^{t}-2^{0} \\
&=&2^{t}-1
\end{eqnarray*}ですが、同じことを純変化量定理を用いて導きます。任意の時点\(t\geq 0\)における個体数の瞬間増加量は、\begin{equation}\frac{dN\left( t\right) }{dt}=\ln \left( 2\right) \cdot 2^{t} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。導関数\(\frac{dN}{dt}\)は連続関数であるため、\(t>0\)を任意に選んだとき、\(\frac{dN}{dt}\)は\(\left[ 0,t\right] \)上においてリーマン積分可能です。したがって、時点\(0\)から時点\(t\)までの合計増加量は、\begin{eqnarray*}N\left( t\right) -N\left( 0\right) &=&\int_{0}^{t}\frac{dN\left( s\right) }{ds}ds\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{0}^{t}\left[ \ln \left( 2\right) \cdot 2^{s}\right] ds\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\ln \left( 2\right) \int_{0}^{t}2^{s}ds \\
&=&\ln \left( 2\right) \left[ \frac{2^{s}}{\ln \left( 2\right) }\right] _{0}^{t} \\
&=&\ln \left( 2\right) \cdot \frac{2^{t}-1}{\ln \left( 2\right) }
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。また、時点\(t_{1}\)から時点\(t_{2}\)までの合計増加量は、\begin{eqnarray*}N\left( t_{2}\right) -N\left( t_{1}\right) &=&\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{dN\left( s\right) }{ds}ds\quad \because \text{純変化量定理} \\
&=&\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \ln \left( 2\right) \cdot 2^{s}\right] ds\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\ln \left( 2\right) \int_{t_{1}}^{t_{2}}2^{s}ds \\
&=&\ln \left( 2\right) \left[ \frac{2^{s}}{\ln \left( 2\right) }\right] _{t_{1}}^{t_{2}} \\
&=&\ln \left( 2\right) \cdot \frac{2^{t_{2}}-2^{t_{1}}}{\ln \left( 2\right) }
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}であるものとします。時点\(0\)から時点\(t\)までの合計増加量は、\begin{eqnarray*}N\left( t\right) -N\left( 0\right) &=&2^{t}-2^{0} \\
&=&2^{t}-1
\end{eqnarray*}ですが、同じことを純変化量定理を用いて導きます。任意の時点\(t\geq 0\)における個体数の瞬間増加量は、\begin{equation}\frac{dN\left( t\right) }{dt}=\ln \left( 2\right) \cdot 2^{t} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。導関数\(\frac{dN}{dt}\)は連続関数であるため、\(t>0\)を任意に選んだとき、\(\frac{dN}{dt}\)は\(\left[ 0,t\right] \)上においてリーマン積分可能です。したがって、時点\(0\)から時点\(t\)までの合計増加量は、\begin{eqnarray*}N\left( t\right) -N\left( 0\right) &=&\int_{0}^{t}\frac{dN\left( s\right) }{ds}ds\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{0}^{t}\left[ \ln \left( 2\right) \cdot 2^{s}\right] ds\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\ln \left( 2\right) \int_{0}^{t}2^{s}ds \\
&=&\ln \left( 2\right) \left[ \frac{2^{s}}{\ln \left( 2\right) }\right] _{0}^{t} \\
&=&\ln \left( 2\right) \cdot \frac{2^{t}-1}{\ln \left( 2\right) }
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。また、時点\(t_{1}\)から時点\(t_{2}\)までの合計増加量は、\begin{eqnarray*}N\left( t_{2}\right) -N\left( t_{1}\right) &=&\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{dN\left( s\right) }{ds}ds\quad \because \text{純変化量定理} \\
&=&\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \ln \left( 2\right) \cdot 2^{s}\right] ds\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\ln \left( 2\right) \int_{t_{1}}^{t_{2}}2^{s}ds \\
&=&\ln \left( 2\right) \left[ \frac{2^{s}}{\ln \left( 2\right) }\right] _{t_{1}}^{t_{2}} \\
&=&\ln \left( 2\right) \cdot \frac{2^{t_{2}}-2^{t_{1}}}{\ln \left( 2\right) }
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（指数関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\pi ^{x}}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（指数関数の積分）
関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =x^{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int h\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int h\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（指数関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =7^{2x+3}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（指数関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3^{x}+4^{x}}{5^{x}}
\end{equation*}を定めるものとします。定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
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