部分積分

不定積分に関する部分積分

区間上に定義された関数が連続である場合には不定積分が存在することが保証されるものの、不定積分を具体的に特定することが困難であるような状況は多々発生します。そのような場合には、問題を別の角度から解釈し直してから積分する手法が有効です。以下で提示するのは部分積分（integration by parts）と呼ばれる手法ですが、まずは根拠となる命題について解説します。

同一の区間上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに区間\(I\)上で\(C^{1}\)級であるものとします。つまり、導関数\begin{eqnarray*}f^{\prime } &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
g^{\prime } &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在するとともに、これらはともに区間\(I\)上で連続であるということです。さらに、以下の3つの関数\begin{eqnarray*}f\cdot g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
f\cdot g^{\prime } &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
f^{\prime }\cdot g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義します。これらの関数はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\cdot g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) \cdot g\left(
x\right) \\
\left( f\cdot g^{\prime }\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) \cdot
g^{\prime }\left( x\right) \\
\left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) &=&f^{\prime }\left(
x\right) \cdot g\left( x\right)
\end{eqnarray*}を値として定めます。連続関数どうしの積として定義される関数は連続であるため不定積分を持ちます。したがって、関数\(f\cdot g^{\prime }\)および\(f^{\prime }\cdot g\)はともに不定積分を持ちますが、これらの間には、\begin{equation*}\int \left( f\cdot g^{\prime }\right) \left( x\right) dx=\left( f\cdot
g\right) \left( x\right) -\int \left( f^{\prime }\cdot g\right) \left(
x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left( x\right) dx=f\left( x\right)
\cdot g\left( x\right) -\int f^{\prime }\left( x\right) \cdot g\left(
x\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、関数\(f\cdot g^{\prime }\)の不定積分\(F\)と関数\(f^{\prime }\cdot g\)の不定積分\(G\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left( f\cdot g\right) \left( x\right) -G\left( x\right) +C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
F\left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) -G\left( x\right)
+C
\end{equation*}という関係が成り立つということです。ただし、\(C\)は積分定数です。これを不定積分に関する部分積分（integration by parts）と呼びます。証明では微分積分学の基本定理と関数の積の微分を利用します。

上の命題はどのような意味において有用なのでしょうか。与えられた関数が、関数\(f\)および関数\(g\)の導関数\(g^{\prime }\)を用いて\(f\cdot g^{\prime }\)という形で定義されているものとします。ただし、これらの関数は先の命題中の条件を満たすものとします。加えて、その不定積分\begin{equation*}\int \left( f\cdot g^{\prime }\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}を特定するのが困難であるものとします。その一方で、関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)および関数\(g\)の積として定義される関数\(g\cdot f^{\prime }\)の不定積分\begin{equation*}\int \left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}を特定できたとします。すると、先の命題より、もとの関数の不定積分が、\begin{equation*}
\int \left( f\cdot g^{\prime }\right) \left( x\right) dx=\left( f\cdot
g\right) \left( x\right) -\int \left( f^{\prime }\cdot g\right) \left(
x\right) dx
\end{equation*}として与えられることが保証されます。

被積分関数を巧みに解釈することを通じて不定積分を求めるこのような手法を部分積分法（integration by parts）と呼びます。部分積分の手順を改めて整理すると以下となります。

1. 与えられた関数が2つの関数の積\(f\cdot g^{\prime }\)であることを確認する。2つの関数のうち、微分したときに簡素化される方を\(f\)とみなし、積分したときに複雑にならない方を\(g^{\prime }\)とみなす。
2. 関数\(f\)を微分して関数\(f^{\prime }\)を得るとともに、関数\(g^{\prime }\)を積分して関数\(g\)を得る。
3. 得られた関数の積として定義される関数\(f^{\prime }\cdot g\)を積分して不定積分\(\int \left( f^{\prime }\cdot g\right) \left(x\right) dx\)を得る。
4. \(\left( f\cdot g\right) \left( x\right) -\int \left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx\)をとる。これはもとの関数\(f\cdot g^{\prime }\)の不定積分である。

定積分に関する部分積分

定積分についても同様の議論が成立します。具体的には以下の通りです。

同一の区間上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに区間\(I\)上で\(C^{1}\)級であるものとします。つまり、導関数\begin{eqnarray*}f^{\prime } &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
g^{\prime } &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在するとともに、これらはともに区間\(I\)上で連続であるということです。さらに、以下の3つの関数\begin{eqnarray*}f\cdot g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
f\cdot g^{\prime } &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
f^{\prime }\cdot g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義します。これらの関数はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\cdot g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) \cdot g\left(
x\right) \\
\left( f\cdot g^{\prime }\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) \cdot
g^{\prime }\left( x\right) \\
\left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) &=&f^{\prime }\left(
x\right) \cdot g\left( x\right)
\end{eqnarray*}を値として定めます。連続関数どうしの積として定義される関数は連続であるため、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき関数\(f\cdot g^{\prime }\)および\(f^{\prime }\cdot g\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、したがって定積分を持ちますが、それらの間には、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( f\cdot g^{\prime }\right) \left( x\right) dx=\left[
\left( f\cdot g\right) \left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left(
f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left( x\right) dx=\left[
f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}f^{\prime }\left( x\right) \cdot g\left( x\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

上の命題はどのような意味において有用なのでしょうか。与えられた関数が、関数\(f\)および関数\(g\)の導関数\(g^{\prime }\)を用いて\(f\cdot g^{\prime }\)という形で定義されているものとします。ただし、これらの関数は先の命題中の条件を満たすものとします。加えて、その定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( f\cdot g^{\prime }\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}を特定するのが困難であるものとします。その一方で、関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)および関数\(g\)の積として定義される関数\(g\cdot f^{\prime }\)の定積分\begin{equation*}\int_{b}^{a}\left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}を特定できたとします。すると、先の命題より、もとの関数の不定積分が、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left( f\cdot g^{\prime }\right) \left( x\right) dx=\left[
\left( f\cdot g\right) \left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left(
f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}として与えられることが保証されます。

以上が定積分に関する部分積分法です。部分積分の手順を改めて整理すると以下となります。

1. 与えられた関数が2つの関数の積\(f\cdot g^{\prime }\)であることを確認する。2つの関数のうち、微分したときに簡素化される方を\(f\)とみなし、積分したときに複雑にならない方を\(g^{\prime }\)とみなす。
2. 関数\(f\)を微分して関数\(f^{\prime }\)を得るとともに、関数\(g^{\prime }\)を積分して関数\(g\)を得る。
3. 得られた関数の積として定義される関数\(f^{\prime }\cdot g\)の定積分\(\int_{a}^{b}\left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx\)を特定する。
4. \(\left[ \left( f\cdot g\right) \left( x\right) \right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx\)をとる。これはもとの関数\(f\cdot g^{\prime }\)の定積分である。

演習問題