媒介変数曲線とy軸によって囲まれる領域の面積と積分

媒介変数曲線の左側の領域の面積

有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに非負値をとる場合、関数\(f\)のグラフと\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積、すなわち以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{関数のグラフ} &:&x=f\left(
y\right) \\
y\text{軸} &:&x=0 \\
\text{水平線} &:&y=a \\
\text{水平線} &:&y=b
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=\int_{a}^{b}f\left( y\right) dy
\end{equation*}と定義されます（下図）。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。加えて、関数\(x\)は\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において非負値のみをとる状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :x\left( t\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つということです。

関数\(y\)が\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において狭義単調関数であれば、媒介変数\(t\)の値が\(t_{0}\)から\(t_{1}\)へ変化するに伴い変数\(y\)の値は\(y\left( t_{0}\right) \)から\(y\left( t_{1}\right) \)まで変化します。関数\(y\)は狭義単調関数であるため、その終集合を値域に制限して、\begin{equation*}y:\left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \left[ y\left( t_{0}\right) ,y\left(
t_{1}\right) \right] \end{equation*}とすれば全単射になり、したがって逆関数\begin{equation*}
y^{-1}:\left[ y\left( t_{0}\right) ,y\left( t_{1}\right) \right] \rightarrow \left[ t_{0},t_{1}\right] \end{equation*}が存在します。逆関数の定義より、順序対\(\left( t,y\right) \in \left[ t_{0},t_{1}\right] \times \left[y\left( t_{0}\right) ,y\left( t_{1}\right) \right] \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation}y=y\left( t\right) \Leftrightarrow t=y^{-1}\left( y\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、変数\(t\)を変数\(y\)を用いて表現できるため、これを用いて曲線\(C\)の媒介変数表示\(\left( 1\right) \)から媒介変数\(t\)を消去することにより、\begin{equation*}x=x\left( y^{-1}\left( y\right) \right)
\end{equation*}を得ます。すると、曲線\(C\)と\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積、すなわち以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{曲線}C &:&x=x\left( y^{-1}\left( y\right) \right) \\
y\text{軸} &:&x=0 \\
\text{水平線} &:&y=y\left( t_{0}\right) \\
\text{水平線} &:&y=y\left( t_{1}\right)
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\int_{y\left( t_{0}\right) }^{y\left( t_{1}\right) }x\left( y^{-1}\left(
y\right) \right) dy & \left( if\ y\text{は狭義単調増加}\right) \\
\int_{y\left( t_{1}\right) }^{y\left( t_{0}\right) }x\left( y^{-1}\left(
y\right) \right) dy & \left( if\ y\text{は狭義単調減少}\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\vert \int_{y\left( t_{0}\right) }^{y\left( t_{1}\right) }x\left(
y^{-1}\left( y\right) \right) dy\right\vert
\end{eqnarray*}と定まります。特に、関数\(y\)が\(C^{1}\)級である場合には、定積分に関する直接置換の定理が要求する条件が満たされるため、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\left\vert \int_{y\left( t_{0}\right)
}^{y\left( t_{1}\right) }x\left( y^{-1}\left( y\right) \right) dy\right\vert
\\
&=&\left\vert \int_{y\left( t_{0}\right) }^{y\left( t_{1}\right) }\left(
x\circ y^{-1}\right) \left( y\right) dy\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left( x\circ y^{-1}\circ y\right) \left(
t\right) \cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}dt\right\vert \quad \because
\text{直接置換の定理} \\
&=&\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{1}}x\left( y^{-1}\left( y\left( t\right)
\right) \right) \cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}dt\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{1}}x\left( t\right) \cdot \frac{dy\left(
t\right) }{dt}dt\right\vert \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}を得ます。

結論を整理すると、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}について、関数\(y:\mathbb{R} \supset \left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{1}\)級の狭義単調関数であるとともに、関数\(x:\mathbb{R} \supset \left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が非負値をとる場合には、曲線\(C\)と\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積、すなわち、以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{曲線}C &:&x=x\left( y^{-1}\left( y\right) \right) \\
y\text{軸} &:&x=0 \\
\text{水平線} &:&y=y\left( t_{0}\right) \\
\text{水平線} &:&y=y\left( t_{1}\right)
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{1}}x\left(
t\right) \cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}dt\right\vert
\end{equation*}と定まるということです。

媒介変数曲線の右側の領域の面積

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}について、関数\(y\)は\(\left[t_{0},t_{1}\right] \)上において\(C^{1}\)級の狭義単調関数であり、関数\(x\)は\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において非正値をとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :x\left( t\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つということです。

この場合にも、先と同様に考えることにより、曲線\(C\)と\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積、すなわち、以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{曲線}C &:&x=x\left( y^{-1}\left( y\right) \right) \\
y\text{軸} &:&x=0 \\
\text{水平線} &:&y=y\left( t_{0}\right) \\
\text{水平線} &:&y=y\left( t_{1}\right)
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{1}}x\left(
t\right) \cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}dt\right\vert
\end{equation*}と定まります。

媒介変数曲線と\(y\)軸によって囲まれる領域の面積

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}について、関数\(y\)は\(\left[t_{0},t_{1}\right] \)上において\(C^{1}\)級の狭義単調関数であり、関数\(x\)は\(\left[ t_{0},t_{2}\right] \)上において非正値をとる一方で、\(\left[ t_{2},t_{1}\right] \)上において非負値をとるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall t &\in &\left[ t_{0},t_{2}\right] :x\left(
t\right) \leq 0 \\
\left( b\right) \ \forall t &\in &\left[ t_{0},t_{2}\right] :x\left(
t\right) \geq 0
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。

曲線\(C\)と\(y\)軸によって囲まれる領域\(S\)は以下の2つの領域\(S_{1},S_{2}\)に分割可能です。1つ目の領域\(S_{1}\)は以下の3つの要素\begin{eqnarray*}\text{曲線}C &:&x=x\left( y^{-1}\left( x\right) \right) \\
y\text{軸} &:&x=0 \\
\text{水平線} &:&y=y\left( t_{0}\right)
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域であり、その面積は、\begin{equation*}
S_{1}\text{の面積}=\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{2}}x\left(
t\right) \cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}dt\right\vert
\end{equation*}と定まります。2つ目の領域\(S_{2}\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{曲線}C &:&x=x\left( y^{-1}\left( x\right) \right) \\
y\text{軸} &:&x=0 \\
\text{水平線} &:&y=y\left( t_{1}\right)
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域であり、その面積は、\begin{equation*}
S_{1}\text{の面積}=\left\vert \int_{t_{2}}^{t_{1}}x\left(
t\right) \cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}dt\right\vert
\end{equation*}と定まります。したがって、領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&S_{1}\text{の面積}+S_{2}\text{の面積} \\
&=&\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{2}}x\left( t\right) \cdot \frac{dy\left(
t\right) }{dt}dt\right\vert +\left\vert \int_{t_{2}}^{t_{1}}x\left( t\right)
\cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}dt\right\vert
\end{eqnarray*}と定まります。

演習問題