変数yに関する関数のグラフに囲まれる領域の面積
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。加えて、\(\left[ a,b\right] \)上において関数\(f\)が定める値が関数\(g\)が定める値以上である状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです（下図）。
その上で、2つの関数\(f,g\)のグラフによって囲まれる領域\(S\)の面積を特定します（上図）。この領域\(S\)は関数のグラフに相当する曲線\(x=f\left( y\right) \)および\(x=g\left( y\right) \)と2本の水平な直線\(y=a\)と\(y=b\)によって囲まれています。
関数\(f,g\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{y_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ y_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が与えられれば、関数\(f-g\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上におけるリーマン和が、\begin{eqnarray*}S\left( f-g,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left( y_{k}-y_{k-1}\right)
\cdot \left( f-g\right) \left( y_{k}^{\ast }\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( y_{k}-y_{k-1}\right) \cdot \left[ f\left(
y_{k}^{\ast }\right) -g\left( y_{k}^{\ast }\right) \right]
\end{eqnarray*}として定まります。ただし、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)とは以下の条件\begin{equation*}a=y_{0}<y_{1}<\cdots <y_{n-1}<y_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(y_{0},y_{1},\cdots ,y_{n-1},y_{n}\in \mathbb{R} \)からなる組であり、代表点の組\(P^{\ast }\)とは以下の条件\begin{equation*}y_{k}^{\ast }\in \left[ y_{k-1},y_{k}\right]
\end{equation*}を満たす有限個の点\(y_{1}^{\ast },\cdots ,y_{n}^{\ast }\in \mathbb{R} \)からなる組です。
リーマン和\(S\left( f-g,P,P^{\ast }\right) \)は上図の青い領域の面積に相当します。リーマン和の値は分割\(P\)や代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方に依存します。分割\(P\)の大きさは、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ y_{k}-y_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義されますが、分割\(P\)の大きさを\(0\)へ近づける形で分割を変更していった場合、リーマン和を構成する個々の四角形はより細かくなるため、リーマン和の値は領域\(S\)の面積へと近づいていきます。
仮定より関数\(f,g\)はともに\(\left[ a,b\right] \)上で連続です。連続関数どうしの差は連続であるため関数\(f-g\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続です。さらに、連続関数はリーマン積分可能であるため、関数\(f-g\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。したがって、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f-g\)のリーマン和は有限な実数へ限りなく近づきます。つまり、関数\(f-g\)の\(\left[ a,b\right] \)上における定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( f-g\right) \left( y\right) dy=\int_{a}^{b}\left[ f\left(
y\right) -g\left( y\right) \right] dy
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。先の考察より、分割\(P\)の大きさを\(0\)に近づけるにつれてリーマン和\(S\left( f-g,P,P^{\ast }\right) \)の値は領域\(S\)の面積へ近づいていくため、リーマン和の極限に相当する定積分\(\int_{a}^{b}\left(f-g\right) \left( y\right) dy\)は領域\(S\)の面積と限りなく一致します。このような事情を踏まえた上で、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\int_{a}^{b}\left( f-g\right) \left(
y\right) dy \\
&=&\int_{a}^{b}\left[ f\left( y\right) -g\left( y\right) \right] dy
\end{eqnarray*}と定めます。
結論を整理すると、有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに、\begin{equation*}\forall y\in \left[ a,b\right] :f\left( y\right) \geq g\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、以下の4つの要素\begin{eqnarray*}
\text{関数}f\text{のグラフ} &:&x=f\left(
y\right) \\
\text{関数}g\text{のグラフ} &:&x=g\left(
y\right) \\
\text{上方の垂直線} &:&y=b \\
\text{下方の垂直線} &:&y=a
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\int_{a}^{b}\left( f-g\right) \left(
y\right) dy \\
&=&\int_{a}^{b}\left[ f\left( y\right) -g\left( y\right) \right] dy
\end{eqnarray*}と定義されるということです。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}g\left( y\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、関数\(f,g\)はともに定数関数です。これらの関数\(f,g\)のグラフによって囲まれる領域\(S\)は底辺の長さが\(1\)で高さが\(1\)の正方形であるため、その面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=1
\end{equation*}です。同じことを先の命題から導きます。関数\(f,g\)はともに定義域\(\left[ 0,1\right] \)上において連続であるとともに、\begin{equation*}\forall y\in \left[ 0,1\right] :f\left( y\right) \geq g\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
S\text{の面積} &=&\int_{0}^{1}\left[ f\left( y\right)
-g\left( y\right) \right] dy \\
&=&\int_{0}^{1}\left( 1-0\right) dy\quad \because f,g\text{の定義} \\
&=&\int_{0}^{1}1dy \\
&=&\left[ y\right] _{0}^{1} \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( y\right) =-y^{2}+2y
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)のグラフは左に凸な曲線であり、関数\(g\)のグラフは右に凸な曲線です。2つのグラフの交点の\(y\)座標は、\begin{equation*}y^{2}=-y^{2}+2y
\end{equation*}を解くことにより、\begin{equation*}
y=0,1
\end{equation*}と判明します。関数\(f,g\)はともに区間\(\left[ 0,1\right] \)上において連続であるとともに、\begin{equation*}\forall y\in \left[ 0,1\right] :g\left( y\right) \geq f\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つため、2つの関数のグラフによって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\int_{0}^{1}\left[ g\left( y\right)
-f\left( y\right) \right] dy \\
&=&\int_{0}^{1}\left[ \left( -y^{2}+2y\right) -y^{2}\right] dy\quad \because
f,g\text{の定義} \\
&=&\int_{0}^{1}\left( -2y^{2}+2y\right) dy \\
&=&2\int_{0}^{1}\left( -y^{2}+y\right) dy \\
&=&2\left[ -\frac{1}{3}y^{3}+\frac{1}{2}y^{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&2\left[ \left( -\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right) -0\right] \\
&=&2\cdot \frac{1}{6} \\
&=&\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}となります。
互いに交わる関数のグラフに囲まれる領域の面積
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。加えて、加えて、\(\left[ a,c\right] \)上において関数\(f\)が定める値が関数\(g\)が定める値以上であり、\(\left[ c,b\right] \)上において関数\(g\)が定める値が関数\(f\)が定める値以上である状況を想定します。つまり、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall y &\in &\left[ a,c\right] :f\left( y\right) \geq
g\left( y\right) \\
\left( b\right) \ \forall y &\in &\left[ c,b\right] :g\left( y\right) \geq
f\left( y\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです（下図）。
その上で、2つの関数\(f,g\)のグラフよって囲まれる領域\(S\)の面積を特定します。この領域\(S\)は2つの領域\(S_{1},S_{2}\)に分割可能です（上図）。
先の議論より、領域\(S_{1}\)の面積は、\begin{eqnarray*}S_{1}\text{の面積} &=&\int_{a}^{c}\left( f-g\right) \left(
y\right) dy \\
&=&\int_{a}^{c}\left[ f\left( y\right) -g\left( y\right) \right] dy
\end{eqnarray*}と定まる一方で、領域\(S_{2}\)の面積は、\begin{eqnarray*}S_{2}\text{の面積} &=&\int_{c}^{b}\left( g-f\right) \left(
y\right) dy \\
&=&\int_{c}^{b}\left[ g\left( y\right) -f\left( y\right) \right] dy
\end{eqnarray*}と定まります。領域\(S\)は2つの領域\(S_{1},S_{2}\)に分割されるため、\(S\)の面積は\(S_{1}\)の面積と\(S_{2}\)の面積の和と一致します。したがって、領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&S_{1}\text{の面積}+S_{2}\text{の面積} \\
&=&\int_{a}^{c}\left( f-g\right) \left( y\right) dy+\int_{c}^{b}\left(
g-f\right) \left( y\right) dy \\
&=&\int_{a}^{c}\left[ f\left( y\right) -g\left( y\right) \right]
dy+\int_{c}^{b}\left[ g\left( y\right) -f\left( y\right) \right] dy
\end{eqnarray*}と定まります。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,6\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \left[ 0,6\right] \)に対して、\begin{equation*}g\left( y\right) =y
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)のグラフは右に凸な曲線であり、関数\(g\)のグラフは右上がり直線です。2つのグラフの交点の\(y\)座標は、\begin{equation*}-y^{2}+5y=y
\end{equation*}を解くことにより、\begin{equation*}
y=0,4
\end{equation*}と判明します。関数\(f,g\)はともに区間\(\left[ 0,6\right] \)上において連続であるとともに、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall y &\in &\left[ 0,4\right] :f\left( y\right) \geq
g\left( y\right) \\
\left( b\right) \ \forall y &\in &\left[ 4,6\right] :g\left( y\right) \geq
g\left( y\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、2つの関数のグラフによって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\int_{0}^{4}\left[ f\left( y\right)
-g\left( y\right) \right] dy+\int_{4}^{6}\left[ g\left( y\right) -f\left(
y\right) \right] dy \\
&=&\int_{0}^{4}\left[ \left( -y^{2}+5y\right) -x\right] dy+\int_{4}^{6}\left[
y-\left( -y^{2}+5y\right) \right] dy \\
&=&\int_{0}^{4}\left( -y^{2}+4y\right) dy+\int_{4}^{6}\left( y^{2}-4y\right)
dy \\
&=&\left[ -\frac{1}{3}y^{3}+2y^{2}\right] _{0}^{4}+\left[ \frac{1}{3}y^{3}-2y^{2}\right] _{4}^{6} \\
&=&\frac{32}{3}+\frac{32}{3} \\
&=&\frac{64}{3}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( y\right) =\frac{1}{2}y^{2}-3
\end{equation*}を定めるものとします。2つの関数\(f,g\)のグラフによって囲まれる領域の面積を求めてください。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}g\left( y\right) =y^{2}-2
\end{equation*}を定めるものとします。2つの関数\(f,g\)のグラフによって囲まれる領域の面積を求めてください。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( y\right) =2y-y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。2つの関数\(f,g\)のグラフによって囲まれる領域の面積を求めてください。
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