連続関数のリーマン積分可能性
有界な閉区間上に定義された有界な関数がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、そのような関数がリーマン積分可能であること、ないしリーマン積分可能ではないことを判定する方法について解説してきました。加えて、有界な閉区間上に定義された単調関数はリーマン積分可能であることを明らかにしました。リーマン積分可能であることが保証されるような関数は他にも存在するのでしょうか。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるものとします。以上の条件のもとでは最大値・最小値の定理が適用可能であるため、\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上において最大値\(\max f\left( \left[ a,b\right] \right) \)と最小値\(\min f\left( \left[ a,b\right] \right) \)をとることが保証されます。最大値および最小値の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :\min f\left( \left[ a,b\right] \right) \leq
f\left( x\right) \leq \max f\left( \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であることが保証されます。したがって、\(f\)がリーマン積分可能であるか検討できますが、実は、以上の条件を満たす関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上でリーマン積分可能であることが保証されます。
\end{equation*}で表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるため、先の命題より、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるため、先の命題より、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるため、先の命題より、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。
リーマン積分可能な関数の連続性
先の命題はリーマン積分可能であるための十分条件であり、必要条件ではありません。つまり、区間上でリーマン積分な関数がその区間上で連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において連続ではないため\(\left[ 0,1\right] \)上で連続ではありません。その一方で、この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で単調減少であるためリーマン積分可能です。
ただし、区間上に定義された関数がリーマン積分可能である場合、その関数はその区間上の無限個の点において連続であることは保証されます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
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