連続関数のリーマン積分可能性
これまでは有界な閉区間上に定義された有界な関数がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、関数がリーマン積分可能であること、ないしリーマン積分可能ではないことを具体的に判定する方法について解説してきました。加えて、有界な閉区間上に定義された単調関数はリーマン積分可能であることを明らかにしました。リーマン積分可能であることが保証されるような関数は他にも存在するのでしょうか。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるものとします。つまり、\(f\)は区間\(\left[ a,b\right] \)の左側の端点\(a\)において左側連続であり、右側の端点\(a\)において右側連続であるとともに、内部\(\left(a,b\right) \)上の任意の点において連続であるということです。
以上の条件のもとでは最大値・最小値の定理が適用可能であるため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において最大値\(\max f\left( \left[a,b\right] \right) \)と最小値\(\min f\left( \left[ a,b\right] \right) \)をとることが保証されます。最大値および最小値の定義より、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :\min f\left( \left[ a,b\right] \right) \leq
f\left( x\right) \leq \max f\left( \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であることが明らかになりました。したがって、\(f\)がリーマン積分可能であるか検討できますが、この場合には\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることが保証されます。つまり、有界閉区間上に定義された連続関数はその区間上においてリーマン積分可能であるということです。
\end{equation*}で表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるため、先の命題より、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるため、先の命題より、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるため、先の命題より、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。
リーマン積分可能な関数は連続であるとは限らない
先の命題はリーマン積分可能であるための十分条件であり、必要条件ではありません。つまり、有界閉区間上に定義された連続ではない関数がリーマン積分可能であるような状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ 0<x\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において連続ではないため\(\left[ 0,1\right] \)上で連続ではありません。その一方で、この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で単調減少であるためリーマン積分可能です。
リーマン積分可能な関数は無限個の点において連続
リーマン積分可能な関数は連続であるとは限らないことが明らかになりました。その一方で、関数がリーマン積分可能である場合、その関数は無限個の点において連続であることは保証されます。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ 0<x\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したようにこの関数\(f\)はリーマン積分可能である一方で点\(0\)で連続ではありません。\(f\)は\((0,1]\)上で連続ですが、\((0,1]\)は非可算集合であるため\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上の無限個の点において連続であり、これは先の命題の主張と整合的です。
先の命題の対偶をとると以下が得られます。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。これをディリクレ関数（Dirichlet function）と呼びます。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上の任意の点において不連続であるため、\(f\)が連続であるような点の個数は有限（\(0\)個）です。したがって先の命題より\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上においてリーマン積分可能ではありません（演習問題）。
先の命題は、有限個の点においてのみ連続な関数はリーマン積分可能ではないという主張であり、無限個の点において不連続な関数はリーマン積分可能ではないという主張ではないことに注意してください。実際、無限個の点において不連続でありながらリーマン積分可能な関数は存在します。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{q} & \left( if\ \exists p,q\in \mathbb{Z} :q>0\wedge x=\text{既約分数}\frac{p}{q}\right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。これをトマエ関数（Thomae’s function）と呼びます。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上の有理点において不連続であり、無理点において連続です。したがって、\(f\)が連続であるような点の個数は無限個であり、不連続であるような点の個数も無限個です。さらに、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上においてリーマン積分可能です（演習問題）。
連続関数の上積分および下積分可能性
有界閉区間上に定義された有界な関数がリーマン積分可能であることは、その関数が上リーマン積分可能かつ下リーマン積分可能であるとともに上リーマン積分と下リーマン積分が一致することと必要十分です。以上の事実と先の命題を踏まえると以下を得ます。
x\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上の任意の点において不連続であることを示してください。
- \(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上においてリーマン積分可能ではないことを示してください。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{q} & \left( if\ \exists p,q\in \mathbb{Z} :q>0\wedge x=\text{既約分数}\frac{p}{q}\right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上の任意の有理点において不連続であることを示してください。
- \(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上の任意の無理点において連続であることを示してください。
- \(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上においてリーマン積分可能であることを示してください。
