関数の原始関数と不定積分

原始関数の定義

区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、\(f\)と定義域を共有する微分可能な関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在するとともに、その導関数\(F^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が先の関数\(f\)と一致するならば、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、\(F\)を\(f\)の原始関数（primitive function）や逆導関数（antiderivative）などと呼びます。

関数の原始関数は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

関数の原始関数が存在する場合、それは1つだけであるとは限りません。以下の例より明らかです。

関数\(f\)の原始関数が存在する場合、それは一意的に定まるとは限らないことが明らかになりました。実際、関数\(f\)の原始関数\(F \)が存在する場合、定数\(C\)を任意に選んだ上で、新たな関数\(F+C\)を、\begin{equation*}\left( F+C\right) \left( x\right) =F\left( x\right) +C
\end{equation*}と定義すると、これもまた\(f\)の原始関数になることが保証されます。

関数\(f\)の原始関数\(F\)が与えられたとき、任意の定数\(C\)を用いて\(F+C\)と定義される関数もまた\(f\)の原始関数であることが明らかになりました。以上の事実と、定数\(C\)のとり方は無数に存在することを踏まえると、\(f\)の原始関数は無数に存在することになります。

では、異なる原始関数の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。原始関数の間には以下の関係が成り立ちます。証明ではラグランジュの平均値の定理を利用します。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が原始関数を持つ場合、最初に示した命題より、原始関数と任意の定数の和として定義される関数もまた原始関数であるため、定数部分が\(0\)であるような原始関数が存在することが保証されます。それを\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。また、続いて示した命題より、\(F\)とは異なる\(f\)の原始関数\(G:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、何らかの定数\(C\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in I\)において、\begin{equation*}G\left( x\right) =F\left( x\right) +C
\end{equation*}という関係が成立します。したがって、関数\(f\)の原始関数を任意に選んだとき、それは定数部分が\(0\)であるような原始関数\(F\)と何らかの定数\(C\)を用いて\(F\left( x\right) +C\)という形で表すことができます。以上の議論より、関数\(f\)の原始関数をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}\left\{ F\left( x\right) +C\ |\ C\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と表現しても一般性は失われないことが明らかになりました。ただし、\(F\)は定数部分が\(0\)であるような\(f\)の原始関数です。

不定積分の定義

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域である区間\(I\)の部分集合であるような任意の有界閉区間上でリーマン積分可能であるものとします。点\(a\in I\)を任意に選んだ上で固定します。その上で点\(x\in I\)を任意に選ぶと、区間の定義より2つの点\(a,x\)を端点とする有界閉区間は\(I\)の部分集合であるため、\(f\)はその有界閉区間上でリーマン積分可能であり、したがって、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。また、有限な実数どうしの和は有限な実数であるため、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt+C
\end{equation*}もまた有限な実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、区間\(I\)の部分集合であるような任意の有界閉区間上でリーマン積分可能な関数\(f\)に対しては、点\(a\in I\)および定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt+C
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。このような関数\(F\)を点\(a\)を基点とする\(f\)の不定積分（indefinite integral of \(f\)with basepoint \(a\)）と呼びます。

区間\(I\)上に定義された関数\(f\)の不定積分\(F\)がどのような関数になるかは、基点\(a\in I\)や定数\(C\in \mathbb{R} \)の選び方に依存します。つまり、同じ関数\(f\)を対象としている場合でも、異なる基点\(a\in I\)および定数\(C\in \mathbb{R} \)を選べば、それに応じて\(f\)の異なる不定積分が得られるということです。そこで、\(f\)のすべての不定積分からなる集合を、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)の不定積分（indefinite integral of \(f\)）と呼びます。記号\(\int \)を積分記号（integral symbol）と呼び、関数\(f\left( x\right) \)を被積分関数（integrand）と呼び、変数\(x\)を積分変数（integration variable）と呼びます。

区間\(I\)上に定義された関数\(f\)が与えられたとき、基点\(a\in I\)の選び方によっては、点\(a\)を起点とする\(f\)の不定積分は存在しない状況は起こり得ます。一方、関数\(f\)が区間\(I\)の部分集合であるような任意の有界閉区間上でリーマン積分可能である場合には、基点\(a\in I\)と定数\(C\in \mathbb{R} \)として何を選んだ場合でも、それに対応する\(f\)の不定積分\(F\)が必ず存在することが保証されるため、この場合、関数\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\left\{ F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left(
t\right) dt+C\ |\ a\in I\wedge C\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。

関数の不定積分は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

関数の不定積分が存在する場合、それは基点\(a\)や定数\(C\)のとり方によらず連続関数になることが保証されます。証明では微分積分学の第1基本定理を使います。

連続関数の不定積分は原始関数

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるものとします。点\(a\in I\)および定数\(C\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選びます。さらに、点\(x\in I\)を任意に選ぶと、区間の定義より2つの点\(a,x\)を端点とする有界閉区間は\(I\)の部分集合であるため、\(f\)はその有界閉区間上で連続です。有界閉区間上で連続な連続な関数はその区間上でリーマン積分可能であるため、以上の条件のもとでは、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt+C
\end{equation*}を値として定める関数、すなわち基点\(a\)と定数\(C\)に関する\(f\)の不定積分\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能ですが、これは\(f\)の原始関数の1つであることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。証明では微分積分学の第1基本定理を利用します。

連続関数の原始関数は不定積分

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が連続である場合には、点\(a\in I\)および定数\(C\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt+C
\end{equation*}を値として定める関数、すなわち、基点\(a\)と定数\(C\)に関する\(f\)の定積分\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、\(F\)は\(f\)の原始関数の1つであること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、区間上に定義された連続関数\(f\)に対しては、その原始関数が存在することが保証されます。では、\(f\)の原始関数の中に、\(f\)の不定積分ではないような関数は存在するのでしょうか。実は、\(f\)の任意の原始関数は、\(f\)の何らかの不定積分であることが保証されます。つまり、\(f\)の原始関数\(F\)を任意に選んだとき、それは何らかの点\(a\in I\)および定数\(C\in \mathbb{R} \)のもとでの\(f\)の不定積分と一致するということです。

連続関数の不定積分と原始関数は一致する

以上の2つの命題を総合すると以下を得ます。

先の命題より、区間上に定義された関数\(f\)が連続である場合には、\(f\)の原始関数と、任意の基点\(a\)と定数\(C\)に関する\(f\)の不定積分が存在することが保証されるとともに、\(f\)のすべての不定積分からなる集合\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\left\{ F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left(
t\right) dt+C\ |\ z\in I\wedge C\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}は、\(f\)のすべての原始関数からなる集合\begin{equation*}\left\{ F\left( x\right) +C\ |\ C\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と一致します。このような事情を踏まえた上で、区間上に定義された連続関数\(f\)の不定積分については、それを、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=F\left( x\right) +C
\end{equation*}と表記できます。ただし、右辺中の\(F\)は定数部分が\(0\)であるような原始関数であり、\(C\)は任意の実数を値としてとり得る定数です。この定数\(C\)を積分定数（constant of integration）と呼びます。つまり、区間上に定義された連続関数に関しては、不定積分を求めることと原始関数を求めることは実質的に等しいということです。なお、関数の不定積分を導出するプロセスを積分（integration）と呼びます。

不連続関数の不定積分と原始関数は一致するとは限らない

区間上に定義された連続関数\(f\)に関しては、その原始関数と不定積分が存在するとともに、ある関数\(F\)が\(f \)の原始関数であることと、その関数\(F\)が\(f\)の不定積分であることは必要十分であることが明らかになりました。関数\(f\)が不連続である場合、同様の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題