平面上に存在する曲線の媒介変数表示
媒介変数\(t\)が区間\(I\subset \mathbb{R} \)上の値をとり得る状況を想定した上で、媒介変数のそれぞれの値\(t\in I\)に対して、その値に対応する平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点の位置ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を特定する2つの関数\begin{eqnarray*}
x &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられれば、平面上の曲線が、\begin{equation*}
C=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}と定義されます。
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線\(C\)上に存在するそれぞれの点の位置ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は何らかの値\(t\in I\)を用いて、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という形で表すことができます。そのことを、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}で表記し、これを曲線\(C\)のベクトル方程式と呼びます。曲線のベクトル方程式を用いて曲線を表現すると、\begin{equation*}C=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in I:\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}となります。
曲線\(C\)のベクトル方程式\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}となります。これを曲線\(C\)の媒介変数表示と呼びます。
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}と定義します。この2つの関数から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}
C &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{曲線の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \quad \because x,y\text{の定義}
\end{eqnarray*}ですが、これは平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する円です。したがって、円\(C\)のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であり、媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}です。
y\left( t\right) &=&p_{2}+tv_{2}
\end{eqnarray*}と定義します。この2つの関数から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}
C &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{曲線の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
p_{1}+tv_{1} \\
p_{2}+tv_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \quad \because x,y\text{の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線です。直線\(C\)のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1}+tv_{1} \\
p_{2}+tv_{2}\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であり、媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=p_{1}+tv_{1} \\
y=p_{2}+tv_{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
x \\
f\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in I\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。媒介変数\(t\)に関する2つの関数\(x,y:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t \\
y\left( t\right) &=&f\left( t\right)
\end{eqnarray*}と定義します。この2つの関数から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}
C &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
f\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\} \quad \because x,y\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
G\left( f\right) =C
\end{equation*}を得ます。以上より、区間上に定義された1変数関数のグラフは平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線であることが明らかになりました。曲線\(C\)すなわち関数\(f\)のグラフ\(G\left( f\right) \)のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
f\left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}であり、媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=t \\
y=f\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}です。
媒介変数曲線の下側の領域の面積
有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに非負値をとる場合、関数\(f\)のグラフと\(x\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積、すなわち以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{関数のグラフ} &:&y=f\left(
x\right) \\
x\text{軸} &:&y=0 \\
\text{垂直線} &:&x=a \\
\text{垂直線} &:&x=b
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義されます（下図）。
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。加えて、関数\(y\)は\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において非負値のみをとる状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :y\left( t\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つということです。
関数\(x\)が\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において狭義単調関数であれば、媒介変数\(t\)の値が\(t_{0}\)から\(t_{1}\)へ変化するに伴い変数\(x\)の値は\(x\left( t_{0}\right) \)から\(x\left( t_{1}\right) \)まで変化します。関数\(x\)は狭義単調関数であるため、その終集合を値域に制限して、\begin{equation*}x:\left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \left[ x\left( t_{0}\right) ,x\left(
t_{1}\right) \right]
\end{equation*}とすれば全単射になり、したがって逆関数\begin{equation*}
x^{-1}:\left[ x\left( t_{0}\right) ,x\left( t_{1}\right) \right] \rightarrow \left[ t_{0},t_{1}\right]
\end{equation*}が存在します。逆関数の定義より、順序対\(\left( t,x\right) \in \left[ t_{0},t_{1}\right] \times \left[x\left( t_{0}\right) ,x\left( t_{1}\right) \right] \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation}x=x\left( t\right) \Leftrightarrow t=x^{-1}\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、変数\(t\)を変数\(x\)を用いて表現できるため、これを用いて曲線\(C\)の媒介変数表示\(\left( 1\right) \)から媒介変数\(t\)を消去することにより、\begin{equation*}y=y\left( x^{-1}\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得ます。すると、曲線\(C\)と\(x\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積、すなわち以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{曲線}C &:&y=y\left( x^{-1}\left( x\right) \right) \\
x\text{軸} &:&y=0 \\
\text{垂直線} &:&x=x\left( t_{0}\right) \\
\text{垂直線} &:&x=x\left( t_{1}\right)
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\int_{x\left( t_{0}\right) }^{x\left( t_{1}\right) }y\left( x^{-1}\left(
x\right) \right) dx & \left( if\ x\text{は狭義単調増加}\right) \\
\int_{x\left( t_{1}\right) }^{x\left( t_{0}\right) }y\left( x^{-1}\left(
x\right) \right) dx & \left( if\ x\text{は狭義単調減少}\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\vert \int_{x\left( t_{0}\right) }^{x\left( t_{1}\right) }y\left(
x^{-1}\left( x\right) \right) dx\right\vert
\end{eqnarray*}と定まります。特に、関数\(x\)が\(C^{1}\)級である場合には、定積分に関する直接置換の定理が要求する条件が満たされるため、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\left\vert \int_{x\left( t_{0}\right)
}^{x\left( t_{1}\right) }y\left( x^{-1}\left( x\right) \right) dx\right\vert
\\
&=&\left\vert \int_{x\left( t_{0}\right) }^{x\left( t_{1}\right) }\left(
y\circ x^{-1}\right) \left( x\right) dx\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left( y\circ x^{-1}\circ x\right) \left(
t\right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert \quad \because
\text{直接置換の定理} \\
&=&\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{1}}y\left( x^{-1}\left( x\left( t\right)
\right) \right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{1}}y\left( t\right) \cdot \frac{dx\left(
t\right) }{dt}dt\right\vert \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}を得ます。
結論を整理すると、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}について、関数\(x:\mathbb{R} \supset \left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{1}\)級の狭義単調関数であるとともに、関数\(y:\mathbb{R} \supset \left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が非負値をとる場合には、曲線\(C\)と\(x\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積、すなわち、以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{曲線}C &:&y=y\left( x^{-1}\left( x\right) \right) \\
x\text{軸} &:&y=0 \\
\text{垂直線} &:&x=x\left( t_{0}\right) \\
\text{垂直線} &:&x=x\left( t_{1}\right)
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{1}}y\left(
t\right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert
\end{equation*}と定まるということです。
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}として与えられているものとします。これは原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の単位円の中でも\(x\)軸より上方にある半円\(S\)であるため、その面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot 1^{2} \\
&=&\frac{\pi }{2}
\end{eqnarray*}です。同じことを先の命題から導きます。関数\(\cos \left( t\right) \)は\(\left[ 0,\pi \right] \)上において\(C^{1}\)級の狭義単調減少関数であり、関数\(\sin \left( t\right) \)は\(\left[ 0,\pi \right] \)上において非負値をとるため、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\left\vert \int_{0}^{\pi }y\left(
t\right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{0}^{\pi }\sin \left( t\right) \cdot \frac{d}{dt}\cos
\left( t\right) dt\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{0}^{\pi }\sin \left( t\right) \cdot \left[ -\sin \left(
t\right) \right] dt\right\vert \\
&=&\left\vert -\int_{0}^{\pi }\sin ^{2}\left( t\right) dt\right\vert \\
&=&\left\vert -\frac{\pi }{2}\right\vert \\
&=&\frac{\pi }{2}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
媒介変数曲線の上側の領域の面積
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}について、関数\(x\)は\(\left[t_{0},t_{1}\right] \)上において\(C^{1}\)級の狭義単調関数であり、関数\(y\)は\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において非正値をとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :y\left( t\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つということです。
この場合にも、先と同様に考えることにより、曲線\(C\)と\(x\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積、すなわち、以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{曲線}C &:&y=y\left( x^{-1}\left( x\right) \right) \\
x\text{軸} &:&y=0 \\
\text{垂直線} &:&x=x\left( t_{0}\right) \\
\text{垂直線} &:&x=x\left( t_{1}\right)
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{1}}y\left(
t\right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert
\end{equation*}と定まります。
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ \pi ,2\pi \right] \right)
\end{equation*}として与えられているものとします。これは原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の単位円の中でも\(x\)軸より下方にある半円\(S\)であるため、その面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot 1^{2} \\
&=&\frac{\pi }{2}
\end{eqnarray*}です。同じことを先の命題から導きます。関数\(\cos \left( t\right) \)は\(\left[ \pi ,2\pi \right] \)上において\(C^{1}\)級の狭義単調増加関数であり、関数\(\sin \left( t\right) \)は\(\left[ \pi ,2\pi \right] \)上において非正値をとるため、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\left\vert \int_{\pi }^{2\pi }y\left(
t\right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{\pi }^{2\pi }\sin \left( t\right) \cdot \frac{d}{dt}\cos
\left( t\right) dt\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{\pi }^{2\pi }\sin \left( t\right) \cdot \left[ -\sin
\left( t\right) \right] dt\right\vert \\
&=&\left\vert -\int_{\pi }^{2\pi }\sin ^{2}\left( t\right) dt\right\vert \\
&=&\left\vert -\frac{\pi }{2}\right\vert \\
&=&\frac{\pi }{2}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
媒介変数曲線と\(x\)軸によって囲まれる領域の面積
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線\(C\)の媒介変数表示\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}について、関数\(x\)は\(\left[t_{0},t_{1}\right] \)上において\(C^{1}\)級の狭義単調関数であり、関数\(y\)は\(\left[ t_{0},t_{2}\right] \)上において非正値をとる一方で、\(\left[ t_{2},t_{1}\right] \)上において非負値をとるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall t &\in &\left[ t_{0},t_{2}\right] :y\left(
t\right) \leq 0 \\
\left( b\right) \ \forall t &\in &\left[ t_{0},t_{2}\right] :y\left(
t\right) \geq 0
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。
曲線\(C\)と\(x\)軸によって囲まれる領域\(S\)は以下の2つの領域\(S_{1},S_{2}\)に分割可能です。1つ目の領域\(S_{1}\)は以下の3つの要素\begin{eqnarray*}\text{曲線}C &:&y=y\left( x^{-1}\left( x\right) \right) \\
x\text{軸} &:&y=0 \\
\text{垂直線} &:&x=x\left( t_{0}\right)
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域であり、その面積は、\begin{equation*}
S_{1}\text{の面積}=\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{2}}y\left(
t\right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert
\end{equation*}と定まります。2つ目の領域\(S_{2}\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{曲線}C &:&y=y\left( x^{-1}\left( x\right) \right) \\
x\text{軸} &:&y=0 \\
\text{垂直線} &:&x=x\left( t_{1}\right)
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域であり、その面積は、\begin{equation*}
S_{2}\text{の面積}=\left\vert \int_{t_{2}}^{t_{1}}y\left(
t\right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert
\end{equation*}と定まります。したがって、領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&S_{1}\text{の面積}+S_{2}\text{の面積} \\
&=&\left\vert \int_{t_{0}}^{t_{2}}y\left( t\right) \cdot \frac{dx\left(
t\right) }{dt}dt\right\vert +\left\vert \int_{t_{2}}^{t_{1}}y\left( t\right)
\cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert
\end{eqnarray*}と定まります。
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right)
\end{equation*}として与えられているものとします。これは原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の単位円の中でも\(y\)軸より右側にある半円\(S\)であるため、その面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot 1^{2} \\
&=&\frac{\pi }{2}
\end{eqnarray*}です。同じことを先の命題から導きます。\(S\)を第1象限上の四分円\(S_{1}\)と第2象限上の四分円\(S_{2}\)に分割します。関数\(\cos \left( t\right) \)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},0\right] \)上において\(C^{1}\)級の狭義単調増加関数であり、関数\(\sin \left( t\right) \)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},0\right] \)上において非正値をとるため、\begin{eqnarray*}S_{1}\text{の面積} &=&\left\vert \int_{-\frac{\pi }{2}}^{0}y\left( t\right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{-\frac{\pi }{2}}^{0}\sin \left( t\right) \cdot \frac{d}{dt}\cos \left( t\right) dt\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{-\frac{\pi }{2}}^{0}\sin \left( t\right) \cdot \left[
-\sin \left( t\right) \right] dt\right\vert \\
&=&\left\vert -\int_{-\frac{\pi }{2}}^{0}\sin ^{2}\left( t\right)
dt\right\vert \\
&=&\left\vert -\frac{1}{4}\pi \right\vert \\
&=&\frac{1}{4}\pi
\end{eqnarray*}となります。関数\(\cos \left(t\right) \)は\(\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)上において\(C^{1}\)級の狭義単調減少関数であり、関数\(\sin \left( t\right) \)は\(\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)上において非負値をとるため、\begin{eqnarray*}S_{1}\text{の面積} &=&\left\vert \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}y\left( t\right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin \left( t\right) \cdot \frac{d}{dt}\cos \left( t\right) dt\right\vert \\
&=&\left\vert \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin \left( t\right) \cdot \left[
-\sin \left( t\right) \right] dt\right\vert \\
&=&\left\vert -\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{2}\left( t\right)
dt\right\vert \\
&=&\left\vert -\frac{1}{4}\pi \right\vert \\
&=&\frac{1}{4}\pi
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{eqnarray*}
S\text{の面積} &=&S_{1}\text{の面積}+S_{2}\text{の面積} \\
&=&\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{4}\pi \\
&=&\frac{1}{2}\pi
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
演習問題
\begin{array}{c}
x=t^{2} \\
y=4t^{2}-t^{4}\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\right] \right)
\end{equation*}として与えられているものとします。この曲線\(C\)と\(x\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
\begin{array}{c}
x=1+e^{t} \\
y=t-t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}として与えられているものとします。この曲線\(C\)と\(x\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
\begin{array}{c}
x=a\cos \left( t\right) \\
y=b\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}として与えられているものとします。ただし、\(a>0\)かつ\(b>0\)です。この曲線\(C\)によって囲まれる領域の面積を求めてください。
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