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DETERMINANT

行列式

OVERVIEW

行列式

連立1次方程式の解を求める問題は行列式の理論と深い関係があります。ここでは行列式の定義および性質を確認した上で、連立1次方程式との関係を議論します。

TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

順列の置換

行列式を定義するための準備として、順列の置換とその符号について解説します。

順列の置換の符号

1以上n以下の自然数を何らかの順番のもとで並べて列にしたものを順列と呼びます。小さい順番に並んでいる自然数の順列の成分を並び替える操作を置換と呼びます。

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置換の積(合成)の符号

順列の置換は全単射と同一視できるため、複数の置換の合成写像を定義でき、これを置換の積と呼びます。置換の積の符号は、置換の符号どうしの積と一致します。

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逆置換の符号

順列の置換は全単射と同一視できるため、その逆写像に相当する全単射が存在し、それを逆置換と呼びます。置換と逆置換の符号は一致します。

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SECTION 2

行列式

行列式を定義した上で、その基本的な性質について解説します。

行列式

連立1次方程式の解を求める問題は行列式の理論と深い関係があります。ここでは行列式の定義および性質を確認した上で、連立1次方程式との関係を議論します。

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正方行列

実数を正方形に配置したものを正方行列と呼びます。三角行列、対角行列、単位行列などはいずれも正方行列です。

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サラスの公式

次数が2または3であるような正方行列に関しては、その行列式の値を求める際にサラスの公式と呼ばれる指針を利用することができます。

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転置行列の行列式の値

行列のij成分とji成分を入れ替えることで得られる行列を転置行列と呼びます。正方行列の行列式の値と、その転置行列の行列式の値は一致します。

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行列式の行または列に関する交代性

正方行列の2つの行(列)を入れ替えると、その前後において、行列式の値は符号だけが変化します。以上の事実を利用すると、同じ行(列)を持つ正方行列の行列式の値はゼロになることが示されます。

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行列式の行または列に関する斉次性

正方行列の1つの行(列)のすべての成分をk倍すると、その前後において、行列式の値はk倍になります。以上の事実は、正方行列のある行(列)が共通因数を持つ場合、それを行列式の外にくくり出せることを同時に意味します。

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行列式の行または列に関する加法性

行列式の1つの行(列)のそれぞれの成分が2つの実数の和に分解されているならば、この行列式を、それぞれの数を成分とする2つの行列式の和に分解できます。また、1つの行(列)の定数倍を別の行(列)に加えても、行列式の値は変化しません。

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SECTION 3

行列式と連立1次方程式

準備中

連立1次方程式の定義

同じ変数を共有する1次方程式の集まりを連立1次方程式と呼びます。連立1次方程式の解や解集合、一般項や特殊解などの概念を定義します。

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。

実数

実数を特徴づける公理を出発点とした上で、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。さらに、数列や収束列、実数空間上の位相、実数空間上に定義された関数の性質などについて議論します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

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ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

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ベクトル値関数(曲線)

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

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多変数関数(スカラー場)

本節ではスカラー場(多変数関数)が有限な実数へ収束することの意味や、スカラー場が連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後にスカラー場の微分(全微分・方向微分・偏微分)について学ぶ上での前提知識となります。

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