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行列式

行列式の行または列に関する交代性

目次

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行列式の行または列の入れ替え

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、2つの異なる列\(i,j\ \left(=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだ上で、それらを入れ替えて得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。このとき、両者の行列式の値の間には、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =-\left\vert A\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正方行列の2つの列を入れ替えると、その前後において、行列式の値は符号だけが変化します。

命題(行列式の列の入れ替え)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、異なる2つの列\(i,j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)を任意に選び、それらを入れ替えて得られる正方行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =-\left\vert A\right\vert
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(行列式の列の入れ替え)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の1列目と2列目を入れ替えると、\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
a_{12} & a_{11} \\
a_{22} & a_{21}\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{11} \\
a_{22} & a_{21}\end{vmatrix}=a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =-\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。

例(行列式の列の入れ替え)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の1列目と2列目を入れ替えると、\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
a_{12} & a_{11} & a_{13} \\
a_{22} & a_{21} & a_{23} \\
a_{32} & a_{31} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{11} & a_{13} \\
a_{22} & a_{21} & a_{23} \\
a_{32} & a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{11}a_{22}a_{33}-a_{13}a_{21}a_{32}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =-\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。1列目と3列目の入れ替え、2列目と3列目の入れ替えについても同様です。

行の入れ替えについても同様の命題が成り立ちます。

命題(行列式の行の入れ替え)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、異なる2つの行\(i,j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)を任意に選び、それらを入れ替えて得られる正方行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =-\left\vert A\right\vert
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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例(行列式の行の入れ替え)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の1行目と2行目を入れ替えると、\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{11} & a_{12}\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{11} & a_{12}\end{vmatrix}=a_{21}a_{12}-a_{22}a_{11}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =-\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。

例(行列式の行の入れ替え)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の1行目と2行目を入れ替えると、\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{21}a_{12}a_{33}+a_{22}a_{13}a_{31}+a_{23}a_{11}a_{32}-a_{21}a_{13}a_{32}-a_{22}a_{11}a_{33}-a_{23}a_{12}a_{31}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =-\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。1行目と3行目の入れ替え、2行目と3行目の入れ替えについても同様です。

 

同じ行または列を持つ行列式の値

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の2つの異なる列\(i,j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)が一致するものとします。つまり、\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}について、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :a_{ki}=a_{kj}
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、同じ列を持つ正方行列の行列式の値はゼロになります。

命題(2つの列が一致する行列の行列式)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の異なる2つの列が一致する場合には、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(2つの列が一致する行列の行列式)
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 1 \\
2 & 5 & 2 \\
3 & 6 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}は第1列と第3列が一致しています。行列式の値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\
2 & 5 & 2 \\
3 & 6 & 3\end{vmatrix}
\\
&=&1\cdot 5\cdot 3+4\cdot 2\cdot 3+1\cdot 2\cdot 6-1\cdot 2\cdot 6-4\cdot
2\cdot 3-1\cdot 5\cdot 3 \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

行についても同様の主張が成り立ちます。

命題(2つの行が一致する行列の行列式)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の異なる2つの行が一致する場合には、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(2つの行が一致する行列の行列式)
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
1 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}は第1行と第3行が一致しています。行列式の値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
1 & 2 & 3\end{vmatrix}
\\
&=&1\cdot 5\cdot 3+2\cdot 6\cdot 1+3\cdot 4\cdot 2-1\cdot 6\cdot 2-2\cdot
4\cdot 3-3\cdot 5\cdot 1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

演習問題

命題(行列式の行または列の入れ替え)
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\