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行列式

サラスの公式

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転置行列の行列式の値

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次数2の正方行列の行列式

次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\in M_{2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、その行列式の値は、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=\mathrm{sgn}\left( 1,2\right) \cdot a_{11}a_{22}+\mathrm{sgn}\left( 2,1\right)
\cdot a_{12}a_{21}
\end{equation*}となりますが、\(\left( 1,2\right) \)は偶置換であり、\(\left(2,1\right) \)は奇置換であるため、\begin{eqnarray*}\mathrm{sgn}\left( 1,2\right) &=&1 \\
\mathrm{sgn}\left( 2,1\right) &=&-1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。

命題(次数2の正方行列の行列式)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\in M_{2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

\(2\)次の正方行列の行列式に関して、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。ここで注目すべきは、右辺の展開式は、左辺の行列式の左上と右下の成分の積\(a_{11}a_{22}\)、すなわち\(\searrow \)方向の積から、右上と左下の積\(a_{12}a_{21}\)、すなわち\(\swarrow \)方向の積を引いたものになっています。つまり、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=\left( \searrow \text{方向の積}a_{11}a_{22}\right)
-\left( \swarrow \text{方向の積}a_{12}a_{21}\right)
\end{equation*}というルールのもとで行列式の値を導出できます。これをサラスの公式(rule of Sarrus)と呼びます。

例(サラスの公式)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
5 & 6\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値は、サラスの公式より、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
5 & 6\end{vmatrix}=2\cdot 6-3\cdot 5=-3
\end{equation*}となります。

例(サラスの公式)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値は、サラスの公式より、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1\end{vmatrix}=0\cdot 1-0\cdot 1=0
\end{equation*}となります。

 

次数3の正方行列の行列式

次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\in M_{3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、その行列式の値は、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
&=&\mathrm{sgn}\left( 1,2,3\right) \cdot a_{11}a_{22}a_{33}+\mathrm{sgn}\left(
2,3,1\right) \cdot a_{12}a_{23}a_{31}+\mathrm{sgn}\left( 3,1,2\right) \cdot
a_{13}a_{21}a_{32} \\
&&+\mathrm{sgn}\left( 1,3,2\right) \cdot a_{11}a_{23}a_{32}+\mathrm{sgn}\left(
2,1,3\right) \cdot a_{12}a_{21}a_{33}+\mathrm{sgn}\left( 3,2,1\right) \cdot
a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となりますが、\(\left( 1,2,3\right),\left( 2,3,1\right) ,\left( 3,1,2\right) \)は偶置換であり、\(\left( 1,3,2\right) ,\left( 2,1,3\right),\left( 3,2,1\right) \)は奇置換であるため、\begin{eqnarray*}\mathrm{sgn}\left( 1,2,3\right) &=&\mathrm{sgn}\left( 2,3,1\right) =\mathrm{sgn}\left( 3,1,2\right) =1 \\
\mathrm{sgn}\left( 1,3,2\right) &=&\mathrm{sgn}\left( 2,1,3\right) =\mathrm{sgn}\left( 3,2,1\right) =-1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。

命題(次数3の正方行列の行列式)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\in M_{3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

\(3\)次の正方行列の行列式に関して、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。ここで注目すべきは、右辺の展開式は左辺の行列式の1行目のそれぞれの成分から右下へ移動して得られる成分の積\begin{equation*}
a_{11}a_{22}a_{33},\quad a_{12}a_{23}a_{31},\quad a_{13}a_{21}a_{32}
\end{equation*}の和、すなわち\(\searrow \)方向のそれぞれ積の和から、1行目のそれぞれの成分から左下へ移動して得られる成分の積\begin{equation*}a_{11}a_{23}a_{32},\quad a_{12}a_{21}a_{33},\quad a_{13}a_{22}a_{31}
\end{equation*}の和、すなわち\(\swarrow \)方向のそれぞれの積の和を引いたものになっています。つまり、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
&=&\left( \searrow \text{方向の積の和}a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\right) \\
&&-\left( \swarrow \text{方向の積の和}a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{22}a_{31}\right)
\end{eqnarray*}というルールのもとで行列式の値を導出できます。これが次数\(3\)の場合のサラスの公式です。

例(サラスの公式)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 \\
1 & 5 & 2 \\
4 & -2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値は、サラスの公式より、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
3 & 2 & -1 \\
1 & 5 & 2 \\
4 & -2 & 3\end{vmatrix}
&=&3\cdot 5\cdot 3+2\cdot 2\cdot 4+\left( -1\right) \cdot 1\cdot \left(
-2\right) \\
&&-3\cdot 2\cdot \left( -2\right) -2\cdot 1\cdot 3-\left( -1\right) \cdot
5\cdot 4 \\
&=&89
\end{eqnarray*}となります。

例(サラスの公式)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値は、サラスの公式より、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1\end{vmatrix}
&=&0\cdot 1\cdot 1+0\cdot 1\cdot 1+0\cdot 1\cdot 1 \\
&&-0\cdot 1\cdot 1-0\cdot 1\cdot 1-0\cdot 1\cdot 1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

次数\(3\)の正方行列に関するサラスの公式をさらに変形すると以下の関係を得ます。

命題(次数3の正方行列の行列式)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\in M_{3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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上の命題をどのように理解すればよいでしょうか。次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\in M_{3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から第\(i\)行と第\(j\)列を削除することにより得られる次数\(2\)の正方行列を、\begin{equation*}M_{ij}
\end{equation*}で表記するのであれば、\begin{eqnarray*}
M_{11} &=&\begin{pmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}
\\
M_{12} &=&\begin{pmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{pmatrix}
\\
M_{13} &=&\begin{pmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となるため、先の命題の主張を、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =a_{11}\left\vert M_{11}\right\vert
-a_{12}\left\vert M_{12}\right\vert +a_{13}\left\vert M_{13}\right\vert
\end{equation*}と表現できます。この関係を用いれば、\(3\)次の正方行列\(A\)の行列式の値を求めるプロセスを、\(2\)次の正方行列\(M_{11},M_{12},M_{13}\)の行列式の値を求めるプロセスへと帰着させることができます。その際、\(2\)次の正方行列に関するサラスの公式を利用できます。

例(サラスの公式)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 \\
1 & 5 & 2 \\
4 & -2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値は、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
3 & 2 & -1 \\
1 & 5 & 2 \\
4 & -2 & 3\end{vmatrix}
&=&3\left\vert M_{11}\right\vert -2\left\vert M_{12}\right\vert -\left\vert
M_{13}\right\vert \\
&=&3\begin{vmatrix}
5 & 2 \\
-2 & 3\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
4 & 3\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}
1 & 5 \\
4 & -2\end{vmatrix}
\\
&=&3\left( 15+4\right) -2\left( 3-8\right) -\left( -2-20\right) \quad
\because \text{サラスの公式} \\
&=&89
\end{eqnarray*}となります。

例(サラスの公式)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値は、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1\end{vmatrix}
&=&0\left\vert M_{11}\right\vert -0\left\vert M_{12}\right\vert +0\left\vert
M_{13}\right\vert \\
&=&0\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1\end{vmatrix}-0\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1\end{vmatrix}
\\
&=&0-0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

次数4の正方行列の行列式

次数\(4\)の正方行列の行列式の値に関して以下の関係が成り立ちます。

命題(次数4の正方行列の行列式)
次数\(4\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{pmatrix}\in M_{4}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{vmatrix}
&=&a_{11}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\end{vmatrix}
\\
&&+a_{13}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\end{vmatrix}-a_{14}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\end{vmatrix}\end{eqnarray*}という関係が成り立つ。