次数が 2 ないし 3 の正方行列に関しては、サラスの方法と呼ばれるメゾットを利用することでその行列式の値を容易に計算することができます。

次数2の正方行列

次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式は、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
&=&\varepsilon \left( 1,2\right) a_{11}a_{22}+\varepsilon \left( 2,1\right)
a_{12}a_{21} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となります。

ここで注目すべきは、右辺の展開式は左辺の行列式の左上と右下の成分の積\(a_{11}a_{22}\)、すなわち\(\searrow \)方向の積から、右上と左下の積\(a_{12}a_{21}\)、すなわち\(\swarrow \)方向の積を引いたものになっています。つまり、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=\left( \searrow \text{方向の積}a_{11}a_{22}\right)
-\left( \swarrow \text{方向の積}a_{12}a_{21}\right)
\end{equation*}というルールのもとで行列式を導出できるということです。これをサラスの方法(rule of Sarrus)と呼びます。これは連立2元1次方程式のところで述べた行列式の計算ルールに他なりません。

例(サラスの方法)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
5 & 6\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式とその値は、サラスの方法より、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
5 & 6\end{vmatrix}=2\cdot 6-3\cdot 5=-3
\end{equation*}となります。

 

次数3の正方行列

次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式は、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
&=&\varepsilon \left( 1,2,3\right) a_{11}a_{22}a_{33}+\varepsilon \left(
2,3,1\right) a_{12}a_{23}a_{31}+\varepsilon \left( 3,1,2\right)
a_{13}a_{21}a_{32} \\
&&+\varepsilon \left( 1,3,2\right) a_{11}a_{23}a_{32}+\varepsilon \left(
2,1,3\right) a_{11}a_{23}a_{32}+\varepsilon \left( 3,2,1\right)
a_{13}a_{22}a_{31} \\
&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \\
&&-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となります。

ここで注目すべきは、右辺の展開式は左辺の行列式の1行目のそれぞれの成分から右下へ移動して得られる成分の積\(a_{11}a_{22}a_{33},\ a_{12}a_{23}a_{31},\ a_{13}a_{21}a_{32}\)の和、すなわち\(\searrow \)方向のそれぞれ積の和から、1行目のそれぞれの成分から左下へ移動して得られる成分の積\(a_{11}a_{23}a_{32},\ a_{12}a_{21}a_{33},\ a_{13}a_{22}a_{31}\)の和、すなわち\(\swarrow \)方向のそれぞれの積の和を引いたものになっています。つまり、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
&=&\left( \searrow \text{方向の積の和}\ a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\right) \\
&&-\left( \swarrow \text{方向の積の和}\ a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{22}a_{31}\right)
\end{eqnarray*}というルールのもとで行列式を導出できるということです。これが次数\(3\)の場合のサラスの方法です。

例(サラスの方法)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 \\
1 & 5 & 2 \\
4 & -2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式とその値は、サラスの方法より、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
3 & 2 & -1 \\
1 & 5 & 2 \\
4 & -2 & 3\end{vmatrix}
&=&3\cdot 5\cdot 3+2\cdot 2\cdot 4+\left( -1\right) \cdot 1\cdot \left( -2\right) \\
&&-3\cdot 2\cdot \left( -2\right) -2\cdot 1\cdot 3-\left( -1\right) \cdot 5\cdot 4 \\
&=&89
\end{eqnarray*}となります。

サラスの方法を使って定義から直接行列式の値を計算する方法は、正方行列の次数が\(4\)以上の場合には面倒になるため使うことができません。\(4\)次以上の場合には、後に解説する行列式の性質を利用し、次数の小さい行列式におきかえるという方法を利用します。