写像

集合 A のそれぞれの要素に対して集合 B の要素を 1 つずつ定める規則のことを A から B への写像と呼びます。

写像 f:A→B が与えられたとき、b=f(a) が真になるような順序対 (a,b)∈A×B からなる集合を f のグラフと呼びます。

写像による始集合の要素の像や、写像による始集合の部分集合の像などについて解説した上で、それらの概念が満たす性質について整理します。

写像による終集合の要素の逆像や、写像による終集合の部分集合の逆像、また、写像の定義域などについて解説した上で、それらの概念が満たす性質について整理します。

写像による始集合の要素の像と、終集合の要素の逆像の間に成立する関係や、写像による始集合の部分集合の像と、終集合の部分集合の逆像の間に成立する関係などについて整理します。

集合 A から集合 B への写像 f:A→B と、集合 B から集合 C への写像 g:B→C が与えられたとき、A のそれぞれの要素 a に対して C の要素である g(f(a)) を像として定める写像を作ることができるため、これを f と g の合成写像と呼びます。

写像 f:A→B が終集合のそれぞれの要素 b∈B に対して定める逆像 f⁻¹(b) が 1点集合である場合には、f⁻¹(b)とそこに含まれる 1 つの要素を同一視した上で、B のそれぞれの要素 b に対して X の要素 f⁻¹(b) を 1 つずつ定める写像 f⁻¹:B→A を作ることができます。この写像 f⁻¹ を f の逆写像と呼びます。