写像の定義
集合 A のそれぞれの要素に対して集合 B の要素を 1 つずつ定める規則のことを A から B への写像と呼びます。
TABLE OF CONTENTS
目次
MAPPING
写像
集合のそれぞれの要素に対して他の集合の要素を1つずつ定める規則を写像と呼びます。写像は関数を一般化した概念です。
写像のグラフ
写像 f:A→B が与えられたとき、b=f(a) が真になるような順序対 (a,b)∈A×B からなる集合を f のグラフと呼びます。
写像による像と写像の値域
写像による始集合の要素の像や、写像による始集合の部分集合の像などについて解説した上で、それらの概念が満たす性質について整理します。
写像による逆像と写像の定義域
写像による終集合の要素の逆像や、写像による終集合の部分集合の逆像、また、写像の定義域などについて解説した上で、それらの概念が満たす性質について整理します。
写像による像と逆像の関係
写像による始集合の要素の像と、終集合の要素の逆像の間に成立する関係や、写像による始集合の部分集合の像と、終集合の部分集合の逆像の間に成立する関係などについて整理します。
合成写像
集合 A から集合 B への写像 f:A→B と、集合 B から集合 C への写像 g:B→C が与えられたとき、A のそれぞれの要素 a に対して C の要素である g(f(a)) を像として定める写像を作ることができるため、これを f と g の合成写像と呼びます。
逆写像
写像 f:A→B が終集合のそれぞれの要素 b∈B に対して定める逆像 f⁻¹(b) が 1点集合である場合には、f⁻¹(b)とそこに含まれる 1 つの要素を同一視した上で、B のそれぞれの要素 b に対して X の要素 f⁻¹(b) を 1 つずつ定める写像 f⁻¹:B→A を作ることができます。この写像 f⁻¹ を f の逆写像と呼びます。
BIJECTION
単射・全射・全単射
写像の中でも単射や全射、全単射などについて解説します。
単射
定義域の異なる要素に対して異なる像を定める写像を単射や1対1の写像などと呼びます。単射どうしの合成写像は単射です。また、単射の終集合を値域に限定すれば逆写像の存在を保証できます。
単射と左逆写像の関係
写像 f に対して合成写像 g∘f が恒等写像になるような写像 g が存在する場合、このような g を f の左逆写像と呼びます。写像 f に対してその左逆写像が存在することは、f が単射であるための必要十分条件です。
全射
終集合のそれぞれの要素が定義域の要素の像になるような写像を全射と呼びます。全射どうしの合成写像は全射です。全射の逆写像は存在するとは限りません。
全射と右逆写像の関係
写像 f に対して合成写像 f∘g が恒等写像になるような写像 g が存在する場合、このような g を f の右逆写像と呼びます。選択公理を認める場合、写像 f に対してその右逆写像が存在することは、f が全射であるための必要十分条件です。
全単射
単射かつ全射であるような写像を全単射と呼びます。全単射は終集合のそれぞれの要素に対して、それを像とする定義域の要素を1つずつ持つような写像です。全単射どうしの合成写像もまた全単射になります。
全単射と逆写像・右逆写像・左逆写像
写像が全単射であることと、その写像の逆写像が存在することは必要十分です。また、逆写像が存在するとき、それは左逆写像や右写像と一致します。
シュレーダー＝ベルンシュタインの定理（全単射の存在条件）
2つの集合 A,B について、AからBへの単射とBからAへの単射が存在するとき、AからBへの全単射が存在することが保証されます。この事実を利用すると、他にも様々な全単射の存在条件を導くことができます。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
前提知識
本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。
集合
集合論は数学の土台です。あらゆる数学的概念は集合を用いて記述できます。ここでは集合を定義した上で、集合演算とその性質について学び、さらには集合族や直積集合、関係などについて学びます。
