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写像

写像による逆像と写像の定義域

目次

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写像による要素の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の要素\(b\in B\)を任意に選ぶと、これに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす始集合の要素\(a\in A\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たすような\(a\in A\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)による\(b\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。

写像\(f:A\rightarrow B\)は始集合\(A\)のそれぞれの要素に対して終集合\(B\)の要素を1つだけ定めます。したがって、それぞれの\(a\in A\)に対して\(f\)が定める像\(f\left( a\right) \)は\(B\)の「要素」です。一方、終集合のそれぞれの要素\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす始集合の要素\(a\in A\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(A\)の「部分集合」であることに注意が必要です。

例(写像による要素の逆像)
以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。

図:写像による要素の逆像
図:写像による要素の逆像

図では\(c\)には\(1\)から矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(a\)の逆像が\(\left\{ 2\right\} \)であること、すなわち、\begin{equation*}f^{-1}\left( a\right) =\left\{ 2\right\}
\end{equation*}であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ 3\right\} \\
f^{-1}\left( c\right) &=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}であることも読み取れます。

例(写像による要素の逆像)
以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。

図:写像による要素の逆像
図:写像による要素の逆像

図では\(b\)には\(1\)と\(3\)から矢印が伸びていますが、これは\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ 1,3\right\}
\end{equation*}であることを意味します。また、\(c\)には矢印が伸びていませんが、これは、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\phi
\end{equation*}であることを意味します。また、\(a\)には\(2\)から矢印が伸びているため、\begin{equation*}f^{-1}\left( a\right) =\left\{ 2\right\}
\end{equation*}です。

例(写像による要素の逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による要素\(1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ 1,-1\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(0\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(-1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( -1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -1=x^{2}\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}です。

写像\(f:A\rightarrow B\)による終集合の要素\(b\in B\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation}a\in f^{-1}\left( b\right) \Leftrightarrow b=f\left( a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、\(a\)が\(f\)による\(b\)の逆像の要素であることと、\(f\)による\(a\)の像が\(b\)であることは必要十分です。

写像\(f:A\rightarrow B\)のグラフは、\begin{equation}G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b=f\left(
a\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されるため、任意の\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、以下の関係\begin{eqnarray*}a\in f^{-1}\left( b\right) &\Leftrightarrow &f\left( a\right) =b\quad
\because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( a,b\right) \in G\left( f\right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a\in f^{-1}\left( b\right) \Leftrightarrow \left( a,b\right) \in G\left(
f\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、\(a\)が\(f\)による\(b\)の逆像の要素であることと、\(\left( a,b\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

 

写像による集合の逆像・写像の定義域

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意に選びます。\(f\)は始集合のそれぞれの要素\(a\in A\)に対してその像\(f\left( a\right) \in B\)を定めますが、これは先に選んだ集合\(Y\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( a\right) \)が\(Y\)の要素になるような\(a\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in Y\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)による\(Y\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。\(f^{-1}\left(Y\right) \)は\(f\)の始集合\(A\)の部分集合です。

写像\(f:A\rightarrow B\)の終集合\(B\)は\(B\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(B\)の逆像\(f^{-1}\left( B\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の定義域(domain)と呼び、\begin{equation*}D\left( f\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( B\right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in B\right\} \quad \because \text{写像による逆像の定義}
\end{eqnarray*}です。

例(写像による集合の逆像)
以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。

図:写像による集合の逆像
図:写像による集合の逆像

図から明らかであるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&c \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( \left\{ a\right\} \right) &=&\left\{ 2\right\} \\
f^{-1}\left( \{a,b\}\right) &=&\left\{ 2,3\right\} \\
f^{-1}\left( \{b,c\}\right) &=&\left\{ 1,3\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( B\right) \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となります。これも定義域と始集合が一致する写像の例です。

例(写像による集合の逆像)
以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。

図:写像による集合の逆像
図:写像による集合の逆像

図から明らかであるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&b \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( \left\{ b\right\} \right) &=&\left\{ 1,3\right\} \\
f^{-1}\left( \{a,b\}\right) &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
f^{-1}\left( \{c\}\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( B\right) \\
&=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}となります。これもまた定義域と始集合が一致する写像の例です。

例(写像による集合の逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による集合\(\left\{1,4\right\} \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 1,4\right\} \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left\{ 1,4\right\} \right\} \\
&=&\left\{ -2,-1,1,2\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left( 1,4\right) \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left( 1,4\right) \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left( 1,4\right) \right\} \\
&=&\left( -2,-1\right) \cup \left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。これも定義域と始集合が一致する写像の例です。

例(写像による集合の逆像)
空集合は任意の部分集合であるため、写像\(f:X\rightarrow Y\)による空集合\(\phi \subset Y\)の逆像を考えることもできます。写像による集合の逆像の定義より、これは、\begin{eqnarray*}f^{-1}(\phi ) &=&\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \phi \} \\
&=&\phi \quad \because f\left( x\right) \in \phi \text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となります。つまり、写像による空集合の逆像は空集合です。

写像\(f:A\rightarrow B\)による終集合の部分集合\(Y\subset B\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義されるため、要素\(a\in A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}a\in f^{-1}\left( Y\right) &\Leftrightarrow &f\left( a\right) \in Y\quad
\because \text{写像による逆像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in Y:y=f\left( a\right) \quad \because \text{写像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in Y:\left( a,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because \text{写像のグラフの定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(Y\subset B\)の逆像を、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( Y\right) &=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in Y\right\}
\\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists y\in Y:y=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists y\in Y:\left( a,y\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(Y=B\)の場合には、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( B\right) \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:b=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の定義域\(D\left(f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

 

写像の定義域と始集合は一致する

これまで例示した写像はいずれも定義域と始集合が一致していましたが、このような関係は任意の写像に関して成立します。つまり、写像の定義域と始集合は常に一致するということです。

命題(写像の定義域と始集合は一致する)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\begin{equation*}D\left( f\right) =A
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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この命題を踏まえると、写像\(f:A\rightarrow B\)に関しては、その始集合\(A\)と定義域\(D\left( f\right) \)を同一視しても一般性は失われません。写像の始集合と言ったとき、それは同時に定義域を指すとともに、その逆も成立するということです。

写像\(f:A\rightarrow B\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(B\)の部分集合ですが、これは\(B\)と一致するとは限りません。つまり、以下の関係\begin{equation*}R\left( f\right) =B
\end{equation*}は成立するとは限りません。一方、上の命題より、写像\(f:A\rightarrow B\)の定義域については以下の関係\begin{equation*}D\left( f\right) =A
\end{equation*}が必ず成立します。両者の違いに注意してください。

 

写像による要素の逆像と集合の逆像の関係

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意に選んだ上で、その逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in Y\right\}
\end{equation*}をとります。先に選んだ集合の要素\(y\in Y\)を任意に選ぶと、その逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ a\in A\ |\ y=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}が得られますが、両者の間には以下の関係\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) \subset f^{-1}\left( Y\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(y\)が\(Y\)の要素であるならば、\(f\)による\(y\)の逆像は\(Y\)の逆像の部分集合になるということです。

逆の主張も成り立つため以下の命題を得ます。

命題(写像による要素の逆像と集合の逆像の関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意に選ぶ。このとき、以下の関係\begin{equation*}\forall y\in Y:\left[ y\in Y\Leftrightarrow f^{-1}\left( y\right) \subset
f^{-1}\left( Y\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

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例(写像による要素の逆像と集合の逆像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。終集合の部分集合である\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)に注目すると、その逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -1,1\right] \end{eqnarray*}となります。\(y\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}=y\right\} \\
&=&\left\{ \sqrt{y},-\sqrt{y}\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(y\in \left[ 0,1\right] \)の場合には、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) \subset f^{-1}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}が成り立ち、\(y\not\in \left[ 0,1\right] \)の場合には、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) \not\subset f^{-1}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}が成り立ちます。この結果は上の命題の主張と整合的です。

 

写像による集合の逆像と包含関係

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset B\)をそれぞれ任意に選びます。両者の間に\(Y_{1}\subset Y_{2}\)が成り立つ場合には、それらの逆像の間にも、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y_{1}\right) \subset f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}という包含関係が成り立ちます。

逆の主張も成り立つため以下の命題を得ます。

命題(写像による集合の逆像と包含関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset B\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}Y_{1}\subset Y_{2}\Leftrightarrow f^{-1}\left( Y_{1}\right) \subset
f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(写像による要素の逆像と集合の逆像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(Y_{1}\subset Y_{2}\)を満たす終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( Y_{1}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in Y_{1}\right\} \\
f^{-1}\left( Y_{2}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in Y_{2}\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(Y_{1}\subset Y_{2}\)のもとでは\(f^{-1}\left( Y_{1}\right) \subset f^{-1}\left( Y_{2}\right) \)が明らかに成り立ちますが、この結果は上の命題の主張と整合的です。

 

写像による補集合の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意に選んだ上で、その補集合\(Y^{c}=B\backslash Y\)をとります。このとき、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( Y^{c}\right) &=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in
Y^{c}\right\} \\
\left( f^{-1}\left( Y\right) \right) ^{c} &=&A\backslash f^{-1}\left(
Y\right)
\end{eqnarray*}が一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y^{c}\right) =\left( f^{-1}\left( Y\right) \right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(写像による補集合の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y^{c}\right) =\left( f^{-1}\left( Y\right) \right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つ。

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写像による共通部分の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\forall Y_{1},Y_{2}\subset B:f^{-1}\left( Y_{1}\cap Y_{2}\right)
=f^{-1}\left( Y_{1}\right) \cap f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、共通部分の逆像は逆像の共通部分と一致するということです。

命題(写像による共通部分の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall Y_{1},Y_{2}\subset B:f^{-1}\left( Y_{1}\cap Y_{2}\right)
=f^{-1}\left( Y_{1}\right) \cap f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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先の命題は、写像の終集合の2つの部分集合に関するものでしたが、終集合の任意個の部分集合に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題(写像による共通部分の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合\(B\)の部分集合族\(\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}f^{-1}\left( \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }Y_{\lambda }\right)
=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f^{-1}\left( Y_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(写像による共通部分の逆像)
先の命題において添字集合\(\Lambda \)は任意の集合です。特に、\(\Lambda \)が有限集合\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}である場合、先の命題の主張は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y_{1}\cap Y_{2}\cap \cdots \cap Y_{n}\right) =f^{-1}\left(
Y_{1}\right) \cap f^{-1}\left( Y_{2}\right) \cap \cdots \cap f^{-1}\left(
Y_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f^{-1}\left( \bigcap\limits_{i=1}^{n}Y_{i}\right)
=\bigcap\limits_{i=1}^{n}f^{-1}\left( Y_{i}\right)
\end{equation*}となります。

例(写像による共通部分の逆像)
先の命題において添字集合\(\Lambda \)は任意の集合です。特に、\(\Lambda \)が可算集合\begin{equation*}\Lambda =\mathbb{N} \end{equation*}である場合、先の命題の主張は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y_{1}\cap Y_{2}\cap \cdots \right) =f^{-1}\left( Y_{1}\right)
\cap f^{-1}\left( Y_{2}\right) \cap \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f^{-1}\left( \bigcap\limits_{i=1}^{+\infty }Y_{i}\right)
=\bigcap\limits_{i=1}^{+\infty }f^{-1}\left( Y_{i}\right)
\end{equation*}となります。

 

写像による和集合の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\forall Y_{1},Y_{2}\subset B:f^{-1}\left( Y_{1}\cup Y_{2}\right)
=f^{-1}\left( Y_{1}\right) \cup f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、和集合の逆像は逆像の和集合と一致するということです。

命題(写像による和集合の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall Y_{1},Y_{2}\subset B:f^{-1}\left( Y_{1}\cup Y_{2}\right)
=f^{-1}\left( Y_{1}\right) \cup f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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先の命題は、写像の終集合の2つの部分集合に関するものでしたが、終集合の任意個の部分集合に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題(写像による和集合の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合\(B\)の部分集合族\(\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}f^{-1}\left( \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }Y_{\lambda }\right)
=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }f^{-1}\left( Y_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(写像による和集合の逆像)
先の命題において添字集合\(\Lambda \)は任意の集合です。特に、\(\Lambda \)が有限集合\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}である場合、先の命題の主張は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y_{1}\cup Y_{2}\cup \cdots \cup Y_{n}\right) =f^{-1}\left(
Y_{1}\right) \cup f^{-1}\left( Y_{2}\right) \cup \cdots \cup f^{-1}\left(
Y_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f^{-1}\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}Y_{i}\right)
=\bigcup\limits_{i=1}^{n}f^{-1}\left( Y_{i}\right)
\end{equation*}となります。

例(写像による和集合の逆像)
先の命題において添字集合\(\Lambda \)は任意の集合です。特に、\(\Lambda \)が可算集合\begin{equation*}\Lambda =\mathbb{N} \end{equation*}である場合、先の命題の主張は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y_{1}\cup Y_{2}\cup \cdots \right) =f^{-1}\left( Y_{1}\right)
\cup f^{-1}\left( Y_{2}\right) \cup \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f^{-1}\left( \bigcup\limits_{i=1}^{+\infty }Y_{i}\right)
=\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty }f^{-1}\left( Y_{i}\right)
\end{equation*}となります。

 

写像による差集合の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\forall Y_{1},Y_{2}\subset B:f^{-1}\left( Y_{1}\backslash Y_{2}\right)
=f^{-1}\left( Y_{1}\right) \backslash f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、差集合の逆像は逆像の差集合と一致します。

命題(写像による差集合の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall Y_{1},Y_{2}\subset B:f^{-1}\left( Y_{1}\backslash Y_{2}\right)
=f^{-1}\left( Y_{1}\right) \backslash f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(Y_{1}=B\)である場合には、任意の\(Y\subset B\)について、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y^{c}\right) =\left[ f^{-1}\left( Y\right) \right] ^{c}
\end{equation*}となる。

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演習問題

問題(写像による逆像)
集合\(A\)はすべての子供からなる集合であり、集合\(B\)はすべての女性からなる集合であるものとします。写像\(f:A\rightarrow B\)はそれぞれの子供\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( a\right) =a\text{の生物学上の母親}
\end{equation*}を定めるものとします。女性\(b\in B\)を選んだとき、その逆像\(f^{-1}\left(b\right) \)とは何であるか特定してください。
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問題(写像による逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =5x^{2}-x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。逆像\(f^{-1}\left( 6\right) \)を特定してください。ただし、\(\mathbb{R} \)はすべての実数からなる集合です。
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問題(写像による逆像)
写像\(f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{2}-x^{4}+5
\end{equation*}を定めるものとします。逆像\(f^{-1}\left( 7\right) \)を特定してください。ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合です。
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問題(写像による逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(X=\mathbb{R} \)の場合の\(f\)の定義域と、\(X=\mathbb{Z} \)の場合の\(f\)の定義域をそれぞれ求めてください。
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問題(写像による逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f^{-1}\left( \left[ 1,4\right] \right) \\
&&\left( b\right) \ f^{-1}\left( \left[ 0,1\right] \right) \\
&&\left( c\right) \ f^{-1}\left( \left( 0,1\right) \right) \\
&&\left( d\right) \ f^{-1}\left( \left( -1,0\right) \right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(写像による逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+1
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f^{-1}\left( \left\{ 10,17\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ f^{-1}\left( \left( 5,10\right) \right) \\
&&\left( c\right) \ f^{-1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(写像による逆像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4,5\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow A\)が、\begin{equation*}f=\left\{ \left( 1,3\right) ,\left( 2,5\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,1\right) ,\left( 5,2\right) \right\}
\end{equation*}と定義されており、写像\(g:A\rightarrow A\)が、\begin{equation*}g=\left\{ \left( 1,4\right) ,\left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right) ,\left(
4,2\right) ,\left( 5,3\right) \right\}
\end{equation*}と定義されています。\(f\)と\(g\)の定義域をそれぞれ求めてください。
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