写像による逆像

< 前のページ

写像による要素の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合\(B\)の要素\(b\)を任意に選ぶと、これに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす始集合\(A\)の要素\(a \)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たすような\(a\in A\)からなる集合を、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(b\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。

写像\(f:A\rightarrow B\)は始集合\(A\)のそれぞれの要素に対して終集合\(B\)の要素を1つだけ定めます。したがって、それぞれの\(a\in A\)に対して\(f\)が定める像\(f\left( a\right) \)は\(B\)の「要素」です。一方、終集合のそれぞれの要素\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす始集合の要素\(a\in A\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(A\)の「部分集合」であることに注意が必要です。

例(写像による要素の逆像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(a\)には\(2\)から矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(a\)の逆像が\(\left\{ 2\right\} \)であること、すなわち\(f^{-1}\left( a\right) =\left\{ 2\right\} \)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f^{-1}\left( b\right) =\left\{ 3\right\} \)かつ\(f^{-1}\left( c\right) =\left\{ 1\right\} \)です。
図:写像による要素の逆像
図:写像による要素の逆像
例(写像による要素の逆像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(b\)には\(1\)と\(3\)から矢印が伸びていますが、これは\(f^{-1}\left( b\right) =\left\{ 1,3\right\} \)であることを意味します。また、\(c\)には矢印が伸びていませんが、これは\(f^{-1}\left( c\right) =\phi \)であることを意味します。また、\(f^{-1}\left( a\right) =\left\{ 2\right\} \)です。
図:写像による要素の逆像
図:写像による要素の逆像
例(写像による要素の逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\(f\)による要素\(1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( 1\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 1=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ 1,-1\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(0\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 0=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(-1\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( -1\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ -1=x^{2}\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}です。

逆像の定義より、任意の\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation}
a\in f^{-1}\left( b\right) \Leftrightarrow f\left( a\right) =b \quad\cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。つまり、\(f\)による\(a\)の像が\(b\)であることは、\(a\)が\(f\)による\(b\)の逆像の要素であるための必要十分条件です。さらに、\(f\)のグラフは、\begin{equation}
G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ f\left(
a\right) =b\right\} \quad\cdots (2)
\end{equation}と定義されます。以上を踏まえると、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
a\in f^{-1}\left( b\right) &\Leftrightarrow &f\left( a\right) =b\quad
\because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( a,b\right) \in G\left( f\right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。つまり、\(a\)が\(f\)による\(b\)の逆像の要素であることと、\(\left( a,b\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

 

写像による集合の逆像・写像の定義域

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意に選びます。\(f\)は\(A\)のそれぞれの要素\(a\)に対してその像\(f\left( a\right) \in B\)を定めますが、これは\(Y\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( a\right) \)が\(Y\)の要素になるような\(a\)からなる集合を、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in Y\right\}
\end{equation*}で表し、これを写像\(f\)による集合\(Y\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(A\)の部分集合です。

写像\(f:A\rightarrow B\)の終集合\(B\)は\(B\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(B\)の逆像\(f^{-1}\left( B\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の定義域(domain)と呼び、\(D\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( B\right) \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in B\right\}
\end{eqnarray*}です。

例(写像による集合の逆像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図より、\(f\left( 1\right) =c\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)です。したがって、\(f^{-1}\left( \left\{ a\right\} \right) =\left\{ 2\right\} \)や\(f^{-1}\left( \{a,b\}\right) =\left\{ 2,3\right\} \)、\(f^{-1}\left( \{b,c\}\right) =\left\{ 1,3\right\} \)などが成り立ちます。また、\(f\)の定義域は\(D\left( f\right) =f^{-1}\left( B\right) =\left\{ 1,2,3\right\} =A\)です。定義域と始集合は一致します。
図:写像による集合の逆像
図:写像による集合の逆像
例(写像による集合の逆像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図より、\(f\left( 1\right) =f\left( 3\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)です。したがって、\(f^{-1}\left( \left\{ b\right\} \right) =\left\{ 1,3\right\} \)や\(f^{-1}\left( \{a,b\}\right) =\left\{ 1,2,3\right\} \)、\(f^{-1}\left( \{c\}\right) =\phi \)などが成り立ちます。また、\(f\)の定義域は\(D\left( f\right) =f^{-1}\left( B\right) =\left\{ 1,2,3\right\} =A\)です。定義域と始集合は一致します。
図:写像による集合の逆像
図:写像による集合の逆像
例(写像による集合の逆像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による集合\(\left\{ 1,4\right\} \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( \left\{ 1,4\right\} \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left\{ 1,4\right\} \right\} \\
&=&\left\{ -2,-1,1,2\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left( 1,4\right) \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f\left( \left( 1,4\right) \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left( 1,4\right) \right\} \\
&=&\left( -2,-1\right) \cup \left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&f^{-1}\left(
\mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x^{2}\in
\mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となります。
例(写像による集合の逆像)
空集合は任意の部分集合であるため、写像\(f:X\rightarrow Y\)による空集合\(\phi \subset Y\)の逆像を考えることもできます。写像による集合の逆像の定義より、これは、\begin{equation*}
f^{-1}(\phi )=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \phi \}
\end{equation*}となりますが、\(f\left( x\right) \in \phi \)は恒偽式であるため\(f^{-1}\left( \phi \right) =\phi \)となります。つまり、写像による空集合の逆像は空集合です。

繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)による終集合の部分集合\(Y\subset B\)の逆像は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の要素\(a\in A\)について、\begin{eqnarray*}
a\in f^{-1}\left( Y\right) &\Leftrightarrow &f\left( a\right) \in Y\quad
\because f^{-1}\left( Y\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in Y:y=f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in Y:\left( a,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(Y\subset B\)の逆像を、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( Y\right) &=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in Y\right\}
\\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists y\in Y:y=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists y\in Y:\left( a,y\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}など様々な形で表現できます。特に、\(Y=B\)の場合には、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( B\right) \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:b=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ a\in A\ |\ \exists b\in B:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の定義域\(D\left( f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。さらに、写像の定義より、それぞれの\(a\in A\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(b\in B\)は必ず存在するため、\begin{equation*}
D\left( f\right) =A
\end{equation*}という関係が成立します。つまり、写像の定義域と始集合は常に一致するということです。

命題(写像の定義域と始集合は一致する)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\begin{equation*}
D\left( f\right) =A
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

 

写像による要素の逆像と集合の逆像の関係

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意に選んだ上で、その要素\(y\in Y\)を任意に選びます。その上で、その逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)をとると、任意の\(a\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}
a\in f^{-1}\left( y\right) &\Leftrightarrow &y=f\left( a\right) \quad
\because f^{-1}\text{の定義} \\
&\Rightarrow &f\left( a\right) \in Y\quad \because y\in Y \\
&\Leftrightarrow &a\in f^{-1}\left( Y\right) \quad \because f^{-1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f^{-1}\left( y\right) \subset f^{-1}\left( Y\right) \)が成り立ちます。つまり、\(y\)が\(Y\)の要素であるならば、\(f\)による\(y\)の逆像は\(Y\)の逆像の部分集合になります。また、その逆の関係も成り立つため(演習問題にします)、以下の命題が成り立ちます。

命題(写像による要素の逆像と集合の逆像の関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)と終集合の部分集合\(Y\subset B\)が与えられたとき、任意の\(y\in B\)に対して、\begin{equation*}
y\in Y\Leftrightarrow f^{-1}\left( y\right) \subset f^{-1}\left( Y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(写像による要素の逆像と集合の逆像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)とその要素\(b\in B\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x^{2}=b\right\} \\
f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \exists y\in B:x^{2}=y\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(f^{-1}\left( b\right) \)の要素は明らかに\(f^{-1}\left( B\right) \)の要素でもあります。つまり、\(f^{-1}\left( b\right) \subset f^{-1}\left( B\right) \)が成り立ちますが、この結果は上の命題の主張と整合的です。

 

写像による集合の逆像と包含関係

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset B\)をそれぞれ任意に選びます。両者の間に\(Y_{1}\subset Y_{2}\)が成り立つ場合には、任意の\(a\in A\)について、\begin{eqnarray*}
a\in f^{-1}\left( Y_{1}\right) &\Leftrightarrow &\exists y\in
Y_{1}:y=f\left( a\right) \quad \because f^{-1}\text{の定義}
\\
&\Rightarrow &\exists y\in Y_{2}:y=f\left( a\right) \quad \because
Y_{1}\subset Y_{2} \\
&\Leftrightarrow &a\in f^{-1}\left( Y_{2}\right) \quad \because f^{-1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f^{-1}\left( Y_{1}\right) \subset f^{-1}\left( Y_{2}\right) \)です。また、その逆の関係も成り立つため(演習問題にします)、以下の命題が成り立ちます。

命題(写像による集合の逆像と包含関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset B\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
Y_{1}\subset Y_{2}\Leftrightarrow f^{-1}\left( Y_{1}\right) \subset
f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(写像による要素の逆像と集合の逆像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(Y_{1}\subset Y_{2}\)を満たす終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( Y_{1}\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \exists y\in Y_{1}:x^{2}=y\right\} \\
f^{-1}\left( Y_{2}\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \exists y\in Y_{2}:x^{2}=y\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(Y_{1}\subset Y_{2}\)のもとでは、\(f^{-1}\left( Y_{1}\right) \)の要素は明らかに\(f^{-1}\left( Y_{2}\right) \)の要素でもあります。つまり、\(f^{-1}\left( Y_{1}\right) \subset f^{-1}\left( Y_{2}\right) \)が成り立ちますが、この結果は上の命題の主張と整合的です。

 

写像による共通部分の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(a\in A\)について、\begin{eqnarray*}
a\in f^{-1}\left( Y_{1}\cap Y_{2}\right) &\Leftrightarrow &\exists y\in
Y_{1}\cap Y_{2}:y=f\left( a\right) \quad \because f^{-1}\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left[ \exists y\in Y_{1}:y=f\left( a\right) \right] \
\wedge \ \left[ \exists y\in Y_{2}:y=f\left( a\right) \right] \quad \because
\cap ,f\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &a\in f^{-1}\left( Y_{1}\right) \wedge a\in f^{-1}\left(
Y_{2}\right) \quad \because f^{-1}\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &a\in f^{-1}\left( Y_{1}\right) \cap f^{-1}\left(
Y_{2}\right) \quad \because \because \cap \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f^{-1}\left( Y_{1}\cap Y_{2}\right) =f^{-1}\left( Y_{1}\right) \cap f^{-1}\left( Y_{2}\right) \)です。

命題(写像による共通部分の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset Y\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y_{1}\cap Y_{2}\right) =f^{-1}\left( Y_{1}\right) \cap
f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題は写像の終集合の2つの部分集合に関するものですが、終集合の部分集合族に関しても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(写像による共通部分の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合\(B\)の部分集合族\(\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
f^{-1}\left( \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }Y_{\lambda }\right)
=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f^{-1}\left( Y_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

 

写像による和集合の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(a\in A\)について、\begin{eqnarray*}
a\in f^{-1}\left( Y_{1}\cup Y_{2}\right) &\Leftrightarrow &\exists y\in
Y_{1}\cup Y_{2}:y=f\left( a\right) \quad \because f^{-1}\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left[ \exists y\in Y_{1}:y=f\left( a\right) \right] \
\vee \ \left[ \exists y\in Y_{2}:y=f\left( a\right) \right] \quad \because
\cup \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &a\in f^{-1}\left( Y_{1}\right) \vee a\in f^{-1}\left(
Y_{2}\right) \quad \because f^{-1}\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &a\in f^{-1}\left( Y_{1}\right) \cup f^{-1}\left(
Y_{2}\right) \quad \because \cup \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f^{-1}\left( Y_{1}\cup Y_{2}\right) =f^{-1}\left( Y_{1}\right) \cup f^{-1}\left( Y_{2}\right) \)です。

命題(写像による和集合の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset B\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y_{1}\cup Y_{2}\right) =f^{-1}\left( Y_{1}\right) \cup
f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題は写像の終集合の2つの部分集合に関するものですが、終集合の部分集合族に関しても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(写像による和集合の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合\(B\)の部分集合族\(\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
f^{-1}\left( \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }Y_{\lambda }\right)
=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }f^{-1}\left( Y_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

 

写像による差集合の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(a\in A\)について、\begin{eqnarray*}
a\in f^{-1}\left( Y_{1}\right) \backslash f^{-1}\left( Y_{2}\right)
&\Leftrightarrow &a\in f^{-1}\left( Y_{1}\right) \wedge a\not\in
f^{-1}\left( Y_{2}\right) \quad \because \backslash \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left[ \exists y\in Y_{1}:y=f\left( a\right) \right] \wedge \left[ \forall y\in Y_{2}:y\not=f\left( a\right) \right] \quad
\because f^{-1}\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in Y_{1}\backslash Y_{2}:y=f\left( a\right)
\quad \because \backslash ,f\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &a\in f^{-1}\left( Y_{1}\backslash Y_{2}\right) \quad
\because f^{-1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f^{-1}\left( Y_{1}\right) \backslash f^{-1}\left( Y_{2}\right) =f^{-1}\left( Y_{1}\backslash Y_{2}\right) \)です。

命題(写像による差集合の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y_{1},Y_{2}\subset B\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y_{1}\backslash Y_{2}\right) =f^{-1}\left( Y_{1}\right)
\backslash f^{-1}\left( Y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(写像による差集合の逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset B\)を任意に選ぶと、上の命題より、\begin{equation*}
f^{-1}\left( B\backslash Y\right) =f^{-1}\left( B\right) \backslash
f^{-1}\left( Y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。特に、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ a\in A\ |\ f\left( a\right) \in B\right\}
\quad \because f^{-1}\text{の定義} \\
&=&A\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、先の等式は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( B\backslash Y\right) =A\backslash f^{-1}\left( Y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y^{c}\right) =\left( f^{-1}\left( Y\right) \right) ^{c}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、写像の終集合の部分集合が与えられたとき、その補集合の逆像は、その逆像の補集合と一致します。

次回は写像による像と逆像の関係について学びます。

次へ進む 質問・コメント(プレミアム会員限定) 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email
< 前のページ

プレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。プレミアム会員の方は以下からログインしてください。

会員登録 | パスワードを忘れましたか?

有料のプレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

本サイトは MathJax を実装しているため、コメント文中で LaTex コマンドを利用することで美しい数式を入力できます。その際、インライン数式は\(数式\)で、ディスプレイ数式は$$数式$$という形式でそれぞれ入力してください。 例えば、\(ax^{2}+bx+c=0\)と入力すると\(ax^{2}+bx+c=0\)と表示され、$$ax^{2}+bx+c=0$$と入力すると$$ax^{2}+bx+c=0$$と表示されます。MathJax(LaTex)の文法については次のサイト( https://easy-copy-mathjax.xxxx7.com )などを参照してください。 紙に手書きした数式や図をカメラやスマホで撮影した上で、コメント欄に張り付けることもできます。その場合、コメント入力欄にある「ファイルを選択」ボタンをクリックした上で画像をアップロードしてください。アップロード可能な画像フォーマットは jpg, gif, png の 3 種類、ファイルサイズの上限は 5 MB です。PDF ファイルの添付も可能です。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員だけが質問やコメントを投稿・閲覧できます。