写像による逆像

写像による要素の逆像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合\(B\)の要素\(b\)を任意に選ぶと、これに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす始集合\(A\)の要素\(a\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たすような\(a\in A\)からなる集合を、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(b\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。

定義より、任意の\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}
a\in f^{-1}\left( b\right) \ \Leftrightarrow \ b=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(f\)による\(a\)の像が\(b\)であることは、\(a\)が\(f\)による\(b\)の逆像の要素であるための必要十分条件です。

写像\(f:A\rightarrow B\)は始集合\(A\)のそれぞれの要素に対して終集合\(B\)の要素を 1 つだけ定めます。したがって、それぞれの\(a\in A\)に対して\(f\)が定める像\(f\left( a\right) \)は\(B\)の「要素」です。一方、それぞれの要素\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f\left( b\right) \)は\(A\)の「部分集合」であることに注意が必要です。

例(写像による要素の逆像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(a\)には\(1\)から矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(a\)の逆像が\(\left\{ 1\right\} \)であること、すなわち\(f^{-1}\left( a\right) =\left\{ 1\right\} \)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f^{-1}\left( b\right) =\left\{ 3\right\} \)かつ\(f^{-1}\left( c\right) =\left\{ 1\right\} \)です。
図:写像による要素の逆像
図:写像による要素の逆像
例(写像による要素の逆像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(b\)には\(1\)と\(3\)から矢印が伸びていますが、これは\(f^{-1}\left( b\right) =\left\{ 1,3\right\} \)であることを意味します。また、\(c\)には矢印が伸びていませんが、これは\(f^{-1}\left( c\right) =\phi \)であることを意味します。また、\(f^{-1}\left( a\right) =\left\{ 2\right\} \)です。
図:写像による要素の逆像
図:写像による要素の逆像
例(写像による要素の逆像)
写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義されているとき、\(f\)による要素\(1\in \mathbb{R}\)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( 1\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 1=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ 1,-1\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(0\in \mathbb{R}\)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ 0=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による要素\(-1\in \mathbb{R}\)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( -1\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -1=x^{2}\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}です。

繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、\begin{equation}
a\in f^{-1}\left( b\right) \ \Leftrightarrow \ b=f\left( a\right) \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。さらに、\(f\)のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b=f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}という\(A\times B\)の部分集合として定義されるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
\left( a,b\right) \in G\left( f\right) \ \Leftrightarrow \ b=f\left(
a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
\left( a,b\right) \in G\left( f\right) \ \Leftrightarrow \ a\in f^{-1}\left(
b\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\left( a,b\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは、\(a\)が\(f\)による\(b\)の逆像の要素であるための必要十分条件です。

命題(写像による要素の逆像の特徴づけ)
写像\(f:A\rightarrow B\)とそのグラフ\(G\left( f\right) \)が与えられたとき、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}
\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(a\in f^{-1}\left( b\right) \)が成り立つための必要十分条件である。
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上の命題より、写像\(f:A\rightarrow B\)による要素\(b\in B\)の逆像を、グラフ\(G\left( f\right) \)を用いて、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\in A\ |\ \left( a,b\right) \in G\left(
f\right) \right\}
\end{equation*}と表現することが可能です。

 

写像による集合の逆像・写像の定義域

写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B\subset Y\)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \in Y\)を定めますが、これは\(B\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( x\right) \)が\(B\)の要素になるような\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}
f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}で表し、これを写像\(f\)による集合\(B\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。\(f^{-1}\left( B\right) \)は\(X\)の部分集合です。

写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、終集合\(Y\)は\(Y\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(Y\)の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)を考えることもできます。これを特に\(f\)の定義域(domain)と呼び、\(D\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( Y\right) \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}です。

例(写像による集合の逆像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図より、\(f\left( 1\right) =c\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)です。したがって、\(f^{-1}\left( \left\{ a\right\} \right) =\left\{ 2\right\} \)や\(f^{-1}\left( \{a,b\}\right) =\left\{ 2,3\right\} \)、\(f^{-1}\left( \{b,c\}\right) =\left\{ 1,3\right\} \)などが成り立ちます。また、\(f\)の定義域は\(D\left( f\right) =f^{-1}\left( B\right) =\left\{ 1,2,3\right\} =A\)です。定義域と始集合は一致します。
図:写像による集合の逆像
図:写像による集合の逆像
例(写像による集合の逆像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図より、\(f\left( 1\right) =f\left( 3\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)です。したがって、\(f^{-1}\left( \left\{ b\right\} \right) =\left\{ 1,3\right\} \)や\(f^{-1}\left( \{a,b\}\right) =\left\{ 1,2,3\right\} \)、\(f^{-1}\left( \{c\}\right) =\phi \)などが成り立ちます。また、\(f\)の定義域は\(D\left( f\right) =f^{-1}\left( B\right) =\left\{ 1,2,3\right\} =A\)です。定義域と始集合は一致します。
図:写像による集合の逆像
図:写像による集合の逆像
例(写像による集合の逆像)
写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義されているものとします。\(f\)による集合\(\left\{ 1,4\right\} \subset \mathbb{R}\)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( \left\{ 1,4\right\} \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x^{2}\in \left\{ 1,4\right\} \right\} \\
&=&\left\{ -2,2,-1,1\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left( 1,4\right) \subset \mathbb{R}\)の逆像は、\begin{eqnarray*}
f\left( \left( 1,4\right) \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x^{2}\in \left( 1,4\right) \right\} \\
&=&\left( -2,-1\right) \cup \left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&f^{-1}\left(
\mathbb{R}\right) \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x^{2}\in
\mathbb{R}\right\} \\
&=&\mathbb{R}\end{eqnarray*}となります。
例(写像による空集合の逆像)
空集合は任意の部分集合であるため、写像\(f:X\rightarrow Y\)による空集合\(\phi \subset Y\)の逆像を考えることもできます。写像による集合の逆像の定義より、これは、\begin{equation*}
f^{-1}(\phi )=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \phi \}
\end{equation*}となりますが、\(f\left( x\right) \in \phi \)は恒偽式であるため\(f^{-1}\left( \phi \right) =\phi \)となります。つまり、写像による空集合の逆像は空集合です。

写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B\subset Y\)を任意に選んだ上で、その逆像\(f^{-1}\left( B\right) \)をとります。始集合\(X\)の要素\(x\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x\in f^{-1}\left( B\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) \in B\quad
\because f^{-1}\left( B\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists b\in B:b=f\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

命題(写像による集合の逆像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)と集合\(B\subset Y\)が与えられたとき、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
x\in f^{-1}(B)\ \Leftrightarrow \ \exists b\in B:b=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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上の命題より、写像\(f:X\rightarrow Y\)による集合\(B\subset Y\)の逆像を、\begin{equation*}
f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ \exists b\in B:b=f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}と表現することが可能です。特に、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}
D\left( f\right) =\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in Y:y=f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}となりますが、写像の定義より、それぞれの\(x\in X\)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす\(y\in Y\)は必ず存在するため、\begin{equation*}
D\left( f\right) =X
\end{equation*}となります。つまり、写像の定義域と始集合は常に一致します。

命題(写像の定義域と始集合は一致する)
写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、\begin{equation*}
D\left( f\right) =X
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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写像\(f:X\rightarrow Y\)とそのグラフ\(G\left( f\right) \)が与えられたとき、順序対\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \)が成り立つことは、\(y=f\left( x\right) \)が成り立つための必要十分条件です。この事実と、写像による集合の逆像に関する先の命題より以下を得ます。

命題(写像による集合の逆像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)と集合\(B\subset Y\)が与えられたとき、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
x\in f^{-1}(B)\ \Leftrightarrow \ \exists b\in B:\left( x,b\right) \in
G\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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上の命題より、写像\(f:X\rightarrow Y\)による集合\(B\subset Y\)の逆像を、グラフ\(G\left( f\right) \)を用いて、\begin{equation*}
f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ \exists b\in B:\left( x,b\right)
\in G\left( f\right) \right\}
\end{equation*}と表現することが可能です。特に、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in Y:\left( x,y\right) \in
G\left( f\right) \right\} \\
&=&X
\end{eqnarray*}となります。

 

写像による要素の逆像と集合の逆像の関係

写像\(f:X\rightarrow Y\)と集合\(B\subset Y\)が与えられたとき、\(y\in B\)を満たす\(y\in Y\)を任意に選んだ上で、その逆像\(f^{-1}\left( y\right) \subset X\)をとります。このとき、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in f^{-1}\left( y\right) &\Leftrightarrow &y=f\left( x\right) \quad
\because f^{-1}\left( y\right) \text{の定義} \\
&\Rightarrow &f\left( x\right) \in B\quad \because y\in B \\
&\Leftrightarrow &x\in f^{-1}\left( B\right) \quad \because f^{-1}\left(
B\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f^{-1}\left( y\right) \subset f^{-1}\left( B\right) \)が成り立ちます。つまり、\(y\)が\(B\)の要素であるならば、\(y\)の逆像は\(B\)の逆像の部分集合になります。

逆に、\(f^{-1}\left( y\right) \subset f^{-1}\left( B\right)\)から\(y\in B\)を導くこともできます。実際、\(y\not\in B\)と仮定すると、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in f^{-1}\left( y\right) &\Leftrightarrow &y=f\left( x\right) \quad
\because f^{-1}\left( y\right) \text{の定義} \\
&\Rightarrow &f\left( x\right) \not\in B\quad \because y\not\in B \\
&\Leftrightarrow &x\not\in f^{-1}\left( B\right) \quad \because f^{-1}\left(
B\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(f^{-1}\left( y\right) \)の要素だが\(f^{-1}\left( B\right) \)の要素ではないものが存在することを意味し、\(f^{-1}\left( y\right) \subset f^{-1}\left( B\right) \)と矛盾です。したがって\(y\in B\)が成り立ちます。

命題(写像による要素の逆像と集合の逆像の関係)
写像\(f:X\rightarrow Y\)と集合\(B\subset Y\)が与えられたとき、任意の\(y\in Y\)に対して、\begin{equation*}
y\in B\ \Leftrightarrow \ f^{-1}\left( y\right) \subset f^{-1}\left(
B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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例(写像による要素の逆像と集合の逆像の関係)
写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義されているものとします。終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R}\)とその要素\(b\in B\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x^{2}=b\right\} \\
f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ \exists y\in B:x^{2}=y\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(f^{-1}\left( b\right) \)の要素は明らかに\(f^{-1}\left( B\right) \)の要素でもあります。つまり、\(f^{-1}\left( b\right) \subset f^{-1}\left( B\right) \)が成り立ちますが、この結果は上の命題と整合的です。

 

写像による集合の逆像と包含関係

写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B_{1},B_{2}\subset Y\)を任意に選びます。\(B_{1}\subset B_{2}\)が成り立つ場合には、任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}
x\in f^{-1}\left( B_{1}\right) &\Leftrightarrow &\exists b\in
B_{1}:b=f\left( x\right) \quad \because f^{-1}\left( B_{1}\right) \text{の定義} \\
&\Rightarrow &\exists b\in B_{2}:b=f\left( x\right) \quad \because
B_{1}\subset B_{2} \\
&\Leftrightarrow &x\in f^{-1}\left( B_{2}\right) \quad \because f^{-1}\left(
B_{2}\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f^{-1}\left( B_{1}\right) \subset f^{-1}\left( B_{2}\right) \)です。また、先の命題を利用すると、\(f^{-1}\left( B_{1}\right) \subset f^{-1}\left( B_{2}\right)\)から\(B_{1}\subset B_{2}\)を導くこともできます(演習問題にします)。

命題(写像による集合の逆像と包含関係)
写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B_{1},B_{2}\subset Y\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
B_{1}\subset B_{2}\ \Leftrightarrow \ f^{-1}\left( B_{1}\right) \subset
f^{-1}\left( B_{2}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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例(写像による要素の逆像と集合の逆像の関係)
写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義されているものとします。\(B_{1}\subset B_{2}\)を満たす終集合の部分集合\(B_{1},B_{2}\subset \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( B_{1}\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ \exists y\in B_{1}:x^{2}=y\right\} \\
f^{-1}\left( B_{2}\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ \exists y\in B_{2}:x^{2}=y\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(B_{1}\subset B_{2}\)のもとでは、\(f^{-1}\left( B_{1}\right) \)の要素は明らかに\(f^{-1}\left( B_{2}\right) \)の要素でもあります。つまり、\(f^{-1}\left( B_{1}\right) \subset f^{-1}\left( B_{2}\right) \)が成り立ちますが、この結果は上の命題と整合的です。

 

写像による共通部分の逆像

写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B_{1},B_{2}\subset Y\)を任意に選びます。\(x\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x\in f^{-1}\left( B_{1}\cap B_{2}\right) &\Leftrightarrow &\exists b\in
B_{1}\cap B_{2}:b=f\left( x\right) \quad \because f^{-1}\left( B_{1}\cap
B_{2}\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left[ \exists b\in B_{1}:b=f\left( x\right) \right] \
\wedge \ \left[ \exists b\in B_{2}:b=f\left( x\right) \right] \quad \because
\cap ,f\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in f^{-1}\left( B_{1}\right) \ \wedge \ x\in
f^{-1}\left( B_{2}\right) \quad \because f^{-1}\left( B_{1}\right)
,f^{-1}\left( B_{2}\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in f^{-1}\left( B_{1}\right) \cap f^{-1}\left(
B_{2}\right) \quad \because \because \cap \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f^{-1}\left( B_{1}\cap B_{2}\right) =f^{-1}\left( B_{1}\right) \cap f^{-1}\left( B_{2}\right) \)です。

命題(写像による共通部分の像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B_{1},B_{2}\subset Y\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
f^{-1}\left( B_{1}\cap B_{2}\right) =f^{-1}\left( B_{1}\right) \cap
f^{-1}\left( B_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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先の命題は、写像の終集合の部分集合であるような 2 つの集合に関するものでしたが、終集合の部分集合族に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(写像による共通部分の像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、\(Y\)の部分集合族\(\left\{ B_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
f^{-1}\left( \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }\right)
=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f^{-1}\left( B_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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写像による和集合の逆像

写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B_{1},B_{2}\subset Y\)を任意に選びます。任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}
x\in f^{-1}\left( B_{1}\cup B_{2}\right) &\Leftrightarrow &\exists b\in
B_{1}\cup B_{2}:b=f\left( x\right) \quad \because f^{-1}\left( B_{1}\cup
B_{2}\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left[ \exists b\in B_{1}:b=f\left( x\right) \right] \
\vee \ \left[ \exists b\in B_{2}:b=f\left( x\right) \right] \quad \because
\cup \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in f^{-1}\left( B_{1}\right) \ \vee \ x\in f^{-1}\left(
B_{2}\right) \quad \because f^{-1}\left( B_{1}\right) ,f^{-1}\left(
B_{2}\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in f^{-1}\left( B_{1}\right) \cup f^{-1}\left(
B_{2}\right) \quad \because \cup \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f^{-1}\left( B_{1}\cup B_{2}\right) =f^{-1}\left( B_{1}\right) \cup f^{-1}\left( B_{2}\right) \)です。

命題(写像による和集合の逆像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B_{1},B_{2}\subset Y\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
f^{-1}\left( B_{1}\cup B_{2}\right) =f^{-1}\left( B_{1}\right) \cup
f^{-1}\left( B_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題は写像の終集合の部分集合であるような 2 つの集合に関するものでしたが、終集合の部分集合族に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(写像による和集合の逆像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、\(Y\)の部分集合族\(\left\{ B_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
f^{-1}\left( \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }\right)
=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }f^{-1}\left( B_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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写像による差集合の逆像

写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B_{1},B_{2}\subset Y\)を任意に選びます。任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}
x\in f^{-1}\left( B_{1}\right) \backslash f^{-1}\left( B_{2}\right)
&\Leftrightarrow &x\in f^{-1}\left( B_{1}\right) \ \wedge \ x\not\in
f^{-1}\left( B_{2}\right) \quad \because \backslash \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left[ \exists b\in B_{1}:b=f\left( x\right) \right] \
\wedge \ \left[ \forall b\in B_{2}:b\not=f\left( x\right) \right] \quad
\because f^{-1}\left( B_{1}\right) ,f^{-1}\left( B_{2}\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists b\in B_{1}\backslash B_{2}:b=f\left( x\right)
\quad \because \backslash ,f\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in f^{-1}\left( B_{1}\backslash B_{2}\right) \quad
\because f^{-1}\left( B_{1}\backslash B_{2}\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f^{-1}\left( B_{1}\right) \backslash f^{-1}\left( B_{2}\right) =f^{-1}\left( B_{1}\backslash B_{2}\right) \)です。

命題(写像による差集合の逆像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、集合\(B_{1},B_{2}\subset Y\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
f^{-1}\left( B_{1}\backslash B_{2}\right) =f^{-1}\left( B_{1}\right)
\backslash f^{-1}\left( B_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(B_{1}=Y\)である場合には、任意の\(B\subset Y\)について、\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y\backslash B\right) =f^{-1}\left( Y\right) \backslash
f^{-1}\left( B\right)
\end{equation*}となる。
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次回は写像による像と逆像の関係について学びます。

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