差集合

差集合

集合演算子\(\backslash \)を差集合（difference）と呼び、集合\(A,B\)に\(\backslash \)を作用させることで得られる集合を\(A\)と\(B\)の差集合（difference of \(A\ \)and \(B\)）と呼び、これを\(A\backslash B\)と表記します。全体集合\(U\)と集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B\)の差集合とは、\(A\)に属するが\(B\)には属さない要素からなる集合\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\ \wedge \ x\not\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A\backslash B &\Leftrightarrow &\left( x\in A\ \wedge \ x\not\in
B\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A\cap B^{c}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\backslash B=A\cap B^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この事実は、差集合\(\backslash \)は補集合\(c\)と共通部分\(\cap \)から間接的に定義可能であることを意味します。したがって、補集合と共通部分さえ定義されていれば、差集合を新たな集合演算として定義する必要はありません。とは言え、差集合を独立した集合演算として定義しておくと何かと便利ですので、本稿ではこのまま\(\backslash \)を採用します。

差集合の内包的表現

集合\(A,B\)が命題関数を用いて、\begin{eqnarray}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \tag{1} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\} \tag{2}
\end{eqnarray}と内包的に定義されているものとします。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A\backslash B &\Leftrightarrow &\left( x\in A\ \wedge \ x\not\in
B\right) \quad \because \backslash \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \ \wedge \ \lnot Q\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\)と\(B\)の差集合を、\begin{equation}
A\backslash B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left(
x\right) \right\} \tag{3}
\end{equation}と表現することもできます。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、命題\(P\left( x\right) \)が真で命題\(Q\left( x\right) \)が偽になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\backslash B\)です。差集合\(\backslash \)という集合演算は、否定\(\lnot \)と論理積\(\wedge \)という論理演算から間接的に定義される概念です。

全体集合\(U\)は下図において長方形の領域として表されます。集合\(A\)は命題関数\(P\left( x\right) \)から\(\left( 1\right) \)のように、集合\(B\)は命題関数\(Q\left( x\right)\)から\(\left( 2\right) \)のようにそれぞれ内包的に定義されるとき、\(A\)は\(P\left( x\right)\)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致し、\(B\)は\(Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( Q\right) \)と一致します。差集合\(A\backslash B\)は下図ではグレーの領域として表されますが、これは論理式\(P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\wedge \lnot Q\right) \)である\(\left( 3\right) \)と一致します。

差集合による包含関係の定義

全体集合を\(U\)とします。集合\(A,B\)が\(A\subset B\)を満たす場合、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A\backslash B &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\not\in B\quad \because
\backslash \text{の定義} \\
&\Rightarrow &x\in A\wedge x\not\in A\quad \because A\subset B \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \bot \text{は恒偽式} \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(A\backslash B\subset \phi \)が成り立つことを意味します。また、空集合は任意の集合の部分集合であるため、\(\phi \subset A\backslash B\)もまた成り立ちます。したがって、\(A\backslash B=\phi \)となります。逆に、\(A\backslash B=\phi \)から\(A\subset B\)を導くこともできます（演習問題にします）。

この命題は、包含関係\(\subset \)という概念が、差集合\(\backslash \)という集合演算から間接的に定義可能であることを示唆します。つまり、\(\backslash \)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\subset B\ \Leftrightarrow \ A\backslash B=\phi
\end{equation*}を満たすものとして\(\subset \)を定義できるということです。

次回は対称差について学びます。