差集合

差集合

集合演算子\(\backslash \)を差集合（difference）と呼び、集合\(X,Y\)に\(\backslash \)を作用させることで得られる集合\(X\backslash Y\)を\(X\)と\(Y\)の差集合（difference of \(X\ \)and \(Y\)）と呼びます。

集合\(X=\{x\in U\ |\ P(x)\},\ Y=\{x\in U\ |\ Q(x)\}\)に対して、それらの差集合を、\begin{equation*}
X\backslash Y=\{x\in U\ |\ P(x)\ \wedge \ \lnot Q(x)\}
\end{equation*}と定義します。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)は真で命題\(Q\left( x\right) \)は偽になるような要素\(x\)からなる集合が\(X\backslash Y\)です。

それぞれの要素\(x\in U\)に対して、\begin{align*}
x\in X\backslash Y& \Leftrightarrow \ P(x)\ \wedge \ \lnot Q(x)\quad \because \ \backslash \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in X\ \wedge \ x\in Y^{c}\quad \therefore \ X,Y\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in X\cap Y^{c}\quad \because \ \cap \text{の定義}
\end{align*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
X\backslash Y=X\cap Y^{c}
\end{equation*}と表せます。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、\(X\)に属するが\(Y\)には属さない要素からなる集合が\(X\backslash Y\)です

またこの関係は、差集合\(\backslash \)が補集合\(c\)と共通部分\(\cap \)から間接的に定義される集合演算であることを示唆しています。したがって、\(c\)と\(\cap \)さえ定義されていれば\(\backslash \)を新たな集合演算として定義する必要はありません。

差集合のベン図

命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)の真理集合として\(X,Y\)がそれぞれ定義されるとき、\(X,Y\)はそれぞれ下図の丸い領域で表されます。差集合\(X\backslash Y\)は論理式\(P(x)\wedge \lnot Q(x)\)の真理集合\(\phi \left( P\wedge \lnot Q\right) \)に相当するため、下図のグレーの領域で表されます。

次回は対称差について学びます。