集合 X が命題関数 P(x) から、集合 Y が命題関数 Q(x) からそれぞれ定義されるとき、X と Y の差集合とは P(x) は真だが Q(x) は偽であるような要素 x からなる集合です。言い換えると、 X の要素だが Y の要素ではないような要素からなる集合が X と Y の差集合です。

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差集合

集合演算子\(\backslash \)を差集合(difference)と呼び、集合\(X,Y\)に\(\backslash \)を作用させることで得られる集合\(X\backslash Y\)を\(X\)と\(Y\)の差集合(difference of \(X\ \)and \(Y\))と呼びます。

集合\(X=\{x\in U\ |\ P(x)\},\ Y=\{x\in U\ |\ Q(x)\}\)に対して、それらの差集合を、\begin{equation*}
X\backslash Y=\{x\in U\ |\ P(x)\ \wedge \ \lnot Q(x)\}
\end{equation*}と定義します。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)は真で命題\(Q\left( x\right) \)は偽になるような要素\(x\)からなる集合が\(X\backslash Y\)です。

否定ついて復習する 論理積ついて復習する

それぞれの要素\(x\in U\)に対して、\begin{align*}
x\in X\backslash Y& \Leftrightarrow \ P(x)\ \wedge \ \lnot Q(x)\quad \because \ \backslash \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in X\ \wedge \ x\in Y^{c}\quad \therefore \ X,Y\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in X\cap Y^{c}\quad \because \ \cap \text{の定義}
\end{align*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
X\backslash Y=X\cap Y^{c}
\end{equation*}と表せます。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、\(X\)に属するが\(Y\)には属さない要素からなる集合が\(X\backslash Y\)です

またこの関係は、差集合\(\backslash \)が補集合\(c\)と共通部分\(\cap \)から間接的に定義される集合演算であることを示唆しています。したがって、\(c\)と\(\cap \)さえ定義されていれば\(\backslash \)を新たな集合演算として定義する必要はありません。

例(差集合)
集合\(X=\{1,2,4,6,a\}\)と集合\(Y=\{4,a,b,c,d,e\}\)について、\begin{eqnarray*}
X\backslash Y &=&\{1,2,6\} \\
Y\backslash X &=&\{b,c,d,e\}
\end{eqnarray*}です。
例(差集合)
集合\(X=\{1,2,3\}\)と集合\(Y=\{4,5,6\}\)について、\begin{eqnarray*}
X\backslash Y &=&\{1,2,3\}=X \\
Y\backslash X &=&\{4,5,6\}=Y
\end{eqnarray*}です。
例(差集合)
集合\(X,Y\)が、\begin{align*}
X& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\right\} \\
Y& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 4\leq x\leq 15\right\}
\end{align*}としてそれぞれ与えられているとき、それらの差集合は、\begin{eqnarray*}
X\backslash Y &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10 \} \wedge \lnot \{ \left( 4\leq x\leq 15\right) \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10 \} \wedge \{ \left( x<4\vee x>15 \right) \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<4 \}
\end{eqnarray*}です。

 

差集合のベン図

命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)の真理集合として\(X,Y\)がそれぞれ定義されるとき、\(X,Y\)はそれぞれ下図の丸い領域で表されます。差集合\(X\backslash Y\)は論理式\(P(x)\wedge \lnot Q(x)\)の真理集合\(\phi \left( P\wedge \lnot Q\right) \)に相当するため、下図のグレーの領域で表されます。

差集合

表:差集合

次回は対称差について学びます。

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