差集合

差集合

集合演算子\(\backslash \)を差集合（difference）と呼び、集合\(A,B\)に\(\backslash \)を作用させることで得られる集合を\(A\)と\(B\)の差集合（difference of \(A\ \)and \(B\)）と呼び、これを\(A\backslash B\)と表記します。全体集合\(U\)と集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B\)の差集合とは、\(A\)に属するが\(B\)には属さない要素からなる集合\begin{equation*}A\backslash B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\wedge x\not\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A\backslash B &\Leftrightarrow &\left( x\in A\wedge x\not\in B\right)
\quad \because \text{差集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\cap B^{c}\quad \because \text{補集合および共通部分の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\backslash B=A\cap B^{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。この事実は、差集合\(\backslash \)という集合演算は補集合\(c\)と共通部分\(\cap \)から間接的に定義可能であることを意味します。したがって、補集合と共通部分さえ定義されていれば差集合を新たな集合演算として定義する必要はありません。とは言え、差集合を独立した集合演算として定義しておくと便利ですので引き続き\(\backslash \)を利用します。

差集合の内包的表現

全体集合が\(U\)であるものとします。議論の対象である2つの集合\(A,B\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)を導入した上で、\(U\)の中でも命題\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)が真になるような要素\(x\)からなる集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}をそれぞれ考えることを意味します。では、これらの集合\(A,B\)の差集合\(A\backslash B\)はどのような形で内包的に表現できるのでしょうか。任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A\backslash B &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\not\in B\quad \because
\text{差集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \quad
\because A,B\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}となります。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left(x\right) \)が真で命題\(Q\left( x\right) \)が偽になるような要素\(x\in U\)からなる集合が\(A\backslash B\)です。差集合\(\backslash \)という集合演算は否定\(\lnot \)と論理積\(\wedge \)から間接的に定義可能であるということです。

同じことを視覚的に確認します。全体集合\(U\)が上図の長方形の領域として描かれているものとします。集合\(A\)が命題関数\(P\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(A\)は命題\(P\left( x\right) \)が真になるような値\(x\in U\)からなる集合、すなわち\(P\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致します。同様に、集合\(B\)が命題関数\(Q\left( x\right) \)から内包的に定義されているとき、\(B\)は\(Q\left(x\right) \)の真理集合\(\phi \left( Q\right) \)と一致します。一方、差集合\(A\backslash B\)は論理式\(P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\wedge \lnot Q\right) \)と一致し、これは上図においてグレーの領域として描かれています。

差集合による包含関係の定義

全体集合を\(U\)とします。\(A\subset B\)を満たす集合\(A,B\)を任意に選びます。これは、\begin{equation}B^{c}\subset A^{c} \quad \cdots (1)
\end{equation}と必要十分です。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A\backslash B &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\not\in B\quad \because
\text{差集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in B^{c}\quad \because \text{補集合の定義} \\
&\Rightarrow &x\in A\wedge x\in A^{c}\quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{矛盾律} \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi \quad \because x\in \phi \text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(A\backslash B\subset \phi \)が成り立つことを意味します。また、空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset A\backslash B\)もまた成り立ちます。したがって、\(A\backslash B=\phi \)であることが示されました。結論を整理すると、任意の集合\(A,B\)について、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A\backslash B=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。逆に、\begin{equation*}
A\backslash B=\phi \Rightarrow A\subset B
\end{equation*}を示すこともできます（演習問題にします）。したがって以下の命題を得ます。

上の命題は、包含関係\(\subset \)という概念が差集合\(\backslash \)という集合演算から間接的に定義可能であることを示唆します。つまり、\(\backslash \)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\subset B\Leftrightarrow A\backslash B=\phi
\end{equation*}を満たすものとして\(\subset \)を定義できるということです。

演習問題

次回は対称差について学びます。