集合 A に属するが集合 B には属さない要素からなる集合を A と B の差集合と呼び、これを A\B と表記します。A が命題関数 P(x) から、集合 B が命題関数 Q(x) からそれぞれ内包的に定義されるとき、A と B の差集合は P(x) が真で Q(x) が偽であるような要素 x からなる集合です。
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差集合

集合演算子\(\backslash \)を差集合(difference)と呼び、集合\(A,B\)に\(\backslash \)を作用させることで得られる集合を\(A\)と\(B\)の差集合(difference of \(A\ \)and \(B\))と呼び、これを\(A\backslash B\)と表記します。全体集合\(U\)と集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)と\(B\)の差集合とは、\(A\)に属するが\(B\)には属さない要素からなる集合\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\ \wedge \ x\not\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A\backslash B &\Leftrightarrow &\left( x\in A\ \wedge \ x\not\in
B\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A\cap B^{c}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\backslash B=A\cap B^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この事実は、差集合\(\backslash \)は補集合\(c\)と共通部分\(\cap \)から間接的に定義可能であることを意味します。したがって、補集合と共通部分さえ定義されていれば、差集合を新たな集合演算として定義する必要はありません。とは言え、差集合を独立した集合演算として定義しておくと何かと便利ですので、本稿ではこのまま\(\backslash \)を採用します。

例(差集合)
集合\(A=\{1,2,4,6,a\}\)と集合\(B=\{4,a,b,c,d,e\}\)について、\(A\backslash B=\left\{ 1,2,6\right\}\)かつ\(B\backslash A=\left\{ b,c,d,e\right\} \)です。
例(差集合)
集合\(A=\{1,2,3\}\)と集合\(B=\{4,5,6\}\)について、\(A\backslash B=B\backslash A=\phi \)です。
例(差集合)
集合\(A=\left[ 0,2\right] \)と集合\(B=\left[ 1,3\right] \)について、\(A\backslash B=[0,2)\)かつ\(B\backslash A=(2,3]\)です。

 

差集合の内包的表現

集合\(A,B\)が命題関数を用いて、\begin{eqnarray}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \tag{1} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\} \tag{2}
\end{eqnarray}と内包的に定義されているものとします。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A\backslash B &\Leftrightarrow &\left( x\in A\ \wedge \ x\not\in
B\right) \quad \because \backslash \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \ \wedge \ \lnot Q\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\)と\(B\)の差集合を、\begin{equation}
A\backslash B=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left(
x\right) \right\} \tag{3}
\end{equation}と表現することもできます。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、命題\(P\left( x\right) \)が真で命題\(Q\left( x\right) \)が偽になるような要素\(x\)からなる集合が\(A\backslash B\)です。差集合\(\backslash \)という集合演算は、否定\(\lnot \)と論理積\(\wedge \)という論理演算から間接的に定義される概念です。

全体集合\(U\)は下図において長方形の領域として表されます。集合\(A\)は命題関数\(P\left( x\right) \)から\(\left( 1\right) \)のように、集合\(B\)は命題関数\(Q\left( x\right)\)から\(\left( 2\right) \)のようにそれぞれ内包的に定義されるとき、\(A\)は\(P\left( x\right)\)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致し、\(B\)は\(Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( Q\right) \)と一致します。差集合\(A\backslash B\)は下図ではグレーの領域として表されますが、これは論理式\(P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\wedge \lnot Q\right) \)である\(\left( 3\right) \)と一致します。

図:差集合
図:差集合
例(差集合)
集合\(A,B\)が、\begin{align*}
A& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10\right\} \\
B& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 4\leq x\leq 15\right\}
\end{align*}としてそれぞれ与えられているとき、それらの差集合は、\begin{eqnarray*}
A\backslash B &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10 \wedge \lnot \left( 4\leq x\leq 15\right) \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<10 \wedge \left( x<4\vee 15<x\right) \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<4\}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
B\backslash A &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 4\leq x\leq 15 \wedge \lnot \left( 1<x<10\right) \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 4\leq x\leq 15 \wedge \left( x\leq 1\vee 10\leq
x\right) \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ 10\leq x\leq 15\}
\end{eqnarray*}です。
例(差集合)
集合\(A\)と空集合\(\phi \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
\phi &=&\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{eqnarray*}と内包的に定義されているものとします。ただし、\(\bot \)は恒偽式です。このとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A\backslash \phi &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\not\in \phi \quad
\because \backslash \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \lnot \bot \quad \because A,\phi
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \top \quad \because \top \text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A
\end{eqnarray*}となるため、\(A\backslash \phi =A\)が成り立ちます。同様にして、\(\phi \backslash A=\phi \)であることが示されます。
例(差集合)
集合\(A\)と全体集合\(U\)、そして空集合\(\phi \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \\
U &=&\left\{ x\in U\ |\ \top \right\} \\
\phi &=&\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{eqnarray*}と内包的に定義されているものとします。ただし、\(\top \)は恒真式であり\(\bot \)は恒偽式です。このとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A\backslash U &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\not\in U\quad \because
\backslash \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \lnot \top \quad \because A,U\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \bot \\
&\Leftrightarrow &\bot \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi \quad \because \phi \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(A\backslash U=\phi \)が成り立ちます。同様にして、\(U\backslash A=A^{c}\)であることが示されます。

 

差集合による包含関係の定義

全体集合を\(U\)とします。集合\(A,B\)が\(A\subset B\)を満たす場合、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A\backslash B &\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\not\in B\quad \because
\backslash \text{の定義} \\
&\Rightarrow &x\in A\wedge x\not\in A\quad \because A\subset B \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \bot \text{は恒偽式} \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(A\backslash B\subset \phi \)が成り立つことを意味します。また、空集合は任意の集合の部分集合であるため、\(\phi \subset A\backslash B\)もまた成り立ちます。したがって、\(A\backslash B=\phi \)となります。逆に、\(A\backslash B=\phi \)から\(A\subset B\)を導くこともできます(演習問題にします)。

命題(差集合による包含関係の定義)
集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\(A\backslash B=\phi \)が成り立つことは、\(A\subset B\)が成り立つための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

この命題は、包含関係\(\subset \)という概念が、差集合\(\backslash \)という集合演算から間接的に定義可能であることを示唆します。つまり、\(\backslash \)が与えられたとき、任意の集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\subset B\ \Leftrightarrow \ A\backslash B=\phi
\end{equation*}を満たすものとして\(\subset \)を定義できるということです。

例(差集合と包含関係)
全体集合\(U\)はある小学校の全校生徒からなる集合であるものとします。小学校の学年は、低学年(1〜2年生)・中学年(3〜4年生)・高学年(5〜6年生)に分類されます。集合\(A,B\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は1年生}\right\} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は低学年}\right\}
\end{eqnarray*}とおくと、\(A\subset B\)が成り立ちます。このとき、\begin{equation*}
A\backslash B=\left\{ x\in U\ |\ x\text{は1年生だが低学年ではない}\right\}
\end{equation*}となりますが、明らかに\(A\backslash B=\phi \)です。この結果は上の命題と整合的です。

次回は対称差について学びます。

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