空集合

空集合

集合論では、要素を 1 つも持たないものも集合として考えると便利です。要素を 1 つも持たない集合を空集合（empty set）と呼び、これを\(\phi \)で表します。

空集合\(\phi \)は要素を 1 つも持たない集合ですから、全体集合\(U\)の任意の要素は\(\phi \)の要素ではありません。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in U:x\not\in \phi
\end{equation*}という全称命題が成り立ちます。

空集合を外延的表記で表すと\(\{\ \}\)になります。\(\{\phi \}\)ではありません。なぜなら、\(\left\{ \phi \right\} \)は空集合\(\phi \)という集合を要素として持つ集合であり、空集合ではないからです。

空集合の内包的表現

全体集合が\(U\)であるとします。このとき、議論の対象である集合\(A\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left( x\right) \)を導入した上で、\(U\)の要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)が真になるようなものからなる集合\begin{equation}
A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \tag{1}
\end{equation}を考えることを意味します。

では、空集合\(\phi \)はどのような形で内包的に表現できるでしょうか。\(\phi \)もまた上の集合\(A\)と同様に何らかの命題関数\(Q\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}
\phi =\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という形で表現されるものとします。このとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
x\in \phi \ \Leftrightarrow \ Q\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(x\in \phi \)は明らかに偽であるため、それと同値である\(Q\left( x\right) \)もまた偽です。これは任意の\(x\in U\)について成り立ちますが、これは\(Q\left( x\right) \)が恒偽式であることを意味します。以上を踏まえると、空集合\(\phi \)は恒偽式\(\bot \)を用いて、\begin{equation}
\phi =\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\} \tag{2}
\end{equation}という形で表現できます。

ちなみに、議論の対象である集合\(A\)が\(\left( 1\right) \)として、空集合\(\phi \)が\(\left( 2\right) \)としてそれぞれ内包的に表現されているとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
x\in \phi &\Leftrightarrow &\bot \quad \because \phi \text{の定義} \\
&\Rightarrow &P\left( x\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because A\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりため、\(\phi \subset A\)となります。つまり、空集合は議論の対象となる任意の集合の部分集合です。

次回はラッセルのパラドクスについて学びます。