空集合

これまで扱ってきた集合はいずれも少なくとも1つ以上の要素を持っていました。しかし、条件によっては、その条件を満たす対象が1つも存在しないことがあります。このような場合にも、「条件を満たす対象全体からなる集合」という考え方を統一的に維持するため、要素を1つも持たない集合を導入します。この集合を空集合と呼びます。

集合論では、要素を1つも持たないものも集合とみなします。要素を1つも持たない集合を空集合（empty set）と呼び、これを、\begin{equation*}
\phi
\end{equation*}で表記します。

空集合\(\phi \)は要素を1つも持たない集合であるため、全体集合\(U\)の任意の要素は\(\phi \)の要素ではありません。つまり、以下の全称命題\begin{equation*}\forall x\in U:x\not\in \phi
\end{equation*}が成り立ちます。

空集合を外延的表記で表すと、\begin{equation*}
\{\ \}
\end{equation*}となります。\(\{\phi \}\)ではありません。なぜなら、\(\left\{ \phi \right\} \)は空集合\(\phi \)という集合を要素として持つ集合であり、空集合ではないからです。

空集合の内包的表現

全体集合が\(U\)である状況を想定します。何らかの集合\(A\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left(x\right) \)を導入した上で、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)が真になるようなものからなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\}
\end{equation*}として\(A\)を定義することを意味します。つまり、集合\(A\)を命題関数\(P\left( x\right) \)を用いて内包的に表現する場合、全体集合\(U\)は変数\(x\)の定義域と一致します。

では、空集合\(\phi \)はどのような形で内包的に表現できるでしょうか。空集合\(\phi \)もまた何らかの命題関数\(Q\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}\phi =\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という形で表現されるものとします。このとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}x\in \phi \Leftrightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。空集合は要素を持たない集合であるため\(x\in \phi \)は恒偽式であり、したがってそれと必要十分な命題関数\(Q\left( x\right) \)もまた恒偽式です。以上を踏まえると、空集合\(\phi \)を定義する命題関数\(Q\left( x\right) \)は恒偽式\(\bot \)であり、したがって、空集合を、\begin{equation*}\phi =\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{equation*}という形で表現できます。つまり、空集合とは「条件を満たすものが存在しない」という状況を集合として表現する手段です。

集合\(A\)を任意に選びます。加えて、この集合\(A\)は命題関数\(P\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation}A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と内包的に定義されているものとします。先の議論より、空集合\(\phi \)を内包的に表現すると、\begin{equation}\phi =\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。このとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}x\in \phi &\Leftrightarrow &\bot \quad \because \left( 2\right) \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \bot \quad \because \text{恒等律} \\
&\Rightarrow &P\left( x\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\phi \subset A
\end{equation*}を得ます。以上により、空集合\(\phi \)は任意の集合の部分集合であることが明らかになりました。

空集合であることは全体集合に依存する

空集合とは、全体集合の中で条件を満たす要素が一つも存在しない集合です。そのため、同じ条件を用いて集合を定義したとしても、全体集合が変われば、その集合が空集合になる場合とならない場合があります。以下の例より明らかです。

以上の例が示唆するように、以下のように定義される集合\begin{equation*}
\left\{ x\in X\ |\ P\left( x\right) \right\}
\end{equation*}は、命題関数\(P\left( x\right) \)だけでなく、全体集合\(U\)にも依存します。空集合であるかを判定する際には条件\(P\left( x\right) \)だけを見るのではなく、変数\(x\)の定義域\(X\)にも注意する必要があります。

演習問題