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空集合

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空集合

集合論では、要素を 1 つも持たないものも集合として考えると便利です。要素を 1 つも持たない集合を空集合(empty set)と呼び、これを\(\phi \)で表します。

空集合\(\phi \)は要素を 1 つも持たない集合ですから、全体集合\(U\)の任意の要素は\(\phi \)の要素ではありません。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in U:x\not\in \phi
\end{equation*}という全称命題が成り立ちます。

空集合を外延的表記で表すと\(\{\ \}\)になります。\(\{\phi \}\)ではありません。なぜなら、\(\left\{ \phi \right\} \)は空集合\(\phi \)という集合を要素として持つ集合であり、空集合ではないからです。

例(空集合)
奇数であると同時に偶数でもあるような整数からなる集合は空集合です。なぜなら、それぞれの整数は奇数か偶数のどちらか一方だからです。
例(空集合)
すべての月は 31 日以下です。したがって、32 日ある月からなる集合は空集合です。
例(空集合)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)が全体集合である場合には、無理数からなる集合は\(\sqrt{2},\pi ,e\)などの実数を要素として持ちます。一方、すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z}\)が全体集合である場合には、無理数からなる集合は空集合です。なぜなら、整数かつ無理数であるような数は存在しないからです。

 

空集合の内包的表現

全体集合が\(U\)であるとします。このとき、議論の対象である集合\(A\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left( x\right) \)を導入した上で、\(U\)の要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)が真になるようなものからなる集合\begin{equation}
A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \quad\cdots (1)
\end{equation}を考えることを意味します。

では、空集合\(\phi \)はどのような形で内包的に表現できるでしょうか。\(\phi \)もまた上の集合\(A\)と同様に何らかの命題関数\(Q\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}
\phi =\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という形で表現されるものとします。このとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
x\in \phi \ \Leftrightarrow \ Q\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(x\in \phi \)は明らかに偽であるため、それと同値である\(Q\left( x\right) \)もまた偽です。これは任意の\(x\in U\)について成り立ちますが、これは\(Q\left( x\right) \)が恒偽式であることを意味します。以上を踏まえると、空集合\(\phi \)は恒偽式\(\bot \)を用いて、\begin{equation}
\phi =\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\} \quad\cdots (2)
\end{equation}という形で表現できます。

ちなみに、議論の対象である集合\(A\)が\(\left( 1\right) \)として、空集合\(\phi \)が\(\left( 2\right) \)としてそれぞれ内包的に表現されているとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
x\in \phi &\Leftrightarrow &\bot \quad \because \phi \text{の定義} \\
&\Rightarrow &P\left( x\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because A\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりため、\(\phi \subset A\)となります。つまり、空集合は議論の対象となる任意の集合の部分集合です。

例(空集合)
全体集合が\(U\)であるとき、集合\(A\)を、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in U\ |\ x\not=x\right\}
\end{equation*}と定義します。命題関数\(x\not=x\)は恒偽式であるため、この集合\(A\)は空集合です。つまり、\(A=\phi \)が成り立ちます。

 

演習問題

問題(空集合)
以下の集合の中に空集合はありますか?理由とともに答えてください。\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x^{2}=9\wedge 2x=4\right\} \\
B &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x+1=1\right\} \\
C &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\not=x\right\}
\end{eqnarray*}ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合です。
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問題(空集合)
集合\(\phi ,\{\phi \},\{0\}\)の中に等しいものはありますか?理由とともに述べてください。
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問題(空集合)
空集合\(\phi \)に関する以下の主張について、それが成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。

  1. 空集合\(\phi \)は任意の集合の部分集合である。
  2. 空集合\(\phi \)の部分集合であるような集合は存在しない。
  3. 空集合\(\phi \)の部分集合は\(\phi \)だけである。
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次回はラッセルのパラドクスについて学びます。

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