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空集合

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空集合

集合論では、要素を1つも持たないものも集合とみなします。要素を1つも持たない集合を空集合(empty set)と呼び、これを、\begin{equation*}
\phi
\end{equation*}で表記します。

空集合\(\phi \)は要素を1つも持たない集合であるため、全体集合\(U\)の任意の要素は\(\phi \)の要素ではありません。つまり、以下の全称命題\begin{equation*}\forall x\in U:x\not\in \phi
\end{equation*}が成り立ちます。

空集合を外延的表記で表すと、\begin{equation*}
\{\ \}
\end{equation*}となります。\(\{\phi \}\)ではありません。なぜなら、\(\left\{ \phi \right\} \)は空集合\(\phi \)という集合を要素として持つ集合であり、空集合ではないからです。

例(空集合)
奇数であると同時に偶数でもあるような整数からなる集合は空集合です。なぜなら、それぞれの整数は必ず奇数または偶数のどちらか一方だからです。

例(空集合)
すべての月は31日以下です。したがって、32日ある月からなる集合は空集合です。

ある集合\(A\)が空集合であるかどうかは全体集合\(U\)のとり方に依存します。つまり、同じ集合\(A\)を対象としていても、全体集合\(U\)が変われば\(A\)が空集合になったり、空集合にならなかったりする状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。

例(空集合)
すべての無理数からなる集合を、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in U\ |\ x\text{は無理数}\right\}
\end{equation*}で表記します。全体集合\(U\)がすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)である場合、すなわち、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\text{は無理数}\right\}
\end{equation*}である場合、\(\sqrt{2},\pi ,e\)などは\(A\)の要素であるため\(A\)は空集合ではありません。一方、全体集合\(U\)がすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)である場合、すなわち、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は無理数}\right\}
\end{equation*}である場合、\(A\)は空集合です。なぜなら、無理数であるような整数は存在しないからです。

 

空集合の内包的表現

全体集合が\(U\)である状況を想定します。何らかの集合\(A\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left(x\right) \)を導入した上で、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)が真になるようなものからなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\}
\end{equation*}として\(A\)を定義することを意味します。つまり、集合\(A\)を命題関数\(P\left( x\right) \)を用いて内包的に表現する場合、全体集合\(U\)は変数\(x\)の定義域と一致します。

では、空集合\(\phi \)はどのような形で内包的に表現できるでしょうか。空集合\(\phi \)もまた何らかの命題関数\(Q\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}\phi =\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という形で表現されるものとします。このとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}x\in \phi \Leftrightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。空集合は要素を持たない集合であるため\(x\in \phi \)は恒偽式であり、したがってそれと必要十分な命題関数\(Q\left( x\right) \)もまた恒偽式です。以上を踏まえると、空集合\(\phi \)を定義する命題関数\(Q\left( x\right) \)は恒偽式\(\bot \)であり、したがって、空集合を、\begin{equation*}\phi =\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{equation*}という形で表現できます。

集合\(A\)を任意に選びます。加えて、この集合\(A\)は命題関数\(P\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation}A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と内包的に定義されているものとします。先の議論より、空集合\(\phi \)を内包的に表現すると、\begin{equation}\phi =\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。このとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}x\in \phi &\Leftrightarrow &\bot \quad \because \left( 2\right) \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \bot \quad \because \text{恒等律} \\
&\Rightarrow &P\left( x\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\phi \subset A
\end{equation*}を得ます。以上により、空集合\(\phi \)は任意の集合の部分集合であることが明らかになりました。

例(空集合)
全体集合が\(U\)であるとき、集合\(A\)を、\begin{equation*}A=\left\{ x\in U\ |\ x\not=x\right\}
\end{equation*}と定義します。命題関数\begin{equation*}
x\not=x
\end{equation*}は恒偽式であるため、この集合\(A\)は空集合です。つまり、\begin{equation*}A=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(空集合)
以下の集合の中に空集合は存在するでしょうか。理由とともに答えてください。\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x^{2}=9\wedge 2x=4\right\} \\
B &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x+1=1\right\} \\
C &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\not=x\right\}
\end{eqnarray*}ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合です。
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問題(空集合)
集合\(\phi ,\{\phi \},\{0\}\)の中に等しいものは存在するでしょうか。理由とともに述べてください。
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問題(空集合)
空集合\(\phi \)に関する以下の主張について、それが成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。

  1. 空集合\(\phi \)は任意の集合の部分集合である。
  2. 空集合\(\phi \)の部分集合であるような集合は存在しない。
  3. 空集合\(\phi \)の部分集合は\(\phi \)だけである。
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