空集合

すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)が全体集合である場合には、無理数からなる集合は\(\sqrt{2},\pi ,e\)などの実数を要素として持ちます。一方、すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z}\)が全体集合である場合には、無理数からなる集合は空集合です。なぜなら、整数かつ無理数であるような数は存在しないからです。

空集合の内包的表現

全体集合が\(U\)であるとします。このとき、議論の対象である集合\(A\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left( x\right) \)を導入した上で、\(U\)の要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)が真になるようなものからなる集合\begin{equation}
A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \tag{1}
\end{equation}を考えることを意味します。

では、空集合\(\phi \)はどのような形で内包的に表現できるでしょうか。\(\phi \)もまた上の集合\(A\)と同様に何らかの命題関数\(Q\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}
\phi =\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という形で表現されるものとします。このとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
x\in \phi \ \Leftrightarrow \ Q\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(x\in \phi \)は明らかに偽であるため、それと同値である\(Q\left( x\right) \)もまた偽です。これは任意の\(x\in U\)について成り立ちますが、これは\(Q\left( x\right) \)が恒偽式であることを意味します。以上を踏まえると、空集合\(\phi \)は恒偽式\(\bot \)を用いて、\begin{equation}
\phi =\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\} \tag{2}
\end{equation}という形で表現できます。

ちなみに、議論の対象である集合\(A\)が\(\left( 1\right) \)として、空集合\(\phi \)が\(\left( 2\right) \)としてそれぞれ内包的に表現されているとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
x\in \phi &\Leftrightarrow &\bot \quad \because \phi \text{の定義} \\
&\Rightarrow &P\left( x\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A\quad \because A\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりため、\(\phi \subset A\)となります。つまり、空集合は議論の対象となる任意の集合の部分集合です。

例（空集合）

全体集合が\(U\)であるとき、集合\(A\)を、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in U\ |\ x\not=x\right\}
\end{equation*}と定義します。命題関数\(x\not=x\)は恒偽式であるため、この集合\(A\)は空集合です。つまり、\(A=\phi \)が成り立ちます。

次回はラッセルのパラドクスについて学びます。

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