要素の族
無限個であるとともに\(1,2,3,\cdots \)と数えることができない要素が与えられたとき、それらの要素の個数は非可算（uncountable）であると言います。非可算個の要素の集まりをどのように表現すればよいでしょうか。
\end{equation*}と表現することは可能です。ただし、\(a_{n}\)は実数\(n\in \left[ 0,1\right] \)に対して割り当てる要素です。
上の例を参考に議論を一般化します。集合\(\Lambda \)のそれぞれの要素\(\lambda \in \Lambda \)に対して要素\(a_{\lambda }\)が1つずつ対応しているとき、すべての\(\lambda \)に対する要素\(a_{\lambda }\)からなる集まりを、\begin{equation*}\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記し、これを\(\Lambda \)によって添字付けられた要素の族（family of elements by \(\Lambda \)）と呼びます。また、\(\Lambda \)を添字集合（index set）と呼び、\(\Lambda \)のそれぞれの要素\(\lambda \in \Lambda \)を添字（index）と呼びます。さらに、添字\(\lambda \)に対して割り当てられた成分\(a_{\lambda} \)を\(\lambda \)の像（image）と呼びます。議論の対象である要素の族の添字集合\(\Lambda \)が文脈から明らかである場合には、\(\Lambda \)によって添字付けられた要素の族を、\begin{equation*}\left( a_{\lambda }\right)
\end{equation*}とシンプルに表記することもできます。
\end{equation*}と定義されているとき、この要素の族は、\begin{equation*}
\left( a_{n}\right) _{n\in \mathbb{R} }=\left( \frac{1}{n}\right) _{n\in \mathbb{R} }
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
\left( b_{n}\right) _{n\in \left[ 0,2\right] }=\left( a_{2n}\right) _{n\in \left[ 0,1\right] }
\end{equation*}となります。
}\right) _{\lambda \in \mathbb{N} }
\end{equation*}となりますが、これは要素の列です。つまり、要素の族は要素の列を一般化した概念です。また、添字集合が\(\Lambda =\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)であるとき、\begin{equation*}\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }=\left( a_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }
\end{equation*}となりますが、これは要素の\(n\)組です。つまり、要素の族は要素の\(n\)組を一般化した概念です。さらに、添字集合が\(\Lambda =\left\{ 1,2\right\} \)であるとき、\begin{equation*}\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }=\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{equation*}となりますが、これは順序対です。つまり、要素の族は順序対を一般化した概念です。
要素の族の固有性
添字集合\(\Lambda \)を共有する2つの要素の族\(\left( a_{\lambda}\right) _{\lambda \in \Lambda },\left( b_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)が等しい（equal）こととは、それらの対応する像どうしが等しいこととして定義されます。つまり、\begin{equation*}\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }=\left( b_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \Lambda }\Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda
:a_{\lambda }=b_{\lambda }
\end{equation*}を満たすものとして要素の族どうしの相等関係\(=\)を定義するということです。これを要素の族の固有性（characteristic property）と呼びます。このとき、\begin{equation*}\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\not=\left( b_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \Lambda }\Leftrightarrow \exists \lambda \in \Lambda
:a_{\lambda }\not=b_{\lambda }
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、2つの要素の族の対応する像の中に異なるものが存在するとき、それらは異なる要素の族とみなされます。
&&\left( b\right) \ b_{\lambda ^{\prime \prime }}=a_{\lambda ^{\prime }} \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda \in \Lambda \backslash \left\{ \lambda
^{\prime },\lambda ^{\prime \prime }\right\} :b_{\lambda }=a_{\lambda }
\end{eqnarray*}と定義します。つまり、\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)中の\(\lambda ^{\prime }\)の像と\(\lambda ^{\prime \prime}\)の像を入れ替えたものが\(\left( b_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)です。このとき、要素の族の固有性より、\begin{equation*}\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\not=\left( b_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \Lambda }\Leftrightarrow a_{\lambda ^{\prime
}}\not=a_{\lambda ^{\prime \prime }}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(a_{\lambda ^{\prime }}\)と\(a_{\lambda^{\prime \prime }}\)が異なる要素である場合には\(\left( a_{\lambda }\right)_{\lambda \in \Lambda }\)と\(\left( b_{\lambda }\right) _{\lambda \in\Lambda }\)を異なる要素の族として認識するということです。同時に、\begin{equation*}\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }=\left( b_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \Lambda }\Leftrightarrow a_{\lambda ^{\prime
}}=a_{\lambda ^{\prime \prime }}
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、\(a_{\lambda ^{\prime }}\)と\(a_{\lambda ^{\prime \prime }}\)が等しい要素である場合には\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in\Lambda }\)と\(\left( b_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)もまた等しくなります。
一般の集合族の直積
添字集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、その要素であるそれぞれの集合\(A_{\lambda }\)から要素\(a_{\lambda }\)を1つずつ選べば、そこから要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)を作ることができます。このような要素の族をすべて集めてできる集合を\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の直積（direct product）やカルテシアン積（Cartesian product）などと呼び、\begin{equation*}\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{ \left( a_{\lambda }\right)
_{\lambda \in \Lambda }\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :a_{\lambda }\in
A_{\lambda }\right\}
\end{equation*}です。
\end{equation*}となります。
\Lambda }A_{\lambda } &\Leftrightarrow &a_{\lambda ^{\prime }}\in \phi
\wedge \forall \lambda \in \Lambda \backslash \left\{ \lambda ^{\prime
}\right\} :a_{\lambda }\in A_{\lambda } \\
&\Leftrightarrow &\bot \wedge \forall \lambda \in \Lambda \backslash \left\{
\lambda ^{\prime }\right\} :a_{\lambda }\in A_{\lambda }\quad \because \text{空集合の定義（}\bot \text{は恒偽式）} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{恒等律} \\
&\Leftrightarrow &\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \phi
\quad \because \text{空集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合族の要素の中に空集合が存在する場合、その集合族の直積は空集合になります。
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