一般の集合族の直積

集合族を構成するそれぞれの集合の要素からなる添字集合によって添字付けられた成文の族をすべて集めてできる集合を集合族の直積と呼びます。
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要素の族

無限個であるとともに\(1,2,3,\cdots \)と数えることができない要素が与えられたとき、それらの要素の個数は非可算(uncountable)であると言います。可算個の要素の集まりをどのように表現すればよいでしょうか。

例(非可算個の要素)
\(0\)以上\(1\)以下の実数からなる区間\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)に属するそれぞれの実数\(n\in \left[ 0,1\right] \)に対して要素\(a_{n}\)を1つずつ割り当てる状況を想定します。後に濃度という概念について学ぶ際に詳しく解説しますが、区間\(\left[ 0,1\right] \)の中には無限個の実数が存在する一方、それらの実数を\(1,2,3,\cdots \)と順番に数え上げることはできないため、問題としているすべての要素に対して\(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots \)と順番に番号を振ることはできません。一方、\(n\)がとり得る値の範囲が\(\left[ 0,1\right] \)であることは分かっているため、問題としている非可算個の要素の集まりを、\begin{equation*}
\left( a_{n}\right) _{n\in \left[ 0,1\right] }
\end{equation*}と表現することは可能です。ただし、\(a_{n}\)は実数\(n\in \left[ 0,1\right] \)に対して割り当てる要素です。

上の例を参考に議論を一般化します。集合\(\Lambda \)のそれぞれの要素\(\lambda \in \Lambda \)に対して要素\(a_{\lambda }\)が1つずつ対応しているとき、すべての\(\lambda \)に対する要素\(a_{\lambda }\)からなる集まりを、\begin{equation*}
\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記し、これを\(\Lambda \)によって添字付けられた要素の族(family of elements by \(\Lambda \))と呼びます。また、\(\Lambda \)を添字集合(index set)と呼び、\(\Lambda \)のそれぞれの要素\(\lambda \in \Lambda \)を添字(index)と呼びます。さらに、添字\(\lambda \)に対して割り当てられた成分\(x_{\lambda }\)を\(\lambda \)の(image)と呼びます。議論の対象である要素の族の添字集合\(\Lambda \)が文脈から明らかである場合には、\(\Lambda \)によって添字付けられた要素の族を、\begin{equation*}
\left( a_{\lambda }\right)
\end{equation*}とシンプルに表記することもできます。

例(要素の族)
それぞれの実数\(n\in \mathbb{R} \)の像が、\begin{equation*}
a_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}と定義されているとき、この要素の族は、\begin{equation*}
\left( a_{n}\right) _{n\in \mathbb{R} }=\left( \frac{1}{n}\right) _{n\in \mathbb{R} }
\end{equation*}となります。
例(要素の族)
要素の族\(\left( a_{n}\right) _{n\in \left[ 0,1\right] }\)が与えられたとき、それに対して新たな要素の族\(\left( b_{n}\right) _{n\in \left[ 0,2\right] }\)を、任意の\(n\in \left[ 0,2\right] \)に対して、\begin{equation*}
b_{n}=a_{2n}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
\left( b_{n}\right) _{n\in \left[ 0,2\right] }=\left( a_{2n}\right) _{n\in \left[ 0,1\right] }
\end{equation*}となります。
例(要素の族)
要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合が\(\Lambda =\mathbb{N} \)を満たすとき、\begin{equation*}
\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }=\left( a_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \mathbb{N} }
\end{equation*}となりますが、これは要素の列です。つまり、要素の族は要素の列を一般化した概念です。また、添字集合が\(\Lambda =\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)を満たすとき、\begin{equation*}
\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }=\left( a_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }
\end{equation*}となりますが、これは要素の\(n\)組です。つまり、要素の族は要素の\(n\)組を一般化した概念です。さらに、添字集合が\(\Lambda =\left\{ 1,2\right\} \)を満たすとき、\begin{equation*}
\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }=\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{equation*}となりますが、これは順序対です。つまり、要素の族は順序対を一般化した概念です。

 

要素の族の固有性

添字集合\(\Lambda \)を共有する2つの要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda },\left( b_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)が等しい(equal)こととは、それらの対応する像どうしが等しいこととして定義されます。つまり、\begin{equation*}
\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }=\left( b_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \Lambda }\Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda
:a_{\lambda }=b_{\lambda }
\end{equation*}を満たすものとして要素の族どうしの相等関係\(=\)を定義するということです。これを要素の族の固有性(characteristic property)と呼びます。このとき、\begin{equation*}
\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\not=\left( b_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \Lambda }\Leftrightarrow \exists \lambda \in \Lambda
:a_{\lambda }\not=b_{\lambda }
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、2つの要素の族の対応する像の中に異なるものが存在するとき、それらは異なる要素の族とみなされます。

例(要素の族の固有性)
要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、添字集合に属する異なる2つの要素\(\lambda ^{\prime },\lambda ^{\prime \prime }\in \Lambda \)を任意に選んだ上で、新たな要素の族\(\left( b_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ b_{\lambda ^{\prime }}=a_{\lambda ^{\prime \prime }} \\
&&\left( b\right) \ b_{\lambda ^{\prime \prime }}=a_{\lambda ^{\prime }} \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda \in \Lambda \backslash \left\{ \lambda
^{\prime },\lambda ^{\prime \prime }\right\} :b_{\lambda }=a_{\lambda }
\end{eqnarray*}と定義します。つまり、\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)中の\(\lambda ^{\prime }\)の像と\(\lambda ^{\prime \prime }\)の像を入れ替えたものが\(\left( b_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)です。このとき、要素の族の固有性より、\begin{equation*}
\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\not=\left( b_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \Lambda }\Leftrightarrow a_{\lambda ^{\prime
}}\not=a_{\lambda ^{\prime \prime }}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(a_{\lambda ^{\prime }}\)と\(a_{\lambda ^{\prime \prime }}\)が異なる要素である場合には\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)と\(\left( b_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)を異なる要素の族として認識するということです。同時に、\begin{equation*}
\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }=\left( b_{\lambda
}\right) _{\lambda \in \Lambda }\Leftrightarrow a_{\lambda ^{\prime
}}=a_{\lambda ^{\prime \prime }}
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、\(a_{\lambda ^{\prime }}\)と\(a_{\lambda ^{\prime \prime }}\)が等しい要素である場合には\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)と\(\left( b_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)もまた等しくなります。

 

一般の集合族の直積

添字集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、その要素であるそれぞれの集合\(A_{\lambda }\)から要素\(a_{\lambda }\)を1つずつ選べば、そこから要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)を作ることができます。このような要素の族をすべて集めてできる集合を\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の直積(direct product)やカルテシアン積(Cartesian product)などと呼び、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{ \left( a_{\lambda }\right)
_{\lambda \in \Lambda }\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :a_{\lambda }\in
A_{\lambda }\right\}
\end{equation*}です。

例(一般の集合族の直積)
非可算集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \mathbb{R} }\)の要素であるそれぞれの集合が、それぞれの\(\lambda \)に対して、\begin{equation*}
A_{\lambda }=\left[ -\lambda ,+\lambda \right] \cap \mathbb{Z} \end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。つまり、\(A_{\lambda }\)は\(-\lambda \)以上\(\lambda \)以下のすべての整数からなる集合です。このとき、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \mathbb{R} }A_{\lambda }=\left\{ \left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \mathbb{R} }\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :a_{\lambda }\in \left[ -\lambda ,+\lambda \right] \cap \mathbb{Z} \right\}
\end{equation*}となります。
例(一般の集合族の直積)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda } \)の要素である集合\(A_{\lambda }\)の中に空集合が存在するものとします。ここでは\(\lambda ^{\prime }\in \Lambda \)について\(A_{\lambda ^{\prime }}=\phi \)であるものとします。このとき、任意の要素の族\(\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\)について、\begin{eqnarray*}
\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \prod_{\lambda \in
\Lambda }A_{\lambda } &\Leftrightarrow &a_{\lambda ^{\prime }}\in \phi
\wedge \forall \lambda \in \Lambda \backslash \left\{ \lambda ^{\prime
}\right\} :a_{\lambda }\in A_{\lambda } \\
&\Leftrightarrow &\bot \wedge \forall \lambda \in \Lambda \backslash \left\{
\lambda ^{\prime }\right\} :a_{\lambda }\in A_{\lambda }\quad \because \phi
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{恒偽式}\bot
\text{の性質} \\
&\Leftrightarrow &\left( a_{\lambda }\right) _{\lambda \in \Lambda }\in \phi
\quad \because \phi \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合族の要素の中に空集合が存在する場合、その集合族の直積は空集合になります。

次回は選択公理について学びます。
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