問題1（15点）
問題（集合の相等関係）
集合\(A,B\)に関する以下の命題\begin{equation*}\left( A^{c}\cap B\right) \cup \left( A^{c}\cap B^{c}\right) \cup \left(
A\cap B\right) =A^{c}\cup B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
A\cap B\right) =A^{c}\cup B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
問題2（15点）
問題（集合の相等関係）
集合\(A,B\)に関する以下の命題\begin{equation*}\left( \left( A\cap B^{c}\right) \cup \left( B\cap A^{c}\right) \right)
^{c}=\left( A^{c}\cap B^{c}\right) \cup \left( B\cap A\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
^{c}=\left( A^{c}\cap B^{c}\right) \cup \left( B\cap A\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
問題3（15点）
問題（集合の相等関係）
集合\(A,B\)に関する以下の命題\begin{equation*}A\cup B=A\cap B\Leftrightarrow A=B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
問題4（15点）
問題（一般の集合族に関するド・モルガンの法則）
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)
^{c}=\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。（各10点）
^{c}=\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }^{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。（各10点）
問題5（20点）
問題（集合族の要素の個数）
以下の集合\begin{equation*}
U=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(U\)のベキ集合を\(2^{U}\)で表記します。以下の集合族\begin{equation*}\left\{ A\in 2^{U}\ |\ 2\in A\vee 4\not\in A\right\}
\end{equation*}に含まれる要素の個数を特定してください。
U=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(U\)のベキ集合を\(2^{U}\)で表記します。以下の集合族\begin{equation*}\left\{ A\in 2^{U}\ |\ 2\in A\vee 4\not\in A\right\}
\end{equation*}に含まれる要素の個数を特定してください。
問題6（20点）
問題（集合族の共通部分と和集合）
以下の集合族\begin{equation*}
\mathfrak{A}=\left\{ \left( 0,\frac{1}{n}\right) \subset \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}の共通部分と和集合を求めてください。（各10点）
\mathfrak{A}=\left\{ \left( 0,\frac{1}{n}\right) \subset \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}の共通部分と和集合を求めてください。（各10点）
