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集合族の共通部分

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有限集合族の共通部分

復習になりますが、2つの集合\(A,B\)の共通部分\(A\cap B\)とは、\(A\)と\(B\)の双方に属する要素からなる集合\begin{equation*}A\cap B=\left\{ x\in U\ |\ x\in A\wedge x\in B\right\}
\end{equation*}として定義されます。ただし、\(U\)は全体集合です。以上の考えを一般化することにより、3個以上の集合の共通部分、すなわち、3個以上の集合を要素として持つ集合族の共通部分を考えることができます。

具体的には、有限\(n\)個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)を要素として持つ有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が与えられたとき、その共通部分を、\begin{equation*}\bigcap_{i=1}^{n}A_{i},\quad A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}
\end{equation*}などと表記しますが、これは、集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の要素であるすべての集合に属する要素からなる集合\begin{equation*}\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}=\left\{ x\in U\ |\ \forall i\in \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :x\in A_{i}\right\}
\end{equation*}として定義されます。定義より、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}x\in \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :x\in A_{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、要素\(x\)が集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の共通部分の要素であることと、\(x\)が集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)に属するすべての集合\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)の要素であることは必要十分です。

例(有限集合族の共通部分)
集合\(A_{1},A_{2},A_{3}\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ 0,2,5\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2,5\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ 2,5,7\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、集合族\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)の共通部分は、\begin{eqnarray*}\bigcap_{i=1}^{3}A_{i} &=&A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3} \\
&=&\left\{ 2,5\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例(有限集合族の共通部分)
ある高校の全校生徒からなる集合を\(A\)で表し、その中でも\(i\ \left(=1,2,3\right) \)年生からなる集合を\(A_{i}\)で表します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{3}\)の共通部分は、\begin{eqnarray*}\bigcap\limits_{i=1}^{3}A_{i} &=&\left\{ x\in A\ |\ \forall i\in \left\{
1,2,3\right\} :x\in A_{i}\right\} \\
&=&\left\{ x\in A\ |\ x\text{は}1\text{年生かつ}2\text{年生かつ}3\text{年生}\right\} \\
&=&\phi \quad \because A_{1},A_{2},A_{3}\text{は互いに素}
\end{eqnarray*}となります。

例(有限集合族の共通部分)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)に対して以下の集合\begin{equation*}A_{i}=\left\{ 1,2,\cdots ,i\right\}
\end{equation*}を定義し、さらにこれを要素として持つ有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)について考えます。例えば、\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ 1\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。この集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の共通部分は、\begin{eqnarray*}\bigcap_{i=1}^{n}A_{i} &=&\left\{ x\in U\ |\ \forall i\in \left\{ 1,2,\cdots
,n\right\} :x\in A_{i}\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。

 

可算集合族の共通部分

可算集合族とは無限個の集合を要素として持つとともに、それらの集合を\(1,2,3,\cdots \)と数えていくことが可能であるような集合族です。可算集合族の要素であるそれぞれの集合には\(A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \)と順番に番号を振ることができるため、可算集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}},\quad \left\{ A_{n}\right\} _{i=1}^{\infty },\quad \left\{
A_{1},A_{2},A_{3},\cdots \right\}
\end{equation*}などと表記できます。

可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)が与えられたとき、その共通部分を、\begin{equation*}\bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n},\quad \bigcap_{n=1}^{\infty }A_{n}
\end{equation*}などと表記しますが、これは、集合族\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)の要素であるすべての集合に属する要素からなる集合\begin{equation*}\bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n}=\left\{ x\in U\ |\ \forall n\in \mathbb{N} :x\in A_{n}\right\}
\end{equation*}として定義されます。定義より、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}x\in \bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\Leftrightarrow \forall n\in \mathbb{N} :x\in A_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、要素\(x\)が集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)の共通部分の要素であることと、\(x\)が集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }^{{}}\)に属するすべての集合\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n},\cdots \)の要素であることは必要十分です。

例(可算集合族の共通部分)
それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して以下の集合\begin{equation*}A_{n}=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}を定義し、さらにこれを要素として持つ可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)について考えます。例えば、\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ 1\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。この集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の共通部分は、\begin{eqnarray*}\bigcap_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\left\{ x\in U\ |\ \forall n\in \mathbb{N} :x\in A_{n}\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。

 

集合に添字付けられた集合族の共通部分

添字集合\(\Lambda \)のそれぞれの要素\(\lambda \in \Lambda \)に対して集合\(A_{\lambda }\)が1つずつ対応している場合、すべての\(\lambda \)に関する集合\(A_{\lambda }\)を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を定義することができ、これを\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族と呼びます。

集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、その共通部分を、\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}で表記しますが、これは、集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるすべての集合に属する要素からなる集合\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{ x\in U\ |\ \forall
\lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\right\}
\end{equation*}として定義されます。定義より、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}x\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\Leftrightarrow \forall
\lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、要素\(x\)が集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分の要素であることと、\(x\)が集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)に属するすべての集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)の要素であることは必要十分です。

例(集合族の共通部分)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合が、\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}である場合、この集合族は、\begin{equation*}
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
A_{1},A_{2}\right\}
\end{equation*}という有限集合族であり、その共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=A_{1}\cap A_{2}
\end{equation*}となります。つまり、集合に添字付けられた集合族の共通部分は2つの集合の共通部分の一般化です。

例(集合族の共通部分)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合が、\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}である場合、この集合族は、\begin{equation*}
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda =1}^{n}=\left\{ A_{1},A_{2},\cdots
,A_{n}\right\}
\end{equation*}という有限集合族であり、その共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\bigcap_{\lambda
=1}^{n}A_{\lambda }
\end{equation*}となります。つまり、集合に添字付けられた集合族の共通部分は有限集合族の共通部分の一般化です。

例(集合族の共通部分)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合が、\begin{equation*}\Lambda =\mathbb{N} \end{equation*}である場合、この集合族は、\begin{equation*}
\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \mathbb{N} }=\left\{ A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n},\cdots \right\}
\end{equation*}という可算集合族であり、その共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\bigcap_{\lambda \in \mathbb{N} }A_{\lambda }
\end{equation*}となります。つまり、集合に添字付けられた集合族の共通部分は可算集合族の共通部分の一般化です。

例(集合族の共通部分)
それぞれの\(n\in \left[ 0,1\right] \)に対して以下の集合\begin{equation}A_{n}=\left[ n-1,n+1\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義し、さらにこれを要素として持つ集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \left[ 0,1\right] }\)について考えます。この集合族の共通部分は、\begin{eqnarray*}\bigcap\limits_{n\in \left[ 0,1\right] }A_{n} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \forall n\in \left[ 0,1\right] :x\in A_{n}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \forall n\in \left[ 0,1\right] :n-1\leq x\leq n+1\right\} \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となります。

 

一般の集合族の共通部分

集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合にも、\(\mathfrak{A}\)の共通部分をとることができ、それを、\begin{equation*}\bigcap \mathfrak{A}
\end{equation*}で表記します。具体的には、集合族\(\mathfrak{A}\)の共通部分とは\(\mathfrak{A}\)の要素であるすべての集合に含まれる要素からなる集合であるため、\begin{eqnarray*}\bigcap \mathfrak{A} &\mathfrak{=}&\bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A \\
&=&\left\{ x\in U\ |\ \forall A\in \mathfrak{A}:x\in A\right\}
\end{eqnarray*}となります。定義より、定義より、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}x\in \bigcap \mathfrak{A}\Leftrightarrow \forall A\in \mathfrak{A}:x\in A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、要素\(x\)が集合族\(\mathfrak{A}\)の共通部分の要素であることと、\(x\)が集合族\(\mathfrak{A}\)に属するすべての集合\(A\in \mathfrak{A}\)の要素であることは必要十分です。

例(集合族の共通部分)
集合\(A\)のベキ集合\(2^{A}\)は集合族であるため、その共通部分をとることができます。具体的には、\begin{eqnarray*}\bigcap 2^{A} &=&\bigcap_{B\in 2^{A}}B \\
&=&\left\{ x\ |\ \forall B\in 2^{A}:x\in B\right\}
\end{eqnarray*}となります。\(\phi \subset A\)すなわち\(\phi \in 2^{A}\)が成り立ちますが、空集合の定義より\(x\in \phi \)を満たす要素\(x\in A\)は存在しません。したがって、\begin{equation*}\bigcap_{B\in 2^{A}}B=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の集合のベキ集合の共通部分は空集合です。

 

包含関係による集合族の共通部分の定義

復習になりますが、包含関係と共通部分の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(包含関係による共通部分の定義)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B\subset A \\
&&\left( b\right) \ A\cap B\subset B \\
&&\left( c\right) \ (C\subset A)\wedge (C\subset B)\Rightarrow C\subset
A\cap B
\end{eqnarray*}が成り立つ。

集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、それらの共通部分\(A\cap B\)は\(A\)と\(B\)の両方の部分集合になります。さらに、\(A\)と\(B\)の双方の部分集合であるような集合\(C\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、これはかならず\(A\cap B\)の部分集合になります。したがって、上の命題は、共通部分\(A\cap B\)は\(A\)と\(B\)の両方に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合であることを示唆します。この事実は、共通部分という集合演算が包含関係から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合\(A,B\)について、「\(A\)と\(B\)双方の部分集合であるような集合の中でも最大の集合」として\(A\cap B\)を定義できるということです。

集合族の共通部分においても同様の命題が成り立ちます。

命題(包含関係による共通部分の定義)
任意の集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda
:\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\subset A_{\lambda
^{\prime }} \\
&&\left( b\right) \ \left( \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :Y\subset
A_{\lambda ^{\prime }}\right) \Rightarrow Y\subset \bigcap\limits_{\lambda
\in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、\(\left(a\right) \)より、その共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)は集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素\(A_{\lambda }\)の部分集合になります。さらに、集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるすべての集合の部分集合であるような集合\(Y\)を任意に選ぶと、\(\left( b\right) \)より、\(Y\)は必ず集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda }\)の部分集合になります。したがって、上の命題は、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分は、その集合族の要素であるすべての集合に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合であることを示唆します。この事実は、集合族の共通部分という集合演算が包含関係から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について、「すべての集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)に部分集合として含まれる最大の集合」として共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)を定義できるということです。

例(包含関係による共通部分の定義)
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合、その共通部分は、\begin{equation*}\bigcap \mathfrak{A}\mathfrak{=}\bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A
\end{equation*}と定義されます。以上を踏まえた上で先の命題の主張を言い換えると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall A^{\prime }\in \mathfrak{A}:\bigcap \mathfrak{A}\subset A^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \left( \forall A^{\prime }\in \mathfrak{A}:B\subset
A^{\prime }\right) \Rightarrow B\subset \bigcap \mathfrak{A}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は、集合族\(\mathfrak{A}\)の共通部分が\(\mathfrak{A}\)の任意の要素の部分集合であるという主張です。\(\left( b\right) \)は、集合族\(\mathfrak{A}\)の要素であるすべての集合の部分集合であるような集合\(B\)を任意に選ぶと、それは必ず\(\mathfrak{A}\)の共通部分の部分集合になるという主張です。

 

演習問題

問題(集合族の共通部分)
集合\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left\{ a,b,d,e,g,f\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ a,b,c,d\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ b,d,a\right\} \\
A_{4} &=&\left\{ a,b,h\right\}
\end{eqnarray*}と定義します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{4}\)の共通部分を求めてください。
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問題(集合族の共通部分)
それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して以下の集合\begin{equation*}A_{n}=\left\{ -n,0,n\right\}
\end{equation*}を定義します。可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の共通部分を求めてください。
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問題(集合族の共通部分)
それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して以下の集合\begin{eqnarray*}A_{n} &=&\left[ n,n+1\right] \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ n\leq x\leq n+1\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の共通部分を求めてください。
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問題(集合族の共通部分)
それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して以下の集合\begin{equation*}A_{n}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\frac{1}{n}\leq x\leq \frac{1}{n}\right\}
\end{equation*}を定義します。可算集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の共通部分を求めてください。
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問題(集合族の共通部分)
集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)と添字集合の非空な部分集合\(\Gamma \subset \Lambda \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\subset \bigcap_{\lambda \in
\Gamma }A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(集合族の共通部分)
すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)のベキ集合\(2^{\mathbb{N} }\)について、その共通部分を求めてください。
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次回は集合族の和集合について学びます。

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