集合族の要素であるすべての集合に含まれる要素からなる集合を集合族の共通部分と定義します。集合族の共通部分は、その集合族の要素である任意の集合に部分集合として含まれる集合の中でも最大のものです。

集合族の共通部分

2019年3月13日:公開

集合族の共通部分

集合演算とは入力した 1 つもしくは 2 つの集合に対して 1 つの集合を出力する演算ですが、これを一般化して、集合族に属するすべての集合を入力とする集合演算を考えることができます。なお、あらゆる集合族は添字付けられた集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)として定式化されるため、ここでは添字付けられた集合族を議論の対象とします。

まずは、集合族の共通部分について考えます。まずは最もシンプルな例として、2 つの集合を要素とする集合族の共通部分について考えます。具体的には、添字集合を\(\Lambda =\{\lambda _{1},\lambda _{2}\}\)とする添字付けられた集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }=\{X_{\lambda _{1}},X_{\lambda _{2}}\}\)が与えられたとき、この集合族の共通部分を、この集合族の要素である 2 つの集合\(X_{\lambda _{1}},X_{\lambda _{2}}\)の共通部分\(X_{\lambda _{1}}\cap X_{\lambda _{2}}\)と同一視します。このとき、\begin{align*}
X_{\lambda _{1}}\cap X_{\lambda _{2}}& =\left\{ x\in U\ |\ x\in X_{\lambda _{1}}\ \wedge \ x\in X_{\lambda _{2}}\right\} \quad \because \cap \text{の定義} \\
& =\left\{ x\in U\ |\ \forall \lambda \in \{\lambda _{1},\lambda _{2}\}:x\in X_{\lambda }\right\} \\
& =\left\{ x\in U\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :x\in X_{\lambda }\right\} \quad \because \Lambda =\{\lambda _{1},\lambda _{2}\}
\end{align*}という関係が成り立ちます。ただし、\(U\)は全体集合です。つまり、集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分とは、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)に属する添字付けられた集合\(X_{\lambda _{1}},X_{\lambda _{2}}\)のいずれにも属する要素からなる集合です。

一般の添字集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分を\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)や\(\bigcap X_{\lambda }\)で表します。先の議論を一般化すると、一般の添字付けられた集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分とは、\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)に属するすべての添字付けられた集合\(X_{\lambda }\ (\lambda \in \Lambda )\)に属する要素からなる集合\begin{equation*}
\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\left\{ x\in U\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :x\in X_{\lambda }\right\}
\end{equation*}として定義されます。したがって、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}
x\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\ \Leftrightarrow \ \forall \lambda \in \Lambda :x\in X_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

 

集合族の共通部分の性質

集合\(X,Y\)の共通部分\(X\cap Y\)は\(X\)と\(Y\)の両方に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合です。集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)も同様に、任意の添字付けられた集合\(X_{\lambda }\)に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合です。

命題(集合族の共通部分の特徴づけ)
任意の集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :\left[ \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\subset X_{\lambda ^{\prime }}\right] \\
&&\left( b\right) \ (\forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :Y\subset X_{\lambda ^{\prime }})\ \Rightarrow \ Y\subset \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }
\end{eqnarray*}
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命題の意味を確認しましょう。集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合\(X_{\lambda }\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)より、この集合族の共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)は\(X_{\lambda }\)の部分集合です。さらに、集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)に属するすべての集合の部分集合であるような集合\(Y\)を任意に選ぶと、\(\left( b\right) \)より、\(Y\)は必ずこの集合族の共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)の部分集合になります。したがって、上の命題は、共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)は集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)に属するすべての集合の部分集合であるような集合の中でも最大の集合であることを示唆します。

図:集合族の共通部分

この命題を\(\Lambda =\left\{ 1,2,3\right\} \)の場合について図示したものが上図です。集合族のすべての要素\(X_{1},X_{2},X_{3}\)の部分集合であるような任意の集合\(Y\)は、同時に集合族の共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\)の部分集合でもあります。

次回は集合族の和集合について学びます。
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