集合族の共通部分

集合族の要素であるすべての集合に含まれる要素からなる集合を集合族の共通部分と定義します。集合族の共通部分は、その集合族の要素である任意の集合に部分集合として含まれる集合の中でも最大のものです。
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集合族の共通部分

集合演算とは入力した1つもしくは2つの集合に対して1つの集合を出力する演算ですが、これを一般化して、集合族に属するすべての集合を入力とする集合演算を考えることができます。あらゆる集合族は添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)として定式化されるため、ここでは添字付けられた集合族を議論の対象とします。

添字付けられた集合族について復習する

添字集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分を、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}と表記します。特に、添字集合が有限集合\(\Lambda =\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)である場合には、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{\lambda =1}^{n}A_{\lambda }=A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap
A_{n}
\end{equation*}と表記し、添字集合がすべての自然数からなる集合\(\mathbb{N}\)である場合には、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{\lambda =1}^{\infty }A_{\lambda }=A_{1}\cap A_{2}\cap
A_{3}\cap \cdots
\end{equation*}と表記します。いずれにせよ、添字集合\(\Lambda \)が任意の集合であるとき、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分をどのように定義すればよいでしょうか。

最もシンプルかつ具体的なケースは添字集合が\(\Lambda =\left\{ 1,2\right\} \)の場合であり、このとき、\begin{equation}
\bigcap\limits_{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda }=A_{1}\cap A_{2}
\tag{1}
\end{equation}となります。つまり、集合族の共通部分が、2つの集合の共通部分と一致するケースです。全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x\in \bigcap\limits_{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda }
&\Leftrightarrow &x\in \left( A_{1}\cap A_{2}\right) \quad \because \left(
1\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in A_{1}\wedge x\in A_{2}\quad \because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall \lambda \in \left\{ 1,2\right\} :x\in A_{\lambda
}\quad \because \forall \text{の定義}
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\begin{equation}
\bigcap\limits_{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda }=\left\{ x\in
U\ |\ \forall \lambda \in \left\{ 1,2\right\} :x\in A_{\lambda }\right\}
\tag{2}
\end{equation}となります。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }\)の共通部分とは、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \left\{ 1,2\right\} }\)の要素である集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \left\{ 1,2\right\} \right) \)のいずれにも属する要素からなる集合です。

以上の具体例を参考に、一般の添字集合\(\Lambda \)によって添字付けられた集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分を定義します。具体的には、\(\left( 2\right) \)において添字集合を\(\left\{ 1,2\right\} \)から\(\Lambda \)に置き換えると、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{ x\in U\ |\ \forall
\lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\right\}
\end{equation*}を得ますが、これを\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分の定義とします。つまり、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分とは、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)のいずれにも属する要素からなる集合です。上の定義より、任意の\(x\in U\)について、\begin{equation*}
x\in \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\Leftrightarrow
\forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)が集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分の要素であることと、\(x\)が集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である添字付けられた集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)のいずれにも属することは必要十分です。

例(集合族の共通部分)
集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{3}\)の要素であるそれぞれの集合\(A_{n}\)が、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\left\{ 0,2,5\right\} \\
A_{2} &=&\left\{ 1,2,5\right\} \\
A_{3} &=&\left\{ 2,5,7\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。この集合族の共通部分は、\begin{eqnarray*}
\bigcap\limits_{n=1}^{3}A_{n} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \forall n\in \left\{ 1,2,3\right\} :x\in A_{n}\right\} \\
&=&A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\quad \because \forall ,\cap \text{の定義} \\
&=&\left\{ 2,5\right\}
\end{eqnarray*}となります。
例(集合族の共通部分)
ある高校の全校生徒からなる集合を\(A\)で表し、その中でも\(i\in \left\{ 1,2,3\right\} \)年生からなる集合を\(A_{i}\)で表します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \left\{ 1,2,3\right\} }\)の共通部分は、\begin{eqnarray*}
\bigcap\limits_{i=1}^{3}A_{i} &=&\left\{ x\in A\ |\ \forall i\in \left\{
1,2,3\right\} :x\in A_{i}\right\} \\
&=&A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\quad \because \forall ,\cap \text{の定義} \\
&=&\phi \quad \because A_{1},A_{2},A_{3}\text{は互いに素}
\end{eqnarray*}となります。
例(集合族の共通部分)
集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }\)の要素であるそれぞれの集合\(A_{n}\)が、\begin{equation}
A_{n}=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \tag{1}
\end{equation}で与えられているものとします。この集合族の共通部分は、\begin{eqnarray*}
\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }A_{n} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \forall n\in \mathbb{N} :x\in A_{n}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \forall n\in \mathbb{N} :x\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\} \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left\{ 1\right\} \cap \left\{ 1,2\right\} \cap \left\{ 1,2,3,\right\}
\cap \cdots \quad \because \forall ,\cap \text{の定義} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。
例(集合族の共通部分)
集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \left[ 0,1\right] }\)の要素であるそれぞれの集合\(A_{n}\)が、\begin{equation}
A_{n}=\left[ n-1,n+1\right] \tag{1}
\end{equation}で与えられているものとします。この集合族の共通部分は、\begin{eqnarray*}
\bigcap\limits_{n\in \left[ 0,1\right] }A_{n} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \forall n\in \left[ 0,1\right] :x\in A_{n}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \forall n\in \left[ 0,1\right] :n-1\leq x\leq n+1\right\} \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となります。
例(集合族の共通部分)
集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合にも、\(\mathfrak{A}\)の共通部分をとることができます。具体的には、集合族\(\mathfrak{A}\)の共通部分とは\(\mathfrak{A}\)の要素であるすべての集合に含まれる要素からなる集合であるため、\begin{equation*}
\bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A=\left\{ x\ |\ \forall A\in \mathfrak{A}:x\in
A\right\}
\end{equation*}と表現できます。
例(集合族の共通部分)
集合\(A\)のベキ集合\(2^{A}\)は集合族であるため、その共通部分をとることができます。具体的には、それは、\begin{equation*}
\bigcap_{B\in 2^{A}}B=\left\{ x\ |\ \forall B\in 2^{A}:x\in B\right\}
\end{equation*}となります。\(\phi \subset A\)すなわち\(\phi \in 2^{A}\)が成り立ちますが、空集合の定義より、\(x\in \phi \)を満たす要素\(x\in A\)は存在しません。したがって、\begin{equation*}
\bigcap_{B\in 2^{A}}B=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の集合のベキ集合の共通部分は空集合です。

 

包含関係による集合族の共通部分の定義

包含関係と共通部分の間には以下の関係が成り立つことを以前に示しました。

命題(包含関係による共通部分の定義)
任意の集合\(A,B,C\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\cap B\subset A \\
&&\left( b\right) \ A\cap B\subset B \\
&&\left( c\right) \ (C\subset A)\ \wedge \ (C\subset B)\ \Rightarrow \
C\subset A\cap B
\end{eqnarray*}
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集合\(A,B\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)より、それらの共通部分\(A\cap B\)は\(A\)と\(B\)の両方の部分集合です。さらに、\(A\)と\(B\)の両方の部分集合であるような集合\(C\)を任意に選ぶと、\(\left( c\right) \)より、\(C\)は必ず\(A\cap B\)の部分集合になります。したがって、上の命題は、共通部分\(A\cap B\)は\(A\)と\(B\)の両方に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合であることを示唆します。この事実は、共通部分\(\cap \)という集合演算が、包含関係\(\subset \)から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合\(A,B\)について、「\(A\)と\(B\)の両方に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合」として\(A\cap B\)を定義できるということです。

集合族の共通部分においても同様の命題が成り立ちます。

命題(包含関係による共通部分の定義)
任意の集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda
:\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\subset A_{\lambda ^{\prime } } \\
&&\left( b\right) \ \left( \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :Y\subset
A_{\lambda ^{\prime }}\right) \Rightarrow Y\subset \bigcap\limits_{\lambda
\in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}
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集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、\(\left( a\right) \)より、その共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)は集合族の任意の要素\(A_{\lambda }\)の部分集合です。さらに、集合族の要素であるすべての集合の部分集合であるような集合\(Y\)を任意に選ぶと、\(\left( b\right) \)より、\(Y\)は必ず集合族の共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)の部分集合になります。したがって、上の命題は、集合族の共通部分は、その集合族の要素であるすべての集合に部分集合として含まれる集合の中でも最大の集合であることを示唆します。この事実は、集合族の共通部分という集合演算が、包含関係\(\subset \)から間接的に定義可能な概念であることを示唆します。つまり、\(\subset \)が与えられたとき、集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について、「すべての集合\(A_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)に部分集合として含まれる最大の集合」として共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)を定義できるということです。

例(包含関係による共通部分の定義)
繰り返しになりますが、集合族\(\mathfrak{A}\)の要素である集合が添字付けられていない場合、その共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A=\left\{ x\ |\ \forall A\in \mathfrak{A}:x\in
A\right\}
\end{equation*}と表現されます。このような表記を踏まえた上で上の命題の主張を言い換えると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall A^{\prime }\in \mathfrak{A}:\bigcap_{A\in
\mathfrak{A}}A\subset A^{\prime } \\
&&\left( b\right) \ \left( \forall A^{\prime }\in \mathfrak{A}:B\subset
A^{\prime }\right) \Rightarrow B\subset \bigcap\limits_{A\in \mathfrak{A}}A
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は、集合族\(\mathfrak{A}\)の共通部分\(\bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A\)が\(\mathfrak{A}\)の任意の要素\(A^{\prime }\)の部分集合であるという主張です。\(\left( b\right) \)は、集合族\(\mathfrak{A}\)の要素であるすべての集合の部分集合であるような集合\(B\)を任意に選ぶと、それは必ず\(\mathfrak{A}\)の共通部分\(\bigcap_{A\in \mathfrak{A}}A\)の部分集合になるという主張です。

次回は集合族の和集合について学びます。

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