等しい2つの集合が与えられたとき、それらの双対をとるとそれらもまた等しくなります。これを双対原理と呼びます。

2019年3月12日:公開

双対

これまで集合演算子として\(c,\cap ,\cup ,\backslash ,\triangle \)について考えてきましたが、先に示したように\(\backslash ,\triangle \)はともに\(c,\cap ,\cup \)によって言い換え可能ですので、結局、集合演算子として\(c,\cap ,\cup \)だけ与えられれば任意の集合\(X\)を表現することができます。

差集合の言い換えについて復習する 対称差の言い換えについて復習する

そのことを踏まえた上で、集合\(X\)に対して以下の操作を加えることで得られる集合を\(X\)の双対(dual)と呼びます。\begin{eqnarray*}
&&\left( 1\right) \ X\text{中の}\cap \text{を}\cup \text{に入れ替え、}\cup \text{を}\cap \text{に入れ替える。} \\
&&\left( 2\right) \ X\text{中の}U\text{を}\phi \text{に入れ替え、}\phi \text{を}U\text{に入れ替える。}
\end{eqnarray*}

例(双対)
集合\(X,Y\)に関する集合\((X\cap Y)\cup Z\)の双対は\((X\cup Y)\cap Z\)です。
例(双対)
集合\(X,Y,Z\)と全体集合\(U\)に関する集合\((X^{c}\cap Y)\cup (U\cap Z^{c})^{c}\)の双対は\((X^{c}\cup Y)\cap (\phi \cup Z^{c})^{c}\)です。

 

双対原理

集合とその双対の間には以下の関係が成り立ちます。これを双対原理(principle of duality)と呼びます。

定理(双対原理)
\(c,\cap ,\cup \)以外の集合演算子を含まない集合\(X,Y\)を任意に選び、\(X\)の双対を\(X^{\ast }\)で表し、\(Y\)の双対を\(Y^{\ast }\)で表す。このとき、\(X=Y\)が成り立つならば\(X^{\ast }=Y^{\ast }\)もまた成り立つ。
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例(双対原理)
分配律とは、集合\(X,Y,Z\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ X\cap (Y\cup Z) &=&(X\cap Y)\cup (X\cap Z) \\
\left( b\right) \ X\cup (Y\cap Z) &=&(X\cup Y)\cap (X\cup Z)
\end{eqnarray*}がともに成り立つという命題ですが、\(\left( a\right) \)に双対原理を適用すれば\(\left( b\right) \)を得て、逆に、\(\left( b\right) \)に双対原理を適用すれば\(\left( a\right) \)を得ます。ちなみに、ベキ等律、交換律、結合律、吸収律、ド・モルガンの法則、恒等法則、補集合法則、差集合法則などに関しても同様の議論が成立します。

次回からは集合族について学びます。
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