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集合演算における結合律

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結合律

集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、全体集合の要素\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}x\in (A\cap B)\cap C &\Leftrightarrow &x\in A\cap B\wedge x\in C\quad
\because \text{共通部分の定義} \\
&\Leftrightarrow &(x\in A\wedge x\in B)\wedge x\in C\quad \because \text{共通部分の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\wedge (x\in B\wedge x\in C)\quad \because \text{論理積の結合律} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in B\cap C\quad \because \text{共通部分の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\cap (B\cap C)\quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}を得ます。集合\(A,B,C\)が与えられたとき、隣り合う\(A,B\)に対して共通部分\(\cap \)を作用させれば\(A\cap B\)を得ます。これは集合ですから、これと残された\(C\)に対して再び\(\cap \)を作用させれば\((A\cap B)\cap C\)という集合を得ます。一方、最初に\(B,C\)に対して\(\cap \)を作用させれば最終的に\(A\cap (B\cap C)\)という集合を得ます。この2つの集合が一致するというのが\(\left( a\right) \)の主張であり、これを共通部分\(\cap \)に関する結合律(associative law)と呼びます。

和集合\(\cup \)に関しても同様の議論が成り立ちます。つまり、\(\cup \)に関する結合律は、\begin{equation*}\left( b\right) \ \left( A\cup B\right) \cup C=A\cup \left( B\cup C\right)
\end{equation*}となりますが、これもまた成り立ちます。

命題(結合律)
任意の集合\(A,B,C\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \cap C &=&A\cap \left( B\cap
C\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cup B\right) \cup C &=&A\cup \left( B\cup
C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
証明

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例(結合律)
集合\(A,B,C\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \\
B &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
C &=&\left\{ 3,4,5\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているとき、\begin{eqnarray*}
\left( A\cap B\right) \cap C &=&\left( \left\{ 1,3,5,7\right\} \cap \left\{
1,2,3\right\} \right) \cap \left\{ 3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 1,3\right\} \cap \left\{ 3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 3\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
A\cap \left( B\cap C\right) &=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \cap \left( \left\{
1,2,3\right\} \cap \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \cap \left\{ 3\right\} \\
&=&\left\{ 3\right\}
\end{eqnarray*}となるため、共通部分に関する結合律\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}が成立しています。同様に、\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B\right) \cup C &=&\left( \left\{ 1,3,5,7\right\} \cup \left\{
1,2,3\right\} \right) \cup \left\{ 3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,5,7\right\} \cup \left\{ 3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,4,5,7\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
A\cup \left( B\cup C\right) &=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \cup \left( \left\{
1,2,3\right\} \cup \left\{ 3,4,5\right\} \right) \\
&=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \cup \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \\
&=&\left\{ 1,2,3,4,5,7\right\}
\end{eqnarray*}となるため、和集合に関する結合律\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) \cup C=A\cup \left( B\cup C\right)
\end{equation*}が成立しています。
例(結合律)
任意の集合\(A,B,C,D\)について、\begin{eqnarray*}\left( \left( A\cap B\right) \cap C\right) \cap D &=&\left( A\cap \left(
B\cap C\right) \right) \cap D\quad \because \text{結合律}
\\
&=&A\cap \left( \left( B\cap C\right) \cap D\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&A\cap \left( B\cap \left( C\cap D\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

結合律の一般化

3つの集合\(A,B,C\)に関して、\(\cap \)の結合律より、\begin{equation*}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)
\end{equation*}が成り立ちます。これは\(A,B,C\)の間にある2つの\(\cap \)のどちらを最初に作用させても最終的に得られる集合は等しいことを意味します。そこで、これら2つの集合を区別せずに、\begin{equation*}A\cap B\cap C
\end{equation*}と表記します。和集合についても同様に考えると、\((A\cup B)\cup C\)と\(A\cup\left( B\cup C\right) \)を区別せずに、\begin{equation*}A\cup B\cup C
\end{equation*}と表記します。

4つの集合\(A,B,C,D\)に対して、隣り合う集合の間にある3つの\(\cap \)の中のどれを最初に作用させるかという問題に対しても、\(\cap \)に関する結合律を繰り返し適用することにより、\begin{align*}\left( \left( A\cap B\right) \cap C\right) \cap D& \Leftrightarrow \left(
A\cap \left( B\cap C\right) \right) \cap D\quad \because \text{結合律} \\
& \Leftrightarrow A\cap \left( \left( B\cap C\right) \cap D\right) \quad
\because \text{結合律} \\
& \Leftrightarrow A\cap \left( B\cap \left( C\cap D\right) \right) \quad
\because \text{結合律}
\end{align*}が成立するため、\(\cap \)の作用の順番に関わらず等しい集合が得られます。したがって、これら4つの集合を区別せずに、\begin{equation*}A\cap B\cap C\cap D
\end{equation*}と表記します。和集合についても同様に考えると、上と同様の4つの集合を区別せずに、\begin{equation*}
A\cup B\cup C\cup D
\end{equation*}と表記します。

任意個の集合の共通部分についても同様の議論が成立します。つまり、有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の間にある\(n-1\)個の\(\cap \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i},\quad A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}
\end{equation*}などで表記します。論理和についても同様に、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i=1}^{n}P_{i},\quad A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}
\end{equation*}などで表記します。

 

演習問題

問題(結合律)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) \cup \left( A\cup C\right) =A\cup \left( B\cup
C\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(差集合に関する結合律)
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、差集合\(\backslash \)に関する結合律は、\begin{equation*}(A\backslash B)\backslash C=A\backslash (B\backslash C)
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
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問題(対称差に関する結合律)
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、対称差\(\triangle \)に関する結合律は、\begin{equation*}\left( A\triangle B\right) \triangle C=A\triangle \left( B\triangle C\right)
\end{equation*}と表現できますが、これは成り立つでしょうか。理由とともに答えてください。
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次回は分配律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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論理式 A,B,C が与えられたとき、隣り合う A,B に対して論理積 ∧ を作用させれば A∧B を得ます。これは論理式ですから、これと残された C に対して再び論理積 ∧ を作用させれば (A∧B)∧C という論理式を得ます。一方、最初に B,C に対して論理積 ∧ を作用させれば最終的に A∧(B∧C) という論理式を得ます。この 2 つの論理式の値が一致するというのが結合律の主張です。

DISCUSSION

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