集合 X,Y,Z が与えられたとき、その中から隣り合う2つの集合 X,Y を選んで共通部分を適用すれば X∩Y を得ます。この集合と残された集合 Z に対して再び共通部分を作用させれば (X∩Y)∩Y を得ます。一方、最初に Y,Z に対して共通部分を作用させれば最終的に X∩(Y∩Z) を得ます。この2つの集合が一致するというのが結合律の主張です。和集合∪に関しても同様の性質が成り立ちます。

2019年3月12日:公開

結合律

集合\(X,Y,Z\)が与えられたとき、その中から隣り合う2つの集合\(X,Y\)を選んで共通部分を適用すれば\(X\cap Y\)が得られます。これは集合ですから、これと残された集合\(Z\)に対して再び共通部分\(\cap \)を作用させれば\((X\cap Y)\cap Z\)という集合を得ます。一方、最初に\(Y,Z\)に対して共通部分\(\cap \)を作用させれば最終的に\(X\cap (Y\cap Z)\)という集合を得ます。この2つの集合が一致するというのが結合律(associative law)の主張です。和集合\(\cup \)に関しても同様の性質が成り立ちます。

命題(結合律)
任意の集合\(X,Y,Z\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ (X\cap Y)\cap Z &=&X\cap (Y\cap Z) \\
\left( b\right) \ (X\cup Y)\cup Z &=&X\cup (Y\cup Z)
\end{eqnarray*}
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例(結合律)
これまでベキ等律、交換律、そして結合律について学びましたが、これらを用いて、任意の集合\(X,Y,Z\)について、\begin{equation*}
\left( X\cup Y\right) \cup \left( X\cup Z\right) =X\cup \left( Y\cup Z\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( X\cup Y\right) \cup \left( X\cup Z\right) &=&X\cup \left( Y\cup \left( X\cup Z\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&X\cup \left( \left( Y\cup X\right) \cup Z\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&X\cup \left( \left( X\cup Y\right) \cup Z\right) \quad \because \text{交換律} \\
&=&X\cup \left( X\cup \left( Y\cup Z\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&\left( X\cup X\right) \cup \left( Y\cup Z\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&X\cup \left( Y\cup Z\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明できました。

 

結合律の一般化

集合\(X,Y,Z\)に関して、\(=\)の結合律より、\begin{equation*}
(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは、\(X,Y,Z\)の間にある2つの\(\cap \)の中のどちらを最初に適用しても最終的に得られる集合は同じであることを意味します。そこで、これら2つの集合を区別せずに\(X\cap Y\cap Z\)で表します。和集合についても同様に考えると、\((X\cup Y)\cup Z\)と\(X\cup (Y\cup Z)\)を区別せずに\(X\cup Y\cup Z\)で表します。

集合\(W,X,Y,Z\)に対して、隣り合う集合の間にある3つの\(\cap \)の中のどれを最初に適用するかという問題に対しても、\(=\)の結合律を繰り返し適用することにより、\begin{align*}
\left( \left( W\cap X\right) \cap Y\right) \cap Z& =\left( W\cap \left( X\cap Y\right) \right) \cap Z\quad \because \text{結合律}
\\
& =W\cap \left( \left( X\cap Y\right) \cap Z\right) \quad \because \text{結合律} \\
& =W\cap \left( X\cap \left( Y\cap Z\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\end{align*}が成立するため、\(\cap \)を作用させる順番に関わらず同じ集合が得られます。したがって、これら4つの集合を区別せずに\(W\cap X\cap Y\cap Z\)で表します。和集合についても同様に考えると、上と同様な4つの集合を区別せずに\(W\cup X\cup Y\cup Z\)で表します。

任意の有限個の集合についても同様の議論が成立します。有限\(n\)個の集合\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)のの間にある\(n-1\)個の\(\cap \)の中のどれを適用した場合でも、最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i=1}^{n}X_{i}=X_{1}\cap \cdots \cap X_{n}
\end{equation*}で表します。和集合についても同様に考えることで、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i=1}^{n}X_{i}=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}
\end{equation*}で表します。

次回は分配律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。
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