集合演算における結合律

結合律

集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、共通部分\(\cap \)と和集合\(\cup \)に関して以下の相等関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( A\cap B\right) \cap C &=&A\cap \left( B\cap
C\right) \\
\left( b\right) \ \left( A\cup B\right) \cup C &=&A\cup \left( B\cup
C\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上の性質を結合律（associative law）と呼びます。

集合\(A,B,C\)が与えられたとき、隣り合う\(A,B\)に対して共通部分\(\cap \)を作用させれば\(A\cap B\)を得ます。これは集合であるため、これと残された\(C\)に対して再び共通部分\(\cap \)を作用させれば\((A\cap B)\cap C\)という集合を得ます。一方、最初に\(B,C\)に対して\(\cap \)を作用させれば最終的に\(A\cap (B\cap C)\)という集合を得ます。この2つの集合が一致するというのが\(\left( a\right) \)の主張です。また、和集合\(\cup \)に関する同様の主張が\(\left(b\right) \)です。

集合\(A,B,C\)が与えられたとき、\(\cap \)の結合律より、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\((A\cap B)\cap C\)と\(A\cap (B\cap C)\)は集合として一致するため両者を区別することなく、これらをまとめて、\begin{equation*}A\cap B\cap C
\end{equation*}と表記できるものと定めます。同様に、\(\cup \)の結合律より、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) \cup C=A\cup \left( B\cup C\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(A\cup B\right) \cup C\)と\(A\cup \left( B\cup C\right) \)を区別する必要はなく、これらをまとめて、\begin{equation*}A\cup B\cup C
\end{equation*}と表記できるものと定めます。

結合律の一般化

4つの集合\(A,B,C,D\)が与えられたとき、\(\cap \)に関する結合律を繰り返し適用することにより、\begin{align*}\left( \left( A\cap B\right) \cap C\right) \cap D& =\left( A\cap \left(
B\cap C\right) \right) \cap D\quad \because \text{結合律}
\\
& =A\cap \left( \left( B\cap C\right) \cap D\right) \quad \because \text{結合律} \\
& =A\cap \left( B\cap \left( C\cap D\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\end{align*}を得ます。つまり、4つの集合\(A,B,C,D\)の間にある3個の\(\cap \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる集合はいずれも等しいため、これら4つの集合を区別せずに、\begin{equation*}A\cap B\cap C\cap D
\end{equation*}で表記します。和集合についても、\begin{align*}
\left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \cup D& =\left( A\cup \left(
B\cup C\right) \right) \cup D\quad \because \text{結合律}
\\
& =A\cup \left( \left( B\cup C\right) \cup D\right) \quad \because \text{結合律} \\
& =A\cup \left( B\cup \left( C\cup D\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\end{align*}が成り立つため、これら4つの集合を区別せずに、\begin{equation*}
A\cup B\cup C\cup D
\end{equation*}で表記します。

任意の有限個の共通部分についても同様の議論が成立します。つまり、有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の間にある\(n-1\)個の\(\cap \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}
\end{equation*}で表記します。和集合についても同様です。有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の間にある\(n-1\)個の\(\cup \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}
\end{equation*}で表記します。

交換律と結合律の一般化

3つの集合\(A,B,C\)が任意に与えられたとき、\(\cap \)に関する交換律を繰り返し適用することにより、\begin{eqnarray*}\left( A\cap B\right) \cap C &=&\left( B\cap A\right) \cap C\quad \because
\text{交換律} \\
&=&C\cap \left( B\cap A\right) \quad \because \text{交換律}
\\
&=&C\cap \left( A\cap B\right) \quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、3つの集合\(A,B,C\)の共通部分をとる場合、括弧が指定するように、\(A\)と\(B\)に優先的に共通部分を作用させる形で相等変換を行う限りにおいて、集合の順序を自由に入れ替えても集合として等しくなります。同様に、\begin{eqnarray*}A\cap \left( B\cap C\right) &=&A\cap \left( C\cap B\right) \quad \because
\text{交換律} \\
&=&\left( C\cap B\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\\
&=&\left( B\cap C\right) \cap A\quad \because \text{交換律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、3つの集合\(A,B,C\)の共通部分をとる場合、括弧が指定するように、\(B\)と\(C\)に優先的に共通部分を作用させる形で相等変換を行う限りにおいて、集合の順序を自由に入れ替えても集合として等しくなります。加えて、結合律より、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)
\end{equation*}が成り立つため、以上の8個の集合がすべて等しくなることが保証されます。つまり、3個の集合\(A,B,C\)の共通部分をとる場合には、集合の相対的な順番を自由に入れ替えられるとともに、共通部分を作用させる順番も自由に選ぶことができます。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}A\cap B\cap C &=&A\cap C\cap B \\
&=&B\cap A\cap C \\
&=&B\cap C\cap A \\
&=&C\cap A\cap B \\
&=&C\cap B\cap A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。和集合についても同様です。つまり、3個の集合\(A,B,C\)の和集合をとる場合には、集合の相対的な順番を自由に入れ替えられるとともに、和集合を作用させる順番も自由に選ぶことができます。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}A\cup B\cup C &=&A\cup C\cup B \\
&=&B\cup A\cup C \\
&=&B\cup C\cup A \\
&=&C\cup A\cup B \\
&=&C\cup B\cup A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

任意の有限個の共通部分についても同様の議論が成立します。つまり、有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の共通部分をとる場合には、交換律より、集合の順序を自由に入れ替えることができ、結合律より、括弧の位置を自由に変えることができます。その結果、集合の相対的な順番を入れ替えても、また、共通部分を作用させる順番を変えても、最終的に得られる集合はいずれも、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}と等しくなります。和集合についても同様です。有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の和集合をとる場合には、集合の相対的な順番を入れ替えても、また、和集合を作用させる順番を変えても、最終的に得られる集合はいずれも、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}と等しくなります。

演習問題