集合 A,B,C が与えられたとき、その中から隣り合う 2 つの集合 A,B を選んで共通部分を適用すれば A∩B を得ます。この集合と残された集合 C に対して再び共通部分を作用させれば (A∩B)∩C を得ます。一方、最初に B,C に対して共通部分を作用させれば最終的に A∩(B∩C) を得ます。この 2 つの集合が一致するというのが結合律の主張です。和集合∪に関しても同様の性質が成り立ちます。
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結合律

集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、全体集合の任意の要素\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in (A\cap B)\cap C &\Leftrightarrow &x\in A\cap B\wedge x\in C\quad
\because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &(x\in A\wedge x\in B)\wedge x\in C\quad \because \cap
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\wedge (x\in B\wedge x\in C)\quad \because \wedge
\text{の結合律} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\wedge x\in B\cap C\quad \because \cap \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\cap (B\cap C)\quad \because \cap \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)
\end{equation*}を得ます。集合\(A,B,C\)が与えられたとき、隣り合う\(A,B\)に対して共通部分\(\cap \)を作用させれば\(A\cap B\)を得ます。これは集合ですから、これと残された\(C\)に対して再び\(\cap \)を作用させれば\((A\cap B)\cap C\)という集合を得ます。一方、最初に\(B,C\)に対して\(\cap \)を作用させれば最終的に\(A\cap (B\cap C)\)という集合を得ます。この2つの集合が一致するというのが\(\left( a\right) \)の主張であり、これを\(\cap \)に関する結合律(associative law)と呼びます。

和集合\(\cup \)に関しても同様の議論が成り立ちます。つまり、\(\cup \)に関する結合律は、\begin{equation*}
\left( b\right) \ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)
\end{equation*}となりますが、これもまた成り立ちます。

命題(結合律)
任意の集合\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ (A\cap B)\cap C &=&A\cap (B\cap C) \\
\left( b\right) \ (A\cup B)\cup C &=&A\cup (B\cup C)
\end{eqnarray*}
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例(結合律)
任意の集合\(A,B,C,D\)について、\begin{eqnarray*}
\left( \left( A\cap B\right) \cap C\right) \cap D &=&\left( A\cap \left(
B\cap C\right) \right) \cap D\quad \because \text{結合律}
\\
&=&A\cap \left( \left( B\cap C\right) \cap D\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&A\cap \left( B\cap \left( C\cap D\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例(結合律)
任意の集合\(A,B,C\)について、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) \cup \left( A\cup C\right) =A\cup \left( B\cup C\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B\right) \cup \left( A\cup C\right) &=&A\cup \left( B\cup
\left( A\cup C\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\\
&=&A\cup \left( \left( B\cup A\right) \cup C\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&A\cup \left( \left( A\cup B\right) \cup C\right) \quad \because \text{交換律} \\
&=&A\cup \left( A\cup \left( B\cup C\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&\left( A\cup A\right) \cup \left( B\cup C\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&A\cup \left( B\cup C\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}となります。

 

結合律の一般化

集合\(A,B,C\)に関して、\(\cap \)の結合律より、\begin{equation*}
(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)
\end{equation*}が成り立ちます。これは\(A,B,C\)の間にある 2 つの\(\cap \)のどちらを最初に作用させても最終的に得られる集合は等しいことを意味します。そこで、これら 2 つの集合を区別せずに\(A\cap B\cap C\)で表します。和集合についても同様に考えると、\((A\cup B)\cup C\)と\(A\cup \left( B\cup C\right) \)を区別せずに\(A\cup B\cup C\)で表します。

集合\(A,B,C,D\)に対して、隣り合う集合の間にある 3 つの\(\cap \)の中のどれを最初に作用させるかという問題に対しても、\(\cap \)に関する結合律を繰り返し適用することにより、\begin{align*}
\left( \left( A\cap B\right) \cap C\right) \cap D& \Leftrightarrow \left(
A\cap \left( B\cap C\right) \right) \cap D\quad \because \text{結合律} \\
& \Leftrightarrow A\cap \left( \left( B\cap C\right) \cap D\right) \quad
\because \text{結合律} \\
& \Leftrightarrow A\cap \left( B\cap \left( C\cap D\right) \right) \quad
\because \text{結合律}
\end{align*}が成立するため、\(\cap \)の作用の順番に関わらず等しい集合が得られます。したがって、これら 4 つの集合を区別せずに\(A\cap B\cap C\cap D\)で表します。和集合についても同様に考えると、上と同様な 4 つの集合を区別せずに\(A\cup B\cup C\cup D\)で表します。

任意の有限個の集合の共通部分についても同様の議論が成立します。つまり、有限\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の間にある\(n-1\)個の\(\cap \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる集合はいずれも等しいため、それらの集合を区別せずに、\begin{equation}
\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap \cdots \cap A_{n} \tag{1}
\end{equation}で表します。論理和についても同様に考えることで、\begin{equation}
\bigcup\limits_{i=1}^{n}P_{i}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n} \tag{2}
\end{equation}で表します。

結合律に加えて交換律が成り立つ場合には、\(\left( 1\right) \)や\(\left( 2\right) \)において集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)の順番を自由に入れ替えても、その前後の集合は等しいことが保証されます。

 

他の集合演算に関する結合律

差集合\(\backslash \)に関する結合律は、任意の集合\(A,B,C\)に対して、\begin{equation*}
(A\backslash B)\backslash C=A\backslash (B\backslash C)
\end{equation*}と定義されますが、これは成り立ちません。実際、例えば\(A=B=C\not=\phi \)であるとき、\begin{eqnarray*}
(A\backslash B)\backslash C &=&\left( A\backslash A\right) \backslash A=\phi
\backslash A=\phi \\
A\backslash \left( B\backslash C\right) &=&A\backslash \left( A\backslash
A\right) =A\backslash \phi =A
\end{eqnarray*}となり、両者は異なります。

対称差\(\triangle \)に関する結合律は、任意の集合\(A,B,C\)に対して、\begin{equation*}
\left( A\triangle B\right) \triangle C=A\triangle \left( B\triangle C\right)
\end{equation*}と定義されますが、これは成り立ちます。実際、全体集合の任意の要素\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in \left( A\triangle B\right) \triangle C &\Leftrightarrow &x\in
A\triangle B\veebar x\in C\quad \because \triangle \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( x\in A\veebar x\in B\right) \veebar x\in C\quad
\because \triangle \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\veebar \left( x\in B\veebar x\in C\right) \quad
\because \veebar \text{の結合律} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\veebar x\in B\triangle C\quad \because \triangle
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\triangle \left( B\triangle C\right) \quad \because
\triangle \text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。

次回は分配律と呼ばれる集合演算の性質について学びます。

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