確率変数の定義
標本点に対して実数を1つずつ割り当てる写像を確率変数と呼びます。確率論の公理と整合的な形で確率変数の概念を定義します。
TABLE OF CONTENTS
目次
RANDOM VARIABLES
確率変数
それぞれの標本点に実数を1つずつ定める写像を確率変数と呼びます。
確率変数の分布関数
それぞれの実数に対して、確率変数がその実数以下の値をとる確率を特定する関数を分布関数と呼びます。分布関数の概念を定義するとともに、その基本的な性質について解説します。
指示関数（指示確率変数）
可測な事象が与えられれば、その事象が起こる場合には1を返し、その事象が起こらない場合には0を返す確率変数が定義可能です。これを指示関数（指示確率変数）と呼びます。指示関数を用いれば集合演算を数値演算に置き換えて考えることができます。
確率変数と連続関数の合成関数は確率変数
確率変数とボレル可測関数の合成関数は確率変数です。連続関数はボレル可測関数であるため、確率変数と連続関数の合成関数もまた確率変数です。
定値写像（定数関数）は確率変数
定置写像であるような実数値写像は確率変数です。また、定置写像であるような拡大実数値写像は拡大実数値確率変数です。
確率変数の定数倍は確率変数
確率変数の定数倍として定義される写像もまた確率変数になることが保証されます。拡大実数値確率変数についても同様です。
確率変数どうしの和は確率変数
確率変数どうしの和として定義される写像もまた確率変数になることが保証されます。また、拡大実数値確率変数どうしの和が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。
確率変数どうしの差は確率変数
確率変数どうしの差として定義される写像もまた確率変数になることが保証されます。また、拡大実数値確率変数どうしの差が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。
確率変数どうしの積は確率変数
確率変数どうしの積として定義される写像もまた確率変数になることが保証されます。また、拡大実数値確率変数どうしの積が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。
確率変数どうしの商は確率変数
確率変数どうしの商が定義可能であるならば、それもまた確率変数になります。また、拡大実数値確率変数どうしの商が定義可能である場合には、それもまた拡大実数値確率変数になります。
確率変数どうしの最大値と最小値は確率変数
有限個の確率変数の実現値の最大値や最小値を値として定める写像は確率変数です。また、有限個の拡大実数値確率変数の実現値の最大値や最小値を値として定める写像は拡大実数値確率変数です。
確率変数の絶対値は確率変数
確率変数のもとでの実現値の絶対値を与える写像は確率変数です。また、拡大実数値確率変数のもとでの実現値の絶対値を与える写像は拡大実数値確率変数です。
確率変数どうしの上限と下限は確率変数
確率変数族の実現値の上限や下限を与える写像は拡大実数値確率変数です。特に、すべての確率変数族の要素であるすべての確率変数が有界である場合、それらの実現値の上限や下限を与える写像は確率変数です。
確率変数列の上極限・下極限・極限は確率変数
確率変数列の実現値の上極限や下極限や極限を与える写像は確率変数です。また、拡大実数値確率変数の実現値の上極限や下極限や極限を与える写像もまた拡大実数値確率変数です。
確率変数のメディアン
確率変数がとり得る値を小さい順に並べたとき、データをちょうど2分する値をメディアンと呼びます。
RANDOM VECTOR
確率ベクトル
それぞれの標本点にn次元ベクトルを1つずつ定める写像を確率ベクトルと呼びます。
同時確率変数の定義
標本点に対して2次元ベクトルを1つずつ割り当てる写像を同時確率変数と呼びます。確率論の公理と整合的な形で同時確率変数の概念を定義します。
同時確率変数の同時分布関数
同時確率変数の同時分布関数とは、同時確率変数があるベクトル以下の値をとる確率を与えることを通じて同時確率分布を記述する関数です。
確率ベクトルの定義
標本点に対してn次元ベクトルを1つずつ割り当てる写像を確率ベクトルと呼びます。確率論の公理と整合的な形で確率ベクトルの概念を定義します。
確率ベクトルの同時分布関数
確率ベクトルの同時分布関数とは、確率ベクトルがあるベクトル以下の値をとる確率を与えることを通じて同時確率分布を記述する関数です。
確率ベクトルと連続関数の合成関数は確率変数
確率ベクトルと多変数ボレル可測関数の合成関数は確率変数です。連続関数はボレル可測関数であるため、確率ベクトルと多変数連続関数の合成関数もまた確率変数です。
確率ベクトルと連続なベクトル値関数の合成関数は確率ベクトル
確率ベクトルと多変数ボレル可測ベクトル値関数の合成関数は確率ベクトルです。連続関数はボレル可測関数であるため、確率ベクトルと多変数の連続なベクトル値関数の合成関数もまた確率ベクトルです。
INDEPENDENCE OF RANDOM VARIABLES
確率変数の独立性
確率変数どうしが独立であることの意味を定義します。
2つの確率変数の独立性
2つの確率変数が生成するσ代数どうしが独立である場合、それらの確率変数は独立であると言います。2つの独立変数が独立であることを様々な形で表現するとともに、独立性を判定する方法について解説します。
有限個の確率変数の独立性
有限個の確率変数が生成するσ代数どうしが独立である場合、それらの確率変数は独立であると言います。有限個の独立変数が独立であることを様々な形で表現するとともに、独立性を判定する方法について解説します。
可算個の確率変数の独立性
可算個の確率変数が与えられたとき、その中から有限個の確率変数を任意に選んだ場合にそれらが独立であるならば、もとの可算個の確率変数は独立であると言います。
コルモゴロフの0-1の法則（確率変数列の末尾事象の確率）
確率変数列の要素である無限個の確率変数の分布の影響を受ける一方で、有限個の確率変数の分布の影響を受けない事象を末尾事象と呼びます。確率変数列が独立である場合、その任意の末尾事象の確率は0または1のどちらか一方に定まります。これをコルモゴロフの0-1の法則と呼びます。
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関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
前提知識
本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。
確率
公理主義的な確率論について解説します。具体的には、確率空間や確率関数などの概念を定義した上で、確率空間の公理をもとに、確率空間が満たす基本的な性質を証明します。
