有限個の確率変数の独立性

有限個の確率変数の独立性

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、有限\(n\)個の事象\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}\forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。これは、\(n\)個の事象の中から有限個を任意に選んだとき、それらの積事象の確率が、個々の確率の積と一致することを意味します。加えて、有限\(n\)個の事象族\(\mathcal{A}_{1},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\subset \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}\forall A_{1}\in \mathcal{A}_{1},\cdots ,\ \forall A_{n}\in \mathcal{A}_{n},\ \forall I\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
I}A_{i}\right) =\prod_{i\in I}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。これは、\(n\)個の事象族の中から有限個を任意に選んだ上で、選ばれた事象族から1つずつ事象をとり出した場合に、それらが独立であることを意味します。ただし、\(\mathcal{A}_{1},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)がいずれも全体事象\(\Omega \)を要素として持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\Omega \in \mathcal{A}_{i}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\mathcal{A}_{1},\cdots ,\mathcal{A}_{n}\)が独立であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall A_{1}\in \mathcal{A}_{1},\cdots ,\ \forall A_{n}\in \mathcal{A}_{n}:P\left( A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right) =P\left( A_{1}\right) \times
\cdots \times P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分になります。これは、\(n\)個の事象族から1つずつ事象をとり出した場合に、それらの積事象の確率が、個々の確率の積と一致することを意味します。以上を踏まえた上で、有限個の確率変数が独立であることの意味を定義します。

標本空間\(\Omega \)と事象空間\(\mathcal{F}\)からなる可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)と、実数空間\(\mathbb{R} \)と実数空間上のボレル集合族\(\mathcal{B}\)からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)に加えて、有限\(n\)個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられているものとします。

それぞれの確率変数から生成される\(\sigma \)-代数は、\begin{gather*}\sigma \left( X_{1}\right) =\left\{ X_{1}^{-1}\left( B_{1}\right) \in
2^{\Omega }\ |\ B_{1}\in \mathcal{B}\right\} \\
\vdots \\
\sigma \left( X_{n}\right) =\left\{ X_{n}^{-1}\left( B_{n}\right) \in
2^{\Omega }\ |\ B_{n}\in \mathcal{B}\right\}
\end{gather*}と定義されます。その上で、これらの事象族から1つずつ事象をとり出した場合に、それらの積事象の確率が、個々の確率の積と一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall A_{1}\in \sigma \left( X_{1}\right) ,\ \cdots ,\ \forall A_{n}\in
\sigma \left( X_{n}\right) :P\left( A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)
=P\left( A_{1}\right) \times \cdots \times P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)は独立である（independent）と言います。一方、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立でない場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists A_{1}\in \sigma \left( X_{1}\right) ,\ \cdots ,\ \exists A_{n}\in
\sigma \left( X_{n}\right) :P\left( A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)
\not=P\left( A_{1}\right) \times \cdots \times P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)は従属である（dependent）と言います。

分布を用いた有限個の確率変数の独立性の表現

有限\(n\)個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられれば、ベクトル値写像\begin{equation*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) =\left( X_{1}\left(
\omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right)
\end{equation*}を値として定めます。加えて、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)がいずれも確率変数である場合には\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)が確率ベクトルになることが保証されます。

確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の分布を、\begin{gather*}\mu _{X_{1}}:\mathcal{B}\rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
\mu _{X_{n}}:\mathcal{B}\rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}でそれぞれ表記します。これらの分布がそれぞれのボレル集合\(B_{1},\cdots ,B_{n}\in \mathcal{B}\)に対して定める値は、\begin{gather*}\mu _{X_{1}}\left( B_{1}\right) =P\left( X_{1}\in B_{1}\right) =P\left(
X_{1}^{-1}\left( B_{1}\right) \right) \\
\vdots \\
\mu _{X_{n}}\left( B_{n}\right) =P\left( X_{1}\in B_{n}\right) =P\left(
X_{n}^{-1}\left( B_{n}\right) \right)
\end{gather*}です。また、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時分布を、\begin{equation*}\mu _{\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) }:\mathcal{B}^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。この同時分布がボレル集合\(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\in \mathcal{B}^{n}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\mu _{\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) }\left( B_{1}\times \cdots \times
B_{n}\right) &=&P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in B_{1}\times
\cdots \times B_{n}\right) \\
&=&P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) ^{-1}\left( B_{1}\times \cdots
\times B_{n}\right) \right) \\
&=&P\left( X_{1}^{-1}\left( B_{1}\right) \cap \cdots \cap X_{n}^{-1}\left(
B_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}です。

以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\forall B_{1}\times \cdots \times B_{n}\in \mathcal{B}^{n}:\mu _{\left(
X_{1},\cdots ,X_{n}\right) }\left( B_{1}\times \cdots \times B_{n}\right)
=\mu _{X_{1}}\left( B_{1}\right) \times \cdots \times \mu _{X_{n}}\left(
B_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B_{1}\times \cdots \times B_{n}\in \mathcal{B}^{n}:P\left( \left(
X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in B_{1}\times \cdots \times B_{n}\right)
=P\left( X_{1}\in B_{1}\right) \times \cdots \times P\left( X_{n}\in
B_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B_{1}\times \cdots \times B_{n}\in \mathcal{B}^{n}:P\left(
X_{1}^{-1}\left( B_{1}\right) \cap \cdots \cap X_{n}^{-1}\left( B_{n}\right)
\right) =P\left( X_{1}^{-1}\left( B_{1}\right) \right) \times \cdots \times
P\left( X_{n}^{-1}\left( B_{n}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことは、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であるための必要十分条件になります。

有限個の確率変数が独立であるための条件

有限\(n\)個の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であることを、\begin{equation*}\forall A_{1}\in \sigma \left( X_{1}\right) ,\ \cdots ,\ \forall A_{n}\in
\sigma \left( X_{n}\right) :P\left( A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)
=P\left( A_{1}\right) \times \cdots \times P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義するとともに、これは以下の条件\begin{equation*}
\forall B_{1}\times \cdots \times B_{n}\in \mathcal{B}^{n}:P\left( \left(
X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in B_{1}\times \cdots \times B_{n}\right)
=P\left( X_{1}\in B_{1}\right) \times \cdots \times P\left( X_{n}\in
B_{n}\right)
\end{equation*}と必要十分であることを示しました。したがって、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であることを示すためには、すべてのボレル集合\(B_{1},\cdots ,B_{n}\in \mathcal{B}\)に対して、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in B_{1}\times \cdots \times
B_{n}\right) =P\left( X_{1}\in B_{1}\right) \times \cdots \times P\left(
X_{n}\in B_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示す必要があります。ただ、ボレル集合は無数に存在するため、このような検証を実際に行うのは大変です。ただ、このような問題は解決可能です。具体的には以下の通りです。

実数または正の無限大を値としてとり得る拡大実数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする区間\begin{gather*}(-\infty ,x_{1}] \\
\vdots \\
(-\infty ,x_{1}] \end{gather*}をそれぞれとります。その上で、以下の条件\begin{multline*}
\forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} : \\
P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in (-\infty ,x_{1}]\times \cdots
\times (-\infty ,x_{n}]\right) =P\left( X_{1}\in (-\infty ,x_{1}]\right)
\times \cdots \times P\left( X_{n}\in (-\infty ,x_{n}]\right)
\end{multline*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} :P\left( X_{1}\leq x_{1}\wedge \cdots \wedge
X_{n}\leq x_{n}\right) =P\left( X_{1}\leq x_{1}\right) \times \cdots \times
P\left( X_{n}\leq x_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立になることが保証されます。