同時確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて2つの確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられれば、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を値として定めるベクトル値写像\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能であるとともに、これが同時確率変数になることが保証されます。
同時確率変数の定義より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left( X,Y\right) ^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合族です。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)を任意に選んだとき、「\(\left( X,Y\right) \)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(\left( X,Y\right) \)を同時確率変数と呼ぶということです。
以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \
|\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{XY}\left( B\right) =P\left( \left( X,Y\right) \in B\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\mu _{XY}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布（joint distribution）と呼びます。
ベクトル値写像\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)が同時確率変数であるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}は以下の条件\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left(
\omega \right) \leq y\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることは、写像\(\left( X,Y\right) \)が同時確率変数であるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left( \omega \right) \leq y\right\}
\right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布関数（joint distribution function）と呼びます。
離散型の同時確率変数
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R}^{2} \)がとり得る値の個数が有限ないし可算である場合には、すなわち、\(\left( X,Y\right) \)の値域\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( X,Y\right) \left(
\omega \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ \left( X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{eqnarray*}が高々可算集合（有限集合または可算集合）である場合には、\(\left( X,Y\right) \)を離散型の同時確率変数（discrete joint random variable）と呼びます。
\left\{ 1,2\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、任意の事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }
\end{equation*}を満たすものとして定義します。これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。「1回目に得るポイント」と「2回目に得るポイント」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。「1回目に得るポイント」特定する確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{1}=\text{表}\right) \\
-1 & \left( if\ \omega _{1}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}です。「2回目に得るポイント」特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{1}=\text{表}\right) \\
-1 & \left( if\ \omega _{1}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}です。同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) &=&\left( X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) ,Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \quad \because \left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{表}\right) \right) \\
\left( 1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{裏}\right) \right) \\
\left( -1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{表}\right) \right) \\
\left( -1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{裏}\right) \right)
\end{array}\right. \quad \because X,Y\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \ |\ X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) \leq x\wedge Y\left( \omega _{1},\omega
_{2}\right) \leq y\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏}\right) \right\} & \left( if\
-1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{裏},\text{表}\right) \right\} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq
1\right) \\
\left\{ \left( \text{裏},\text{裏}\right) ,\left( \text{表},\text{裏}\right) \right\} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq
y<1\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left( X,Y\right) \)は同時確率変数です。加えて、\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これは有限集合であるため、\(\left(X,Y\right) \)は離散型の同時確率変数です。
\left\{ 1,2\right\} :\omega _{i}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、任意の事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }
\end{equation*}を満たすものとして定義します。これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間です。「1投目に出る目」と「2投の目の合計」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。「1投目に出る目」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) =\omega _{1}
\end{equation*}を定めます。\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}です。「2投の目の合計」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) =\omega _{1}+\omega _{2}
\end{equation*}を定めます。\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left\{ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}
\end{equation*}です。同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) &=&\left( X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) ,Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \quad \because \left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&=&\left( \omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2}\right) \quad \because X,Y\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \ |\ X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) \leq x\wedge Y\left( \omega _{1},\omega
_{2}\right) \leq y\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<1\vee y<2\right) \\
\left\{ \left( 1,1\right) \right\} & \left( if\ 1\leq x<2\wedge 2\leq
y<3\right) \\
\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) \right\} & \left( if\ 1\leq
x<2\wedge 3\leq y<4\right) \\
\vdots & \\
\Omega & \left( if\ x\geq 6\wedge y\geq 12\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left( X,Y\right) \)は同時確率変数です。\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{Z} ^{2}\ |\ 1\leq x\leq 6\wedge 2\leq y\leq 12\right\} \\
&=&X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right)
\end{eqnarray*}ですが、これは有限集合であるため、\(\left(X,Y\right) \)は離散型の同時確率変数です。
同時確率変数の値域
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) &=&\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \quad \because \left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&\in &X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right) \quad \because X,Y\text{の定義}
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \subset X\left( \Omega \right)
\times Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}を満たします。つまり、\(\left( X,Y\right) \)の値域は\(X\)の値域と\(Y\)の値域の直積の部分集合です。ちなみに、以下の関係\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =X\left( \Omega \right) \times
Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めますが、スペードのカードは全部で13枚であるため、\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,\cdots ,13\right\}
\end{equation*}です。「プレイヤー\(2\)に配られるスペードの枚数」特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =\omega \text{において}2\text{が得るスペードの枚数}
\end{equation*}を定めますが、スペードのカードは全部で13枚であるため、\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,\cdots ,13\right\}
\end{equation*}です。同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( \omega \text{において}1\text{が得るスペードの枚数},\omega \text{において}2\text{が得るスペードの枚数}\right)
\end{equation*}を定めますが、スペードのカードは全部で13枚であり、また、すべてのカードを2人に配る場合にはすべてのスペードもまた2人に配られるため、\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \left\{ 0,1,\cdots ,13\right\} \wedge y\in \left\{ 0,1,\cdots
,13\right\} \wedge x+y=13\right\}
\end{equation*}となります。したがって、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \subset X\left( \Omega \right)
\times Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立つものの、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =X\left( \Omega \right) \times
Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立ちません。2人に合計\(13\)枚より多いスペードを配ることはできないからです。
確率変数\(X,Y\)がともに離散型である場合、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値域もまた有限集合または可算集合になることが保証されます。
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