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離散型の確率分布

離散型の同時確率変数(確率ベクトル)

目次

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離散型の同時確率変数

「コインを1回投げる」という試行の標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}であるように、試行において起こり得る標本点は数値であるとは限りません。確率に関して定量的な分析を行うためには、それぞれの標本点を数値として表現できれば何かと便利です。そこで、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}という概念を導入しました。

確率変数を利用すれば標本点が持つ特定の属性を数値化できます。ただ、確率変数はそれぞれの標本点に対して実数を1つずつ定めるルールであるため、標本点が持つ複数の属性を同時に扱うことはできません。標本点が持つ複数の属性の関係性を分析するためには複数の確率変数を同時に扱う必要があります。まずは、2つの確率変数を同時に扱う方法について解説します。

問題としている試行に関する2つの離散型確率変数\begin{eqnarray*}
X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられている状況を想定します。つまり、これらの値域\begin{eqnarray*}
X\left( \Omega \right) &=&\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
Y\left( \Omega \right) &=&\left\{ Y\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{eqnarray*}がともに有限集合ないし可算集合であるということです。これらの確率変数はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}X\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \\
Y\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を1つずつ定めます。以上の2つの確率変数\(X,Y\)が与えられれば、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、2次元ベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を1つずつ定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。これを離散型の同時確率変数(discrete joint random variable)や離散型の確率ベクトル(discrete random vector)などと呼びます。

例(離散型の同時確率変数)
「コインを2回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2\right) \)回目に出た面を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \ |\ \forall i\in
\left\{ 1,2\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。「1回目に得るポイント」と「2回目に得るポイント」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。「\(i\ \left( =1,2\right) \)回目に得るポイント」を特定する確率変数\(X_{i}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{1}=\text{表}\right) \\
-1 & \left( if\ \omega _{1}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
X_{i}\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}という有限集合であるため、\(X_{i}\)は離散型の確率変数です。離散型の同時確率変数\(\left( X_{1},X_{2}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X_{1},X_{2}\right) \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) &=&\left(
X_{1}\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) ,X_{2}\left( \omega _{1},\omega
_{2}\right) \right) \quad \because \left( X_{1},X_{2}\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{表}\right) \right) \\
\left( 1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{裏}\right) \right) \\
\left( -1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{表}\right) \right) \\
\left( -1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{裏}\right) \right)
\end{array}\right. \quad \because X_{1},X_{2}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。この同時確率変数の値域は、\begin{eqnarray*}
\left( X_{1},X_{2}\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left(
1,1\right) ,\left( 1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right)
\right\} \\
&=&X_{1}\left( \Omega \right) \times X_{2}\left( \Omega \right)
\end{eqnarray*}です。

例(離散型の同時確率変数)
「サイコロを2回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2\right) \)回目に出た目を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \ |\ \forall i\in
\left\{ 1,2\right\} :\omega _{i}\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \right\}
\end{equation*}です。「1投目に出る目」と「2投の目の合計」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。「1投目に出る目」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) =\omega _{1}
\end{equation*}を定めます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}という有限集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数です。「2投の目の合計」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) =\omega _{1}+\omega _{2}
\end{equation*}を定めます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
Y\left( \Omega \right) =\left\{ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}
\end{equation*}という有限集合であるため、\(Y\)は離散型の確率変数です。離散型の同時確率変数\(\left(X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) &=&\left( X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) ,Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \quad \because \left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&=&\left( \omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2}\right) \quad \because X,Y\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。この同時確率変数の値域は、\begin{eqnarray*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{Z} ^{2}\ |\ 1\leq x\leq 6\wedge 2\leq y\leq 12\right\} \\
&=&X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right)
\end{eqnarray*}です。

 

同時確率変数の値域

同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) &=&\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \quad \because \left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&\in &X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right) \quad \because X,Y\text{の定義}
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \subset X\left( \Omega \right)
\times Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}を満たします。つまり、\(\left( X,Y\right) \)の値域は\(X\)の値域と\(Y\)の値域の直積の部分集合です。ちなみに、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =X\left( \Omega \right) \times
Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}という関係は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(離散型の同時確率変数の値域)
「52枚のトランプを2人に対して26枚ずつ配る」という試行を行います。標本空間\(\Omega \)はトランプのすべての配り方からなる集合です。2人のプレイヤーを\(1,2\)とそれぞれ呼びます。「プレイヤー\(1\)に配られるスペードの枚数」と「プレイヤー\(2\)に配られるスペードの枚数」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。「プレイヤー\(i\ \left(=1,2\right) \)に配られるスペードの枚数」を特定する確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega \right) =\left\{ \omega \text{において}i\text{が得るスペードの枚数}\right\}
\end{equation*}を定めますが、スペードのカードは全部で13枚であるため、その値域は、\begin{equation*}
X_{i}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,\cdots ,13\right\}
\end{equation*}です。同時確率変数\(\left( X_{1},X_{2}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X_{1},X_{2}\right) \left( \omega \right) =\left\{ \left( \omega \text{において}1\text{が得るスペードの枚数},\omega \text{において}2\text{が得るスペードの枚数}\right) \right\}
\end{equation*}を定めますが、スペードのカードは全部で13枚であり、また、すべてのカードを2人に配る場合にはすべてのスペードもまた2人に配られるため、\(\left( X_{1},X_{2}\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X_{1},X_{2}\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\in \left\{ 0,1,\cdots ,13\right\} \wedge x_{2}\in \left\{
0,1,\cdots ,13\right\} \wedge x_{1}+x_{2}=13\right\}
\end{equation*}となります。したがって、\begin{equation*}
\left( X_{1},X_{2}\right) \left( \Omega \right) \subset X_{1}\left( \Omega
\right) \times X_{2}\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立つものの、\begin{equation*}
\left( X_{1},X_{2}\right) \left( \Omega \right) =X_{1}\left( \Omega \right)
\times X_{2}\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立ちません。2人に合計\(13\)枚より多いスペードを配ることはできないからです。

確率変数\(X,Y\)がともに離散型である場合、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値域もまた有限集合または可算集合になることが保証されます。

命題(離散型の同時確率変数)
確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がともに離散型であるならば、それらの同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)もまた離散型である。
証明

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演習問題

問題(離散型の同時確率変数)
「サイコロを4回投げる」という試行において、「1投目と2投目の目の和」と「3投目と4頭目の目の和」の関係性を分析するためにはどのような同時確率変数を利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。

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問題(離散型の同時確率変数)
「コインを10回投げて出た面を観察する」という試行において、「最初の5投において表が出た回数」と「最後の5投において表が出た回数」の関係性を分析するためにはどのような同時確率変数を利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。

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