同一分布にしたがう有限個の離散型確率変数

同一分布にしたがう有限個の確率変数

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられている場合、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する」という事象は、\(X\left( \omega \right) \in A\)を満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\}
\end{equation*}として表現されるため、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象が起こる確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in A\right\} \right)
\end{equation*}となります。任意の集合\(A\subset \mathbb{R} \)に対して、確率変数\(X\)の値が\(A\)に属する確率\(P\left( X\in A\right) \)が明らかになっている場合、そのような情報の集まりを確率変数\(X\)の確率分布と呼びました。

問題としている試行に関する確率ベクトル\begin{equation*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。集合\(A\subset \mathbb{R} \)を選んだとき、個々の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の値が集合\(A\)に属する確率は、\begin{eqnarray*}P\left( X_{1}\in A\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X_{1}\left( \omega \right) \in A\right\} \right) \\
&&\vdots \\
P\left( X_{n}\in A\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X_{n}\left( \omega \right) \in A\right\} \right)
\end{eqnarray*}となります。\(n\)個の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が同一の確率分布にしたがうこととは、どのような集合\(A\subset \mathbb{R} \)を選んだ場合でも、個々の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の値が集合\(A\)に属する確率が一致すること、すなわち、\begin{equation*}\forall A\subset \mathbb{R} :P\left( X_{1}\in A\right) =\cdots =P\left( X_{n}\in A\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が同一の確率分布にしたがうことを同一分布にしたがう（identically distributed）と言うこともできます。

同一分布にしたがう有限個の離散型確率変数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、離散型の確率ベクトル\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられており、その同時確率分布が同時確率質量関数\begin{equation*}
f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値がベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)と一致する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\right) =f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}であり、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =\sum_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots
\times A_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}であるということです。

同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を周辺化することにより個々の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率分布を描写する周辺確率質量関数\begin{eqnarray*}f_{X_{1}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
f_{X_{n}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。周辺確率質量関数の定義より、集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
P\left( X_{1}\in A_{1}\right) =\sum\limits_{x_{1}\in A_{1}}f_{X_{1}}\left(
x_{1}\right) \\
\vdots \\
P\left( X_{n}\in A_{n}\right) =\sum\limits_{x_{n}\in A_{n}}f_{X_{n}}\left(
x_{n}\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}がいずれも成り立つことに注意してください。

先に定義したように、確率関数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が同一分布にしたがうことは、\begin{equation*}\forall A\subset \mathbb{R} :P\left( X_{1}\in A\right) =\cdots =P\left( X_{n}\in A\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\left( 1\right) \)を用いると、これを、\begin{equation*}\forall A\subset \mathbb{R} :\sum_{x_{1}\in A}f_{X_{1}}\left( x_{1}\right) =\cdots =\sum_{x_{n}\in
A}f_{X_{n}}\left( x_{n}\right)
\end{equation*}と表現できます。そこで、以上の条件によって離散型の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が同一分布にしたがうことの定義とします。

有限個の離散型確率変数が同一分布にしたがうことを以下のように表現することもできます。

確率変数どうしは同一分布にしたがうとは限りません。以下の例より明らかです。

分布関数を用いた離散型確率変数が同一分布にしたがうことの表現

有限個の確率変数が同一分布にしたがうことを分布関数を用いて表現することもできます。具体的には以下の通りです。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の同時確率分布が同時分布関数\begin{equation*}F_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値がベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( X_{1}\leq x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right)
&=&F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
&=&\sum_{y_{1}\leq x_{1}}\cdots \sum_{y_{n}\leq x_{n}}f_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\end{eqnarray*}です。同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を周辺化することにより個々の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率分布を描写する周辺分布関数\begin{eqnarray*}F_{X_{1}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
F_{X_{n}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。周辺分布関数の定義より、点\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F_{X_{1}}\left( x_{1}\right) &=&P\left( X_{1}\leq x_{1}\right)
=\sum_{y_{1}\leq x_{1}}f_{X_{1}}\left( y_{1}\right) \\
&&\vdots \\
F_{X_{n}}\left( x_{n}\right) &=&P\left( X_{n}\leq x_{n}\right)
=\sum_{y_{1}\leq x_{n}}f_{X_{n}}\left( y_{n}\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことに注意してください。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :F_{X_{1}}\left( x_{1}\right) =\cdots =F_{X_{n}}\left( x_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が同一分布にしたがうための必要十分条件になります。

演習問題