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離散型の確率分布

離散型の有限確率変数族の独立性

目次

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確率変数族の独立性

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、有限\(n\)個の事象\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}\forall J\subset \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。以上を踏まえた上で、有限\(n\)個の確率変数が独立であることの意味を定義します。

問題としている試行に関する有限\(n\)個の確率変数\begin{eqnarray*}X_{1} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}に加えて、それらの多変量確率変数\begin{equation*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(n\)個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「確率変数\(X_{i}\ \left( i=1,\cdots,n\right) \)の値が集合\(A_{i}\)に属する」という事象は、\begin{equation}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{i}\left( \omega \right) \in A_{i}\right\}
\quad \left( i=1,\cdots ,n\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、事象族の独立性の定義より、有限\(n\)個の事象\(\left( 1\right) \)が独立であることとは、\begin{equation*}\forall J\subset \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :P\left( \bigcap_{i\in
J}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{i}\left( \omega \right) \in
A_{i}\right\} \right) =\prod_{i\in J}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X_{i}\left( \omega \right) \in A_{i}\right\} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall A_{1},\cdots ,A_{n}\in 2^{\mathbb{R} },\ \forall J\subset \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :P\left( \left(
X_{i}\right) _{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left(
X_{i}\in A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

以上を踏まえた上で、任意の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} \)に対して有限\(n\)個の事象\(\left( 1\right) \)が独立である場合(もしくは独立であることを仮定する場合)には、すなわち、\begin{equation*}\forall A_{1},\cdots ,A_{n}\in 2^{\mathbb{R} },\ \forall J\subset \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :P\left( \left(
X_{i}\right) _{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left(
X_{i}\in A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)は独立である(independent)と言います。同じことを、確率変数族\(\left\{X_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が独立であると言うこともできます。一方、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立ではない場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists A_{1},\cdots ,A_{n}\in 2^{\mathbb{R} },\ \exists J\subset \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :P\left( \left(
X_{i}\right) _{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) \not=\prod_{i\in
J}P\left( X_{i}\in A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)は従属である(dependent)と言います。同じことを、確率変数族\(\left\{X_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が従属であると言うこともできます。

 

独立な離散型多変量確率変数の多変量確率関数の性質

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて有限\(n\)個の離散型の確率変数\begin{eqnarray*}X_{1} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているとともに、これらの確率分布が確率関数\begin{eqnarray*}
f_{X_{1}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
f_{X_{n}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}としてそれぞれ記述されているものとします。確率関数の定義より、集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray}P\left( X_{1}\in A_{1}\right) &=&\sum_{x_{1}\in A_{1}}f_{X_{1}}\left(
x_{1}\right) \notag \\
&&\vdots \quad \cdots (1) \\
P\left( X_{n}\in A_{n}\right) &=&\sum_{x_{n}\in A_{n}}f_{X_{n}}\left(
x_{n}\right) \notag
\end{eqnarray}という関係が成り立ちます。以上の\(n\)個の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の多変量確率変数は、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であり、その多変量確率分布が多変量確率関数\begin{equation*}
f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として記述されているものとします。多変量確率関数の定義より、集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =\sum_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots
\times A_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立ちます。先に定義したように、確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であることは、\begin{equation*}\forall A_{1},\cdots ,A_{n}\in 2^{\mathbb{R} },\ \forall J\subset \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :P\left( \left(
X_{i}\right) _{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left(
X_{i}\in A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。特に、\begin{equation*}
J=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\forall A_{1},\cdots ,A_{n}\in 2^{\mathbb{R} }:P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =\prod_{i=1}^{n}P\left( X_{i}\in A_{i}\right)
\end{equation*}を得るため、\(\left( 1\right) ,\left(2\right) \)を用いると、これを、\begin{equation}\forall A_{1},\cdots ,A_{n}\in 2^{\mathbb{R} }:\sum_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
=\prod_{i=1}^{n}\sum_{x_{i}\in A_{i}}f_{X_{i}}\left( x_{i}\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}と表現できます。\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には\(\left( 3\right) \)が成り立つことが明らかになりましたが、逆は成立するとは限りません。つまり、\(\left( 3\right) \)が成り立つ場合に\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)は独立であるとは限りません。実際、先の議論より明らかであるように、\(\left( 3\right) \)は独立性の条件を構成する特殊な場合\(J=\left\{1,2,\cdots ,n\right\} \)に過ぎないからです。

先の主張\(\left( 3\right) \)から以下を導くこともできます。

命題(独立な離散型多変量確率変数の多変量確率関数の性質)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて有限\(n\)個の離散型確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ与えられており、それらの確率分布が確率関数\(f_{X_{1}},\cdots ,f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)としてそれぞれ表現されているものとする。さらに、多変量確率変数\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の多変量確率分布が多変量確率関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとする。このとき、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、\begin{equation*}\forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} :f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =f_{X_{1}}\left(
x_{1}\right) \times \cdots \times f_{X_{n}}\left( x_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(独立な離散型多変量確率変数の多変量確率関数の性質)
3個の離散型確率変数\(X,Y,Z\)が独立である場合には、上の命題より、任意の実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right)
\cdot f_{Z}\left( z\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

これまでの議論では多変量確率変数\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の多変量確率関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)と個々の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の確率関数\(f_{X_{1}},\cdots ,f_{X_{n}}\)がいずれも明らかである状況を想定していました。一方、多変量確率関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が明らかである一方で個々の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の確率関数\(f_{X_{1}},\cdots ,f_{X_{n}}\)が明らかでない場合には、\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)からそれぞれの確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)に関する周辺確率関数を導き、それらを\(f_{X_{1}},\cdots ,f_{X_{n}}\)として採用します。その上で、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、\begin{equation*}\forall A_{1},\cdots ,A_{n}\in 2^{\mathbb{R} }:\sum_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
=\prod_{i=1}^{n}\sum_{x_{i}\in A_{i}}f_{X_{i}}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ここから以下を導くこともできます。

命題(独立な離散型多変量確率変数の多変量確率関数の性質)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて有限\(n\)個の離散型確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)と多変量確率変数\(\left(X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられており、さらに\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の多変量確率分布が多変量確率関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとする。\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)から導かれた変数\(X_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の周辺確率関数が\(f_{X_{i}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。さらに、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、\begin{equation*}\forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} :f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =f_{X_{1}}\left(
x_{1}\right) \times \cdots \times f_{X_{n}}\left( x_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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独立な離散型多変量確率変数の多変量分布関数の性質

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて有限\(n\)個の離散型の確率変数\begin{eqnarray*}X_{1} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているとともに、これらの確率分布が分布関数\begin{eqnarray*}
F_{X_{1}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
F_{X_{n}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}としてそれぞれ記述されているものとします。分布関数の定義より、点\(x_{1},\cdots ,x_{n}\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F_{X_{1}}\left( x_{1}\right) &=&P\left( X_{1}\leq x_{1}\right)
=\sum_{y_{1}\leq x_{1}}f_{X_{1}}\left( y_{1}\right) \\
&&\vdots \\
F_{X_{n}}\left( x_{n}\right) &=&P\left( X_{n}\leq x_{n}\right)
=\sum_{y_{n}\leq x_{n}}f_{X_{n}}\left( y_{n}\right)
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。以上の\(n\)個の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の多変量確率変数は、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であり、その多変量確率分布が多変量分布関数\begin{equation*}
F_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として記述されているものとします。多変量分布関数の定義より、点\(x_{1},\cdots ,x_{n}\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) &=&P\left( X_{1}\leq
x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right) \\
&=&\sum_{y_{1}\leq x_{1}}\cdots \sum_{y_{n}\leq x_{n}}f_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上の事実と先の命題を踏まえると、\begin{equation*}
\forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} :F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =F_{X_{1}}\left(
x_{1}\right) \times \cdots \times F_{X_{n}}\left( x_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。

命題(独立な離散型多変量確率変数の多変量確率関数の性質)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて有限\(n\)個の離散型確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ与えられており、それらの確率分布が分布\(F_{X_{1}},\cdots ,F_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)としてそれぞれ表現されているものとする。さらに、多変量確率変数\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の多変量確率分布が多変量分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとする。このとき、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、\begin{equation*}\forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} :F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =F_{X_{1}}\left(
x_{1}\right) \times \cdots \times F_{X_{n}}\left( x_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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上の命題では多変量確率変数\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の多変量分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)と個々の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の分布関数\(F_{X_{1}},\cdots ,F_{X_{n}}\)がいずれも明らかである状況を想定していました。一方、多変量分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が明らかである一方で個々の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の分布関数\(F_{X_{1}},\cdots ,F_{X_{n}}\)が明らかでない場合には、\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)からそれぞれの確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)に関する周辺分布関数を導き、それらを\(F_{X_{1}},\cdots ,F_{X_{n}}\)として採用します。

命題(独立な離散型多変量確率変数の多変量分布関数の性質)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて有限\(n\)個の離散型確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)と多変量確率変数\(\left(X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられており、さらに\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の多変量確率分布が多変量分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとする。\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)から導かれた変数\(X_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の周辺分布関数が\(F_{X_{i}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。さらに、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立である場合には、\begin{equation*}\forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} :F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =F_{X_{1}}\left(
x_{1}\right) \times \cdots \times F_{X_{n}}\left( x_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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