独立同一分布にしたがう有限個の確率変数
問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられている場合、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する」という事象は、\(X\left( \omega \right) \in A\)を満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\}
\end{equation*}として表現されるため、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象が起こる確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in A\right\} \right)
\end{equation*}となります。任意の集合\(A\subset \mathbb{R} \)に対して、確率変数\(X\)の値が\(A\)に属する確率\(P\left( X\in A\right) \)が明らかになっている場合、そのような情報の集まりを確率変数\(X\)の確率分布と呼びました。
問題としている試行に関する確率ベクトル\begin{equation*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられている状況において、\(n\)個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が独立であることは、任意の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} \)に対して、以下の\(n\)個の事象\begin{gather*}\text{確率変数}X_{1}\text{の値が集合}A_{1}\text{に属する} \\
\vdots \\
\text{確率変数}X_{n}\text{の値が集合}A_{n}\text{に属する}
\end{gather*}が独立であることとして定義されます。つまり、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立であることは、\begin{equation*}\forall A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} ,\ \forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \left( X_{i}\right)
_{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( X_{i}\in
A_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
一方、\(n\)個の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が同一分布にしたがうことは、任意の集合\(A\subset \mathbb{R} \)に対して、以下の\(n\)個の確率\begin{gather*}P\left( X_{1}\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X_{1}\left( \omega \right) \in A\right\} \right) \\
\vdots \\
P\left( X_{n}\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X_{n}\left( \omega \right) \in A\right\} \right)
\end{gather*}が一致することとして定義されます。つまり、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が同一分布にしたがうことは、\begin{equation*}\forall A\subset \mathbb{R} :P\left( X_{1}\in A\right) =\cdots =P\left( X_{n}\in A\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
以上を踏まえた上で、問題としている試行に関する確率ベクトル\begin{equation*}
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、\(n\)個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が独立かつ同一分布にしたがう場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} ,\ \forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \left( X_{i}\right)
_{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( X_{i}\in
A_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall A\subset \mathbb{R} :P\left( X_{1}\in A\right) =\cdots =P\left( X_{n}\in A\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)は独立同一分布にしたがう（independent and identically distributed）と言います。英語の頭文字をとって、独立同一分布にしたがうことを、i.i.dやIIDなどと表記するのが慣例です。
独立同一分布にしたがう有限個の離散型確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、離散型の確率ベクトル\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられており、その同時確率分布が同時確率質量関数\begin{equation*}
f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値がベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)と一致する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\right) =f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}であり、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =\sum_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots
\times A_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}であるということです。
同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を周辺化することにより個々の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率分布を描写する周辺確率質量関数\begin{eqnarray*}f_{X_{1}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
f_{X_{n}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。周辺確率質量関数の定義より、集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
P\left( X_{1}\in A_{1}\right) =\sum\limits_{x_{1}\in A_{1}}f_{X_{1}}\left(
x_{1}\right) \\
\vdots \\
P\left( X_{n}\in A_{n}\right) =\sum\limits_{x_{n}\in A_{n}}f_{X_{n}}\left(
x_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}がいずれも成り立つことに注意してください。
先に定義したように、確率関数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立同一分布にしたがうことは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} ,\ \forall J\subset \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \left( X_{i}\right)
_{i\in J}\in \prod_{i\in J}A_{i}\right) =\prod_{i\in J}P\left( X_{i}\in
A_{i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall A\subset \mathbb{R} :P\left( X_{1}\in A\right) =\cdots =P\left( X_{n}\in A\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味しますが、これを同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)および周辺確率質量関数\(f_{X_{1}},\cdots,f_{X_{n}}\)を用いて以下のように表現できます。
x_{1}\right) \times \cdots \times f_{X_{n}}\left( x_{n}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f_{X_{1}}\left( x\right) =\cdots =f_{X_{n}}\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立同一分布にしたがうための必要十分条件である。
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。「コイン\(1\)の面が表である回数」を特定する確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)と「コイン\(2\)の面が表である回数」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「コイン\(3\)の面が表である回数」を特定する確率変数\(Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、同時確率変数\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)がそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
&=&\left( X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Y\left( \omega
_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,1,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 1,0,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 0,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,0,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 0,1,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 0,0,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 0,0,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。\(\left( X,Y,Z\right) \)の値域は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( x,y,z\right)
\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x,y,z\in \left\{ 0,1\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 0,1\right\} ^{3}
\end{eqnarray*}です。3枚のコインがいずれも偏りがないものとします。標本空間\(\Omega \)には\(2^{3}=8\)個の標本点が属しますが、仮定よりこれらはいずれも同じ程度の確かさで起こるため、同時確率質量関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{8} & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in \left( X,Y,Z\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、\(X\)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。確率変数\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、\(Y\)の周辺確率質量関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ y\in Y\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}を定めます。確率変数\(Z\)の値域は、\begin{equation*}Z\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、\(Z\)の周辺確率質量関数\(f_{Z}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{Z}\left( z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ z\in Z\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (4)
\end{equation}を定めます。\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y,z\right) \in \left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\frac{1}{8}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right) \cdot f_{Z}\left(
z\right) \quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(\left( x,y,z\right) \not\in\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0\cdot 0\cdot 0 \\
&=&f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right) \cdot f_{Z}\left(
z\right) \quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\(X,Y,Z\)は独立です。また、\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =f_{Y}\left( x\right) =f_{Z}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(X,Y,Z\)は同一分布にしたがいます。以上より、\(X,Y,Z\)は独立同一分布にしたがうことが明らかになりました。
確率変数どうしは独立同一分布にしたがうとは限りません。まずは独立である一方で同一分布にしたがわない確率変数の例を挙げます。
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。「コイン\(1\)の面が表である回数」を特定する確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)と「コイン\(2\)の面が表である回数」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「コイン\(3\)の面が表である回数」を特定する確率変数\(Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、同時確率変数\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)がそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
&=&\left( X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Y\left( \omega
_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,1,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 1,0,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 0,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 1,0,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{表},\text{裏},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 0,1,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{表},\text{裏}\right)
\right) \\
\left( 0,0,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{表}\right)
\right) \\
\left( 0,0,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{裏},\text{裏},\text{裏}\right)
\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。コイン\(1\)とコイン\(2\)は偏りがなく表と裏が等確率で出る一方で、コイン\(3\)には偏りがあり表の方が出やすい傾向があるものとします。その結果、同時確率質量関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{6} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,1,1\right) \right)
\\
\frac{1}{12} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,1,0\right) \right)
\\
\frac{1}{6} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,0,1\right) \right)
\\
\frac{1}{6} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,1,1\right) \right)
\\
\frac{1}{12} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,0,0\right) \right)
\\
\frac{1}{12} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,1,0\right) \right)
\\
\frac{1}{6} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,0,1\right) \right)
\\
\frac{1}{12} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,0,0\right) \right)
\\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X,Y,Z\)は独立である一方で同一分布にしたがいません（演習問題）。
続いて、同一分布にしたがう一方で独立ではない確率変数の例を挙げます。
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{グー},\text{チョキ},\text{パー}\right\}
\right\}
\end{equation*}です。「グーを出す人数」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「チョキを出す人数」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「パーを出す人数」を特定する確率変数\(Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、同時確率変数\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)がそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
&=&\left( X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Y\left( \omega
_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Z\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\left( 3,0,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{グー},\text{グー},\text{グー}\right) \right) \\
\left( 0,3,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{チョキ},\text{チョキ},\text{チョキ}\right) \right) \\
\left( 0,0,3\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{パー},\text{パー},\text{パー}\right) \right) \\
& \vdots \\
\left( 1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{グー},\text{チョキ},\text{パー}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。それぞれのプレイヤーは3つの手を等確率で出すものとします。その結果、同時確率質量関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 3,0,0\right) \right)
\\
\frac{1}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,3,0\right) \right)
\\
\frac{1}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,0,3\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 2,1,0\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 2,0,1\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,2,0\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,2,1\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,0,2\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,1,2\right) \right)
\\
\frac{6}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,1,1\right) \right)
\\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X,Y,Z\)は同一分布にしたがう一方で独立ではありません（演習問題）。
最後に、独立ではなく同一分布にもしたがわない確率変数の例を挙げます。
\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{グー},\text{チョキ},\text{パー}\right\}
\right\}
\end{equation*}です。「グーを出す人数」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「チョキを出す人数」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「パーを出す人数」を特定する確率変数\(Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、同時確率変数\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)がそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y,Z\right) \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right)
&=&\left( X\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Y\left( \omega
_{1},\omega _{2},\omega _{3}\right) ,Z\left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\left( 3,0,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{グー},\text{グー},\text{グー}\right) \right) \\
\left( 0,3,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{チョキ},\text{チョキ},\text{チョキ}\right) \right) \\
\left( 0,0,3\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{パー},\text{パー},\text{パー}\right) \right) \\
& \vdots \\
\left( 1,1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2},\omega
_{3}\right) =\left( \text{グー},\text{チョキ},\text{パー}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。プレイヤー\(1\)とプレイヤー\(2\)はそれぞれの手を等確率で出す一方で、プレイヤー\(3\)は必ずグーを出すものとします。その結果、同時確率質量関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 3,0,0\right) \right)
\\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,3,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,0,3\right) \right) \\
\frac{2}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 2,1,0\right) \right)
\\
\frac{2}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 2,0,1\right) \right)
\\
\frac{1}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,2,0\right) \right)
\\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,2,1\right) \right) \\
\frac{1}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,0,2\right) \right)
\\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,1,2\right) \right) \\
\frac{2}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,1,1\right) \right)
\\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X,Y,Z\)は独立ではなく同一分布にもしたがいません（演習問題）。
分布関数を用いた離散型確率変数が独立同一分布にしたがうことの表現
確率変数が独立同一分布にしたがうことを分布関数を用いて表現することもできます。具体的には以下の通りです。
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、離散型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の同時確率分布が同時分布関数\begin{equation*}F_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値がベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( X_{1}\leq x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right)
&=&F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
&=&\sum_{y_{1}\leq x_{1}}\cdots \sum_{y_{n}\leq x_{n}}f_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\end{eqnarray*}です。同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を周辺化することにより個々の確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率分布を描写する周辺分布関数\begin{eqnarray*}F_{X_{1}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
F_{X_{n}} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。周辺分布関数の定義より、点\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F_{X_{1}}\left( x_{1}\right) &=&P\left( X_{1}\leq x_{1}\right)
=\sum_{y_{1}\leq x_{1}}f_{X_{1}}\left( y_{1}\right) \\
&&\vdots \\
F_{X_{n}}\left( x_{n}\right) &=&P\left( X_{n}\leq x_{n}\right)
=\sum_{y_{1}\leq x_{n}}f_{X_{n}}\left( y_{n}\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことに注意してください。
以上を踏まえたとき、有限個の離散型確率変数\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立同一分布にしたがうことを以下のように表現することもできます。
x_{1}\right) \times \cdots \times F_{X_{n}}\left( x_{n}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :F_{X_{1}}\left( x\right) =\cdots =F_{X_{n}}\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)が独立同一分布にしたがうための必要十分条件である。
演習問題
\end{equation*}であるとともに、同時確率質量関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{6} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,1,1\right) \right)
\\
\frac{1}{12} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,1,0\right) \right)
\\
\frac{1}{6} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,0,1\right) \right)
\\
\frac{1}{6} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,1,1\right) \right)
\\
\frac{1}{12} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,0,0\right) \right)
\\
\frac{1}{12} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,1,0\right) \right)
\\
\frac{1}{6} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,0,1\right) \right)
\\
\frac{1}{12} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,0,0\right) \right)
\\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X,Y,Z\)は独立である一方で同一分布にしたがわないことを示してください。
\end{equation*}であるとともに、同時確率質量関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 3,0,0\right) \right)
\\
\frac{1}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,3,0\right) \right)
\\
\frac{1}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,0,3\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 2,1,0\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 2,0,1\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,2,0\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,2,1\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,0,2\right) \right)
\\
\frac{3}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,1,2\right) \right)
\\
\frac{6}{27} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,1,1\right) \right)
\\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X,Y,Z\)は同一分布にしたがう一方で独立ではないことを示してください。
\end{equation*}であるとともに、同時確率質量関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 3,0,0\right) \right)
\\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,3,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,0,3\right) \right) \\
\frac{2}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 2,1,0\right) \right)
\\
\frac{2}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 2,0,1\right) \right)
\\
\frac{1}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,2,0\right) \right)
\\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,2,1\right) \right) \\
\frac{1}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,0,2\right) \right)
\\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 0,1,2\right) \right) \\
\frac{2}{9} & \left( if\ \left( x,y,z\right) =\left( 1,1,1\right) \right)
\\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X,Y,Z\)は同一分布にしたがわず独立でもないことを示してください。
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