離散型確率変数の条件付き確率質量関数

離散型確率変数の条件付き確率質量関数

ある試行に関する確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)が与えられたとき、その試行によって事象\(A\in \mathcal{F}\)が起こるかどうかを事前に観察できないものの、何らかの事情により、別の事象\(B\in \mathcal{F}\)が起きたことが観察された場合（もしくは、事象\(B\)が起きているものと仮定する場合）に事象\(A\)が起こる確率を\(P\left( A\right) \)と評価したのでは、事象\(B\)が起きているという追加的な情報を活用できておらず望ましくありません。このような事情を踏まえた上で、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)について、事象\(B\)が起きたという条件、すなわち\(P\left( B\right) >0\)が成り立つ場合の事象\(A\)の条件付き確率を、\begin{equation*}P\left( A|B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}と定義しました。以上を踏まえた上で、確率変数に関する条件付き確率を定義します。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。一方の確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の実現値が集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に属するという条件のもとでもう一方の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値が集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に属する条件付き確率\begin{equation*}P\left( X\in A|Y\in B\right)
\end{equation*}をどのように評価すればよいでしょうか。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は数直線\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。

2つの集合\(A,B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、「確率変数\(X\)の実現値が\(A\)に属する」という事象は、\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\}
\end{equation*}であり、「確率変数\(Y\)の実現値が\(B\)に属する」という事象は、\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \in B\right\}
\end{equation*}です。以上の2つの積事象は「確率変数\(X\)の実現値が\(A\)に属するとともに確率変数\(Y\)の実現値が\(B\)に属する」という事象ですが、これは、\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge Y\left(
\omega \right) \in B\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in
A\times B\right\}
\end{equation*}です。したがって、確率変数\(Y\)の実現値が\(B\)に属するという条件のもとで確率変数\(X\)の実現値が\(A\)に属する条件付き確率は、\begin{eqnarray*}P\left( X\in A|Y\in B\right) &=&\frac{P\left( \left\{ \omega \in \Omega \
|\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in A\times B\right\} \right) }{P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \in B\right\}
\right) }\quad \because \text{条件付き確率の定義} \\
&=&\frac{P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) }{P\left( Y\in
B\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\begin{equation*}
P\left( Y\in B\right) >0
\end{equation*}である状況を想定していることに注意してください。

以上を踏まえると、実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、確率変数\(Y\)の実現値が\(y\)であるという条件のもとで確率変数\(X\)の実現値が\(x\)である条件付き確率は、\begin{eqnarray*}P\left( X\geq x|Y=y\right) &=&P\left( X\in \left\{ x\right\} |Y\in \left\{
y\right\} \right) \\
&=&\frac{P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left(
\omega \right) \in \left\{ x\right\} \times \left\{ y\right\} \right\}
\right) }{P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \in
\left\{ y\right\} \right\} \right) }\quad \because \text{条件付き確率の定義} \\
&=&\frac{P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right)
=x\wedge Y\left( \omega \right) =y\right\} \right) }{P\left( \left\{ \omega
\in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) =y\right\} \right) } \\
&=&\frac{P\left( X=x\wedge Y=y\right) }{P\left( Y=y\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\begin{equation*}
P\left( Y=y\right) >0
\end{equation*}である状況を想定していることに注意してください。

以上を踏まえると、\begin{equation*}
P\left( Y=y\right) >0
\end{equation*}を満たす\(y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X|Y=y}\left( x\right) =P\left( X=x|Y=y\right)
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
f_{X|Y=y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(Y=y\)のもとでの\(X\)の条件付き確率質量関数（conditional probability mass function of \(X\)given \(Y=y\)）や条件付き確率関数（conditional probability function）などと呼びます。なお、\(Y=y\)のもとでの\(X\)の条件付き確率質量関数を、\begin{equation*}f_{X|Y}\left( \cdot |y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記する流儀もあります。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}\)と確率変数\(Y\)の周辺確率質量関数\(f_{Y}\)が与えられれば、\(Y=y\)のもとでの\(X\)の条件付き確率質量関数\(f_{X|Y=y}\)を以下の要領で特定できます。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の命題が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

条件付き確率分布としての条件付き確率質量関数

2つの離散型確率変数\(X,Y\)対して\(Y=y\)のもとでの\(X\)の条件付き確率質量関数\(f_{X|Y=y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合、\(Y\)の値が\(y\)という条件のもとで\(X\)の値が\(x\)である確率に関して、\begin{equation*}P\left( X=x|Y=y\right) =f_{X|Y=y}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、以上を踏まえると、\(Y\)の値が\(y\)という条件のもとで\(X\)の値が集合\(A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A|Y=y\right) =\sum_{x\in A}f_{X|Y=y}\left( x\right)
\end{equation*}と定まります。つまり、集合\(A\)に属するそれぞれの値\(x\)に対する条件付き確率\(f_{X|Y=y}\left( x\right) \)をとり、それらの総和をとれば\(P\left( X\in A|Y=y\right) \)が得られるということです。ただし、\(A\)が有限集合の場合には右辺は有限個の実数の和であり、\(A\)が可算集合の場合には右辺は無限級数の和です。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の命題が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

条件付き確率質量関数の非負性

条件付き確率質量関数は非負の実数を値としてとります。特に、確率変数の値域に属さない値に対して、条件付き確率質量関数はゼロを値として定めます。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の命題が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

条件付き確率質量関数の値の総和

確率変数がとり得るそれぞれの値に対して条件付き確率質量関数が定める値の総和をとると\(1\)になります。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の命題が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

演習問題