離散型同時確率変数の同時確率質量関数

同時確率変数の同時確率分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられている場合、\(\left( X,Y\right) \)の値がある集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)に属する確率を、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
P\left( X\in A\wedge Y\in B\right)
\end{equation*}で表記するものと定めます。これをどのように評価すればよいでしょうか。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)はそれぞれの標本点\(\omega \in\Omega \)に対してベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を1つずつ定めるため、「同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の値が集合\(A\times B\)に属する」という事象は、\(\left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in A\times B\)を満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in
A\times B\right\}
\end{equation*}として表現されます。したがって、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が集合\(A\times B\)に属する」という事象が起こる確率は、\begin{eqnarray*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) &=&P\left( \left\{ \omega
\in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in A\times
B\right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in A\times B\right\} \right) \quad \because
\left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge
Y\left( \omega \right) \in B\right\} \right) \quad \because \text{直積の定義}
\end{eqnarray*}となります。

それぞれの集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)に対して確率\(P\left( \left(X,Y\right) \in A\times B\right) \)が明らかになっている場合には、そのような情報の集まりを同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布（joint probability distributioin）と呼びます。確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている場合には、すなわち試行によって起こり得るそれぞれの事象の確率が分かっている場合には、何らかの同時確率変数を導入したとき、その同時確率分布もまた明らかになるということです。

離散型同時確率変数の同時確率質量関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとします。繰り返しになりますが、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge Y\left( \omega \right) \in
B\right\} \right)
\end{equation*}と定義されます。より特殊なケースとして、同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の値が特定のベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と一致する確率を、\begin{equation*}P\left( X=x\wedge Y=y\right)
\end{equation*}と表記した上で、これを\(\left( X,Y\right) \)の値が1点集合\(\left\{ \left( x,y\right) \right\} \)に属する確率と同一視します。つまり、\begin{eqnarray*}P\left( X=x\wedge Y=y\right) &=&P\left( \left( X,Y\right) \in \left\{
\left( x,y\right) \right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in \left\{ \left( x,y\right) \right\} \right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =x\wedge
Y\left( \omega \right) =y\right\} \right)
\end{eqnarray*}です。以上を踏まえた上で、それぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値がベクトル\(\left( x,y\right) \)と一致する確率\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left( X=x\wedge Y=y\right)
\end{equation*}を特定する2変数関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを\(\left(X,Y\right) \)の同時確率質量関数（joint probability mass function）や同時確率関数（joint probability function）などと呼びます。

同時確率分布としての同時確率質量関数

繰り返しになりますが、離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}\)が与えられている場合、\(\left(X,Y\right) \)の値がベクトル\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と一致する確率に関して、\begin{equation*}P\left( X=x\wedge Y=y\right) =f_{XY}\left( x,y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、同時確率変数\(\left( X,X\right) \)の値が集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)に属する確率を、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =\sum_{\left( x,y\right) \in
A\times B}f_{XY}\left( x,y\right)
\end{equation*}という形で表すことができます。つまり、集合\(A\times B\)に属するそれぞれのベクトル\(\left(x,y\right) \)に対する確率\(f_{XY}\left(x,y\right) \)をとり、それらの総和をとれば\(P\left( \left( X,Y\right)\in A\times B\right) \)が得られるということです。ただし、\(A\times B\)が無限可算集合である場合、右辺は無限級数の和です。

同時確率質量関数\(f_{XY}\)が与えられれば任意の集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)に対する確率\(P\left( \left(X,Y\right) \in A\times B\right) \)を以上の要領で特定できるため、同時確率質量関数\(f_{XY}\)もまた離散型同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布を表現する手段の1つであるということになります。

同時確率質量関数の非負性

同時確率質量関数は非負の実数を値としてとります。特に、同時確率変数の値域に属さない値に対して、同時確率質量関数はゼロを値として定めます。

同時確率質量関数の値の総和

同時確率変数がとり得るそれぞれの値に対して同時確率質量関数が定める値の総和をとると\(1\)になります。

公理主義にもとづく同時確率質量関数の定義

同時確率質量関数が満たす性質を明らかにしましたが、公理主義的な立場から、非負性を満たすとともに、値の総和が\(1\)であるような関数を同時確率質量関数と定義する考え方もあります。つまり、確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:f_{XY}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{\left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left(
\Omega \right) }f_{XY}\left( x,y\right) =1
\end{eqnarray*}を満たす場合、これを同時確率質量関数と定義するということです。詳細は場を改めて解説します。

演習問題