離散型同時確率変数の同時確率質量関数

同時確率変数の同時確率分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に変換して表現する状況を想定します。加えて、\(\left( X,Y\right) \)は離散型の同時確率変数であるものとします。つまり、\(\left( X,Y\right) \)の値域\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( X,Y\right) \left(
\omega \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ \left( X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{eqnarray*}が高々可算集合であるということです。

同時確率変数の定義より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left( X,Y\right) ^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合族です。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)を任意に選んだとき、「\(\left( X,Y\right) \)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(\left( X,Y\right) \)を同時確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \
|\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{XY}\left( B\right) =P\left( \left( X,Y\right) \in B\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\mu _{XY}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布（joint distribution）と呼びます。

ベクトル値写像\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が同時確率変数であるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}は以下の条件\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left(
\omega \right) \leq y\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることは、写像\(\left( X,Y\right) \)が同時確率変数であるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left( \omega \right) \leq y\right\}
\right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布関数（joint distribution function）と呼びます。

ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、1点集合\(\left\{ \left( x,y\right) \right\} \)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合であるため、すなわち\(\left\{\left( x,y\right) \right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)が成り立つため、同時確率変数の定義より、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in \left\{ x\right\}
\wedge Y\left( \omega \right) \in \left\{ y\right\} \right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =x\wedge Y\left(
\omega \right) =y\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\left( x,y\right) \)を任意に選んだとき、「\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(\left( x,y\right) \)と一致する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になるということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(\left( x,y\right) \)と一致する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X=x\wedge Y=y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) =x\wedge Y\left( \omega \right) =y\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X=x\wedge Y=y\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時確率質量関数（joint probability mass function）や同時確率関数（joint probability function）などと呼びます。

離散型同時確率変数の同時分布関数と同時確率質量関数の関係

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、その同時分布関数が\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)であり、同時確率質量関数が\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。

以上の状況においてベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\sum_{x_{i}\leq x}\sum_{y_{i}\leq y}f_{XY}\left(
x_{i},y_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(x_{i}\leq x\)かつ\(y_{i}\leq y\)を満たす点\(\left( x_{i},y_{i}\right) \)に対して\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(\left(x_{i},y_{i}\right) \)と一致する確率\(f_{XY}\left( x_{i},y_{i}\right) \)を特定し、それらの総和をとれば、\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下になる確率\(F_{XY}\left(x,y\right) \)が得られるということです。

離散型同時確率変数の実現値が集合に属する確率

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、その同時確率質量関数が\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。平面上のボレル集合\(A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)を任意に選んだとき、\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(A\)に属する確率が、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\right) =\sum_{\left( x,y\right) \in
A}f_{XY}\left( x,y\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。つまり、集合\(A\)に属するそれぞれの値\(\left( x,y\right) \)について、\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(\left( x,y\right) \)と一致する確率\(f_{XY}\left( x,y\right) \)をとり、それらの総和をとれば\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(A\)に属する確率\(P\left( \left( X,Y\right) \in A\right) \)が得られるということです。ただし、\(A\)が有限集合である場合には右辺は有限個の実数の和である一方、\(A\)が可算集合である場合には右辺は無限級数の和です。

同時確率質量関数の非負性

同時確率質量関数は非負の実数を値としてとります。特に、同時確率変数の値域に属さない値に対して、同時確率質量関数はゼロを値として定めます。

同時確率質量関数の値の総和

同時確率変数がとり得るそれぞれの値に対して同時確率質量関数が定める値の総和をとると\(1\)になります。

演習問題