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離散型の確率分布

離散型同時確率変数の同時分布関数(同時累積分布関数)

目次

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離散型同時確率変数の同時確率分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとします。同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge Y\left( \omega \right) \in
B\right\} \right)
\end{equation*}であり、特に、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値がベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と一致する確率は、\begin{equation*}P\left( X=x\wedge Y=y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) =x\wedge Y\left( \omega \right) =y\right\} \right)
\end{equation*}です。以上を踏まえた上で、それぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X=x\wedge Y=y\right)
\end{equation*}を定める同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、さらに、集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =\sum_{\left( x,y\right) \in
A\times B}f_{XY}\left( x,y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つことを示しました。

それぞれの集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)に対して確率\(P\left( \left(X,Y\right) \in A\times B\right) \)が明らかになっている場合、そのような情報の集まりを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時確率分布と呼びます。離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)に対して同時確率質量関数\(f_{XY}\)が与えられれば、上の関係を用いて任意の集合\(A\times B\)に関する確率\(P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) \)を特定できるため、同時確率質量関数は離散型の同時確率変数の同時確率分布を表現する手段の1つです。ただ、離散型の同時確率変数の同時確率分布は、同時確率質量関数とは異なる概念を用いて表現することもできます。順番に解説します。

 

離散型同時確率変数の同時分布関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとします。同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)が特定の点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)以下の値をとる確率、すなわち\(X\)の値が\(x\)以下であるとともに\(Y\)の値が\(y\)以下である確率を、\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、ここでの「以下」とはユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における標準的順序を踏まえた表現です。いずれにせよ、上の確率をどのように評価すればよいでしょうか。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)はそれぞれの標本点\(\omega \in\Omega \)に対してベクトル\(\left( X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を1つずつ定めるため、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が\(\left( x,y\right) \)以下である」という事象は、\(X\left( \omega \right) \leq x\)と\(Y\left(\omega \right) \leq y\)をともに満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left(
\omega \right) \leq y\right\}
\end{equation*}として表現されます。したがって、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が\(\left( x,y\right) \)以下である」という事象が起こる確率は、\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left( \omega \right) \leq y\right\}
\right)
\end{equation*}となります。以上を踏まえた上で、それぞれの点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)が\(\left( x,y\right) \)以下の値をとる確率\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}を特定する2変数関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを\(\left(X,Y\right) \)の同時分布関数(joint distribution function)や同時累積分布関数(joint cumulative distribution function)などと呼びます。

離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合には、点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\sum_{x_{i}\leq x}\sum_{y_{i}\leq y}f_{XY}\left(
x_{i},y_{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、\(x_{i}\leq x\)かつ\(y_{i}\leq y\)を満たす点\(\left(x_{i},y_{i}\right) \)に対して\(f_{XY}\)が定める値を特定し、それらの総和をとれば\(F_{XY}\left( x,y\right) \)が得られるということです。言い換えると、離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)に関しては、同時分布関数\(F_{XY}\)が同時確率質量関数\(f_{XY}\)から導出可能であるということです。

命題(離散型の同時分布関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)と同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\sum_{x_{i}\leq x}\sum_{y_{i}\leq y}f_{XY}\left(
x_{i},y_{i}\right)
\end{equation*}を定める。

証明

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上の命題は、同時分布関数\(F_{XY}\)が同時確率質量関数\(f_{XY}\)から導出可能であることを示唆します。つまり、同時分布関数\(F_{XY}\)が点\(\left( x,y\right) \)に対して定める値は、同時確率質量関数\(f_{XY}\)が点\(\left( x,y\right) \)以下のそれぞれの点に対して定める値の総和と一致します。

例(同時分布関数)
「コインを2回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2\right) \)回目に出た面を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \ |\ \forall i\in
\left\{ 1,2\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。「1回目に得るポイント」と「2回目に得るポイント」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。具体的には、「1回目に得るポイント」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「2回目に出るポイント」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)がそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) &=&\left( X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) ,Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \quad \because \left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{表}\right) \right) \\
\left( 1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{裏}\right) \right) \\
\left( -1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{表}\right) \right) \\
\left( -1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{裏}\right) \right)
\end{array}\right. \quad \because X,Y\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}です。標本空間\(\Omega \)には\(2^{2}=4\)個の標本点が属しますが、仮に、これらがいずれも同じ程度の確かさで起こり得るのであれば、同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{4} & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。上の命題より、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\sum_{x^{\prime }\leq x}\sum_{y^{\prime }\leq
y}f_{XY}\left( x^{\prime },y^{\prime }\right)
\end{equation*}を定めます。したがって、\(x<-1\)と\(y<-1\)の少なくとも一方が成り立つ場合には、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =0
\end{equation*}であり、\(-1\leq x<1\)と\(-1\leq y<1\)がともに成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&f_{XY}\left( -1,-1\right) \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}であり、\(-1\leq x<1\)と\(y\geq 1\)がともに成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&f_{XY}\left( -1,-1\right) +f_{XY}\left(
-1,1\right) \\
&=&\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\(x\geq 1\)と\(-1\leq y<1\)がともに成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&f_{XY}\left( -1,-1\right) +f_{XY}\left(
1,-1\right) \\
&=&\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\(x\geq 1\)と\(y\geq 1\)がともに成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&f_{XY}\left( 1,1\right) +f_{XY}\left(
1,-1\right) +f_{XY}\left( -1,1\right) +f_{XY}\left( -1,-1\right) \\
&=&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。結論をまとめると、\begin{equation*}
F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

 

同時分布関数がとり得る値の範囲

離散型の同時確率変数の同時分布関数は\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとります。

命題(同時分布関数がとり得る値の範囲)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、これはそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{XY}\left( x,y\right) \leq 1
\end{equation*}を満たす。

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例(同時分布関数がとり得る値の範囲)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{XY}\left( x,y\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。

 

同時分布関数は単調増加

離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\left( x,y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された2変数関数ですが、一方の変数\(y\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(x\)に関する1変数関数とみなしたとき、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加(単調非減少)になります。また、変数\(x\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(y\)に関する1変数関数とみなしたとき、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加になります。

命題(同時分布関数は単調増加)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、これはそれぞれの変数について\(\mathbb{R} \)上で単調増加である。すなわち、変数\(x\)に関しては、任意の\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow F_{XY}\left( x_{1},y\right) \leq F_{XY}\left(
x_{2},y\right)
\end{equation*}が成り立ち、変数\(y\)に関しては、任意の\(y_{1},y_{2}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}y_{1}\leq y_{2}\Rightarrow F_{XY}\left( x,y_{1}\right) \leq F_{XY}\left(
x,y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(同時分布関数は単調増加)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、任意の\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left(x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}x_{1}\leq x_{2}\wedge y_{1}\leq y_{2}\Rightarrow F_{XY}\left(
x_{1},y_{1}\right) \leq F_{XY}\left( x_{2},y_{2}\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(同時分布関数は単調増加)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x_{1}\leq x_{2}\)と\(y_{1}\leq y_{2}\)を満たす\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{XY}\left( x_{1},y_{1}\right) \leq F_{XY}\left( x_{2},y_{2}\right)
\end{equation*}が成立しています。

 

同時分布関数の右側連続性

離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\left( x,y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された2変数関数ですが、一方の変数\(y\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(x\)に関する1変数関数とみなしたとき、これは\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。また、変数\(x\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(y\)に関する1変数関数とみなしたとき、これは\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。

命題(同時分布関数の右側連続性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、これはそれぞれの変数に関して\(\mathbb{R} \)上で右側連続である。すなわち、変数\(x\)に関しては、任意の点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}F_{XY}\left( x,y\right) =F_{XY}\left( a,y\right)
\end{equation*}が成り立ち、変数\(y\)に関しては、任意の点\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b+}F_{XY}\left( x,y\right) =F_{XY}\left( x,b\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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上の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(同時分布関数の右側連続性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a+,b+\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) =F_{XY}\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(同時分布関数の右側連続性)
同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-1\vee y<-1\right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge -1\leq y<1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ -1\leq x<1\wedge y\geq 1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x\geq 1\wedge -1\leq y<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\wedge y\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x<-1\)と\(y<-1\)の少なくとも一方を満たす\(\left( x,y\right) \)上で\(F_{XY}\)は定数関数\(0\)であるため、\(F_{XY}\)はそのような点\(\left( x,y\right) \)において連続です。点\(\left( -1,-1\right) \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( -1+,-1+\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( -1+,-1+\right) }\frac{1}{4}\quad \because F_{XY}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{4}\quad \because \text{定数関数の右側極限} \\
&=&F_{XY}\left( -1,-1\right) \quad \because F_{XY}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(F_{XY}\)は点\(\left( -1,-1\right) \)において右側連続です。他の点についても同様に考えます。

 

同時分布関数の無限大における極限

同時分布関数の無限大における極限に関して以下が成り立ちます。

命題(同時分布関数の無限大における極限)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty \right)
}F_{XY}\left( x,y\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。また、変数\(x\)