離散型同時確率変数の同時分布関数（同時累積分布関数）

離散型同時確率変数の同時確率分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に変換して表現する状況を想定します。加えて、\(\left( X,Y\right) \)は離散型の同時確率変数であるものとします。つまり、\(\left( X,Y\right) \)の値域\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( X,Y\right) \left(
\omega \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ \left( X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{eqnarray*}が高々可算集合であるということです。

同時確率変数の定義より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left( X,Y\right) ^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合族です。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)を任意に選んだとき、「\(\left( X,Y\right) \)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(\left( X,Y\right) \)を同時確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \
|\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{XY}\left( B\right) =P\left( \left( X,Y\right) \in B\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\mu _{XY}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布（joint distribution）と呼びます。

ベクトル値写像\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が同時確率変数であるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}は以下の条件\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left(
\omega \right) \leq y\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることは、写像\(\left( X,Y\right) \)が同時確率変数であるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left( \omega \right) \leq y\right\}
\right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布関数（joint distribution function）と呼びます。

離散型同時確率変数の同時分布関数の導出

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。

ベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、1点集合\(\left\{ \left( x,y\right) \right\} \)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合であるため、すなわち\(\left\{\left( x,y\right) \right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)が成り立つため、同時確率変数の定義より、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in
\left\{ \left( x,y\right) \right\} \right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =x\wedge Y\left(
\omega \right) =y\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(\left( x,y\right) \)と一致する確率\begin{equation*}P\left( X=x\wedge Y=y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) =x\wedge Y\left( \omega \right) =y\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定します。

離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\sum_{x_{i}\leq x}\sum_{y_{i}\leq y}P\left(
X=x_{i}\wedge Y=y_{i}\right)
\end{equation*}と一致することが保証されます。つまり、\(x_{i}\leq x\)かつ\(y_{i}\leq y\)を満たす点\(\left( x_{i},y_{i}\right) \)に対して\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(\left(x_{i},y_{i}\right) \)と一致する確率\(P\left( X=x_{i}\wedge Y=y_{i}\right) \)を特定し、それらの総和をとれば、\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下になる確率\(F_{XY}\left(x,y\right) \)が得られるということです。

同時分布関数がとり得る値の範囲

離散型の同時確率変数の同時分布関数は\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとります。

同時分布関数は単調増加関数

離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\left( x,y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された2変数関数ですが、一方の変数\(y\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(x\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加（単調非減少）になります。また、変数\(x\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(y\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で単調増加になります。

先の命題を踏まえると以下を得ます。

同時分布関数は右側連続

離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時分布関数\(F_{XY}\left( x,y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された2変数関数ですが、一方の変数\(y\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(x\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。また、変数\(x\)の値を固定した上で\(F_{XY}\left( x,y\right) \)を変数\(y\)に関する1変数関数とみなした場合、これは\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。

先の命題を踏まえると以下を得ます。

同時分布関数の無限大における極限

同時分布関数の無限大における極限に関して以下が成り立ちます。

演習問題