n次元空間上に順序と呼ばれる二項関係を定義した上で、その基本的な性質を確認します。
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順序

\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}が成り立つならば、\(x\)は\(y\)以下(less of equal)であるとか、\(y\)は\(x\)以上(greater or equal)であると言い、そのことを\(x\leq y\)で表記します。つまり、\begin{equation*}
x\leq y\Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq
y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(\leq \)を定義するということです。この\(\leq \)を\(\mathbb{R} ^{n}\)における順序(ordering)や半順序(partially ordering)などと呼びます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の点からなる順序対\(\left( x,y\right) \)を任意に任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)は二項関係であるため、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について\(x_{i}\leq y_{i}\)は成り立つか否かのどちらか一方です。したがって、先に定義した\(\mathbb{R} ^{n}\)における順序\(\leq \)に関しても\(x\leq y\)は成り立つか否かのどちらか一方であるため、\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の二項関係です。

例(順序)
\(1\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}
x\leq y\Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、左側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の順序を、右側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の大小関係を表す記号です。つまり、1次元空間において、順序と大小関係は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1 &\leq &4 \\
-1 &\leq &8 \\
\frac{1}{10} &\leq &\frac{4}{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(順序)
\(2\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
x\leq y\Leftrightarrow x_{1}\leq y_{1}\wedge x_{2}\leq y_{2}
\end{equation*}となります。ただし、左側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の順序を、右側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の大小関係を表す記号です。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) &\leq &\left( 1,3\right) \\
\left( -1,7\right) &\leq &\left( 3,2\right) \\
\left( -\frac{1}{2},-2\right) &\leq &\left( \frac{2}{3},-1\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(順序)
\(3\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
x\leq y\Leftrightarrow x_{1}\leq y_{1}\wedge x_{2}\leq y_{2}\wedge x_{3}\leq
y_{3}
\end{equation*}となります。ただし、左側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{3}\)上の順序を、右側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の大小関係を表す記号です。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2,3\right) &\leq &\left( 3,4,5\right) \\
\left( -1,4,2\right) &\leq &\left( 0,4,7\right) \\
\left( \frac{1}{2},-2,-\frac{1}{2}\right) &\leq &\left( 0,2,\frac{1}{4}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

順序の基本性質

\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)の反射律より、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq x_{i}
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)の定義より、これは、\begin{equation*}
x\leq x
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)もまた反射律(reflexive law)を満たします。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点は自身以下であると同時に、自身以上であるということです。

命題(順序の反射律)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された順序\(\leq \)は以下の性質を満たす。\begin{equation*}
\left( O_{1}\right) \ \forall x\in
\mathbb{R} ^{n}:x\leq x
\end{equation*}
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\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。\(x\leq y\)かつ\(y\leq x\)が成り立つものとします。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)の定義より、これは、\begin{eqnarray*}
\forall i &\in &\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i} \\
\forall i &\in &\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :y_{i}\leq x_{i}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。すると、\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)の反対称律より、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}=y_{i}
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)の定義より、これは、\begin{equation*}
x=y
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)もまた反対称律(antisymmetric law)を満たします。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)以下であり、なおかつ\(y\)が\(x\)以下である場合には、\(x\)と\(y\)が等しいことが保証されるということです。

命題(順序の反対称律)

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された順序\(\leq \)は以下の性質を満たす。\begin{equation*}
\left( O_{2}\right) \ \forall x,y\in
\mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq x\right) \Rightarrow x=y\right] \end{equation*}

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\(n\)次元空間の点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)かつ\(z=\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \)です。\(x\leq y\)かつ\(y\leq z\)が成り立つものとします。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)の定義より、これは、\begin{eqnarray*}
\forall i &\in &\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i} \\
\forall i &\in &\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :y_{i}\leq z_{i}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。すると、\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)の推移律より、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq z_{i}
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)の定義より、これは、\begin{equation*}
x\leq z
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)もまた推移律(transitive law)を満たします。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点\(x,y,z\)について、\(x\)が\(y\)以下であり、なおかつ\(y\)が\(z\)以下である場合には、\(x\)は\(z\)以下であることが保証されるということです。

命題(順序の推移律)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された順序\(\leq \)は以下の性質を満たす。\begin{equation*}
\left( O_{3}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \end{equation*}
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\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)が\(\left( O_{1}\right) \)から\(\left( O_{3}\right) \)までの性質を満たすことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が順序集合(ordered set)もしくは半順序集合(partially ordered set)であることを意味します。順序集合を\(\left( \mathbb{R} ^{n},\leq \right) \)と表記しますが、順序集合について言及していることが文脈から明らかである場合には、これをシンプルに\(\mathbb{R} ^{n}\)で表します。

命題(順序集合としての(n)次元空間)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は順序集合である。
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\(1\)次元空間\(\mathbb{R} \)上の順序\(\leq \)は大小関係と実質的に等しいため、反射律、反対称律、推移律に加えて、完備律(complete law)と呼ばれる以下の性質\begin{equation*}
\forall x,y\in
\mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、大小関係\(\leq \)のもとでは\(\mathbb{R} \)の任意の2つの点が比較可能です。これは\(1\)次元空間\(\mathbb{R} \)が全順序集合であることを意味します。

一方、\(2\)次元以上の空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に関しては、そこに定義された順序\(\leq \)は完備律を満たしません。実際、\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素である以下の2つの点\begin{eqnarray*}
x &=&\left( 1,0,\cdots ,0\right) \\
y &=&\left( 0,\cdots ,0,1\right)
\end{eqnarray*}に注目したとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)における順序\(\leq \)のもとでは\(x\leq y\)と\(y\leq x\)はともに成り立ちません。\(n\geq 2\)の場合には、\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は全順序集合ではないということです。

 

点の符号

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)とゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)の間に\(0\leq x\)が成り立つ場合、\(x\)は非負(nonnegative)であると言います。逆に、\(x\leq 0\)が成り立つ場合、\(x\)は非正(nonpositive)であると言います。\(\mathbb{R} ^{n}\)の点の中でも、すべての非負な点からなる集合を\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)で表し、すべての非正な点からなる集合を\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)で表します。つまり、\begin{eqnarray*}
\mathbb{R} _{+}^{n} &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ x\geq 0\right\} \\
\mathbb{R} _{-}^{n} &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ x\leq 0\right\}
\end{eqnarray*}です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)の反射律よりゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)に関して\(0\leq 0\)が成り立つため、\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)と\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)の定義より、\(0\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)と\(0\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)がともに成り立ちます。一方、\(x\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)と\(x\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)をともに満たす点\(x\)を任意に選ぶと、\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)と\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)の定義より\(0\leq x\)と\(x\leq 0\)がともに成り立ちますが、これと順序\(\leq \)の反対称律より\(x=0\)を得ます。つまり、\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)と\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)の双方に属する点はゼロベクトル\(0\)だけです。

命題(点の符号)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された順序\(\leq \)のもとでは、\begin{equation*}
\mathbb{R} _{+}^{n}\cap
\mathbb{R} _{-}^{n}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つ。
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次回は狭義順序と呼ばれるn次元空間上の二項関係について解説します。

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