n次元空間上の標準的順序

標準的順序

\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}が成り立つならば、\(x\)は\(y\)以下（less of equal）であるとか、\(y\)は\(x\)以上（greater or equal）であると言い、そのことを、\begin{equation*}x\leq y
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
x\leq y\Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq
y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の二項関係\(\leq \)を定義するということです。この\(\leq \)を\(\mathbb{R} ^{n}\)における標準的順序（normal ordering）や自然順序（natural ordering）などと呼びます。

標準的順序\(\leq \)の逆関係を\(\geq \)で表記します。つまり、任意の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x\geq y\Leftrightarrow y\leq x
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の二項関係\(\geq \)を定義します。つまり、点\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)以上であることを\(x\geq y\)と表記してもよいものと定めるということです。

標準的順序は半順序

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)の反射律より、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq x_{i}
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)の定義より、これは、\begin{equation*}x\leq x
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)もまた反射律（reflexive law）を満たします。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点は自身\(x\)以下であると同時に、自身\(x\)以上であるということです。

点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。\(x\leq y\)かつ\(y\leq x\)が成り立つものとします。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)の定義より、これは、\begin{eqnarray*}\forall i &\in &\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i} \\
\forall i &\in &\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :y_{i}\leq x_{i}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。すると、\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)の反対称律より、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}=y_{i}
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)の定義より、これは、\begin{equation*}x=y
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)もまた反対称律（antisymmetric law）を満たします。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)以下であり、なおかつ\(y\)が\(x\)以下である場合には、\(x\)と\(y \)が等しいことが保証されるということです。

点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)かつ\(z=\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \)です。\(x\leq y\)かつ\(y\leq z\)が成り立つものとします。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)の定義より、これは、\begin{eqnarray*}\forall i &\in &\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i} \\
\forall i &\in &\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :y_{i}\leq z_{i}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。すると、\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)の推移律より、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq z_{i}
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)の定義より、これは、\begin{equation*}x\leq z
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)もまた推移律（transitive law）を満たします。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点\(x,y,z\)について、\(x\)が\(y\)以下であり、なおかつ\(y\)が\(z\)以下である場合には、\(x\)は\(z \)以下であることが保証されるということです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された標準的順序\(\leq \)が\(\left( O_{1}\right) \)から\(\left( O_{3}\right) \)までの性質を満たすことは、\(\leq \)が順序（ordering）または半順序（partially ordering）であり、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(\leq \)に関する順序集合（ordered set）または半順序集合（partially ordered set）であることを意味します。つまり、標準的順序を導入した\(n\)次元空間は順序集合の1つの例です。

\(1\)次元空間\(\mathbb{R} \)上の標準的順序\(\leq \)は大小関係と実質的に等しいため、反射律、反対称律、推移律に加えて、完備律（complete law）と呼ばれる以下の性質\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、\(\leq \)のもとでは\(\mathbb{R} \)の任意の2つの点が比較可能です。これは\(1\)次元空間\(\mathbb{R} \)が全順序集合であることを意味します。一方、\(2\)次元以上の空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に関しては、そこに定義された標準順序\(\leq \)は完備律を満たしません。以下の例より明らかです。

以上の例は、\(n\geq 2\)の場合、標準的順序\(\leq \)は全順序ではなく、したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\leq \)に関する全順序集合ではないことを意味します。これは\(n=1\)の場合との大きな違いです。

点の符号

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)とゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)の間に\(0\leq x\)が成り立つ場合、すなわち\(x\)の任意の成分\(x_{i}\)が非負の実数である場合、\(x\)は非負（nonnegative）であると言います。逆に、\(x\leq 0\)が成り立つ場合、すなわち\(x\)の任意の成分\(x_{i}\)が非正の実数である場合、\(x\)は非正（nonpositive）であると言います。すべての非負な点からなる集合、すべての非正の点からなる集合をそれぞれ、\begin{eqnarray*}\mathbb{R} _{+}^{n} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\geq 0\right\} \\\mathbb{R} _{-}^{n} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\leq 0\right\}\end{eqnarray*}と表記します。非負かつ非正であるようなベクトルはゼロベクトルだけです。

演習問題

次回は標準的狭義順序と呼ばれるn次元空間上の二項関係について解説します。