標準的順序
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素である2つのベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、これらの成分が以下の条件\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たす場合には、\(\boldsymbol{x}\)は\(\boldsymbol{y}\)以下（lessor equal）であるとか、\(\boldsymbol{y}\)は\(\boldsymbol{x}\)以上（greater or equal）であると言い、そのことを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の二項関係\(\leq \)を定義するということです。この\(\leq \)を\(\mathbb{R} ^{n}\)における標準的順序（normal ordering）や自然順序（natural ordering）などと呼びます。
\boldsymbol{y} &=&y\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の標準的順序を表す記号であり、右側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の大小関係を表す記号です。つまり、1次元空間において標準的順序と大小関係は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}1 &\leq &4 \\
-1 &\leq &8 \\
\frac{1}{10} &\leq &\frac{4}{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow x_{1}\leq y_{1}\wedge
x_{2}\leq y_{2}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の標準的順序を表す記号であり、右側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の大小関係を表す記号です。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left( 1,2\right) &\leq &\left( 1,3\right) \\
\left( -1,7\right) &\leq &\left( 3,2\right) \\
\left( -\frac{1}{2},-2\right) &\leq &\left( \frac{2}{3},-1\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow x_{1}\leq y_{1}\wedge
x_{2}\leq y_{2}\wedge x_{3}\leq y_{3}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{3}\)上の標準的順序を表す記号であり、右側の\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の大小関係を表す記号です。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left( 1,2,3\right) &\leq &\left( 3,4,5\right) \\
\left( -1,4,2\right) &\leq &\left( 0,4,7\right) \\
\left( \frac{1}{2},-2,-\frac{1}{2}\right) &\leq &\left( 0,2,\frac{1}{4}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
標準的順序は半順序
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)は以下の性質\begin{equation*}\left( O_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たします。これを標準的順序に関する反射律（reflexive law）と呼びます。任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\)は自身\(\boldsymbol{x}\)以下であるとともに自身\(\boldsymbol{x}\)以上であるということです。
\end{equation*}を満たす。
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)は以下の性質\begin{equation*}\left( O_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{x}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \end{equation*}を満たします。これを標準的順序に関する反対称律（antisymmetric law）と呼びます。ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)以下であり、なおかつ\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)以下である場合には、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)は等しくなることが保証されるということです。
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)は以下の性質\begin{equation*}\left( O_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{z}\right] \end{equation*}を満たします。これを標準的順序に関する推移律（transitive law）と呼びます。ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)以下であり、なおかつ\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{z}\)以下である場合には、\(\boldsymbol{x}\)は\(\boldsymbol{z}\)以下になるということです。言い換えると、\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)以上であり、\(\boldsymbol{z}\)が\(\boldsymbol{y}\)以上である場合には、\(\boldsymbol{z}\)が\(\boldsymbol{x}\)以上になることが保証されます。
標準的順序を規定する性質は以上の通りです。まとめておきます。
&&\left( O_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{x}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{z}\right] \end{eqnarray*}を満たす。
\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された標準的順序\(\leq \)が\(\left( O_{1}\right) ,\left(O_{2}\right) ,\left( O_{3}\right) \)を満たすことは、\(\leq \)が順序（ordering）または半順序（partially ordering）であり、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(\leq \)に関する順序集合（ordered set）または半順序集合（partially ordered set）であることを意味します。つまり、標準的順序を導入した\(n\)次元空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\leq \right)
\end{equation*}は順序集合の具体例の1つです。\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が導入されていることが文脈から明らかである場合には、順序集合\(\left( \mathbb{R} ^{n},\leq \right) \)をシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\end{equation*}と表記できるものと定めます。
標準的順序は全順序ではない
実数空間\(\mathbb{R} \)上に定義された大小関係\(\leq \)は半順序であるだけでなく全順序でもあります。つまり、大小関係\(\leq \)は反射律、反対称律、推移律に加えて、完備律（complete law）と呼ばれる以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :\left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\vee \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たします。
先に例を通じて確認したように\(1\)次元空間\(\mathbb{R} \)上において標準的順序と大小関係は一致するため、1次元空間\(\mathbb{R} \)上に定義された標準的順序もまた全順序であるということになります。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{x} \\
&&\left( O_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq
\boldsymbol{x}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} :\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq
\boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{z}\right]
\\
&&\left( O_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :\left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\vee \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}がいずれも成り立ちます。
その一方で、\(n\geq 2\)である場合、\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された標準的順序は完備律を満たさず、したがって\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の全順序ではありません。以下の例より明らかです。
\boldsymbol{y} &=&\left( 0,1,0\cdots ,0\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}に注目したとき、標準的順序\(\leq \)の定義より\(\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\)と\(\boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{x}\)はともに成り立たず、したがって\(\leq \)は完備律を満たしません。
ベクトルの符号
\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)とゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間に以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{0}\leq \boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つ場合、すなわち、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :0\leq x_{i}
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は非負（nonnegative）であると言います。その上で、非負なベクトルからなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{n}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{0}\right\} \end{equation*}で表記します。
ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)とゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間に以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{0}\geq \boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つ場合、すなわち、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :0\geq x_{i}
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は非正（nonpositive）であると言います。その上で、非正なベクトルからなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}^{n}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{0}\right\} \end{equation*}で表記します。
非負かつ非正であるようなベクトルはゼロベクトルだけです。
標準的順序の逆関係
\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。このとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \boldsymbol{y}\leq
\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の新たな二項関係\(\geq \)を定義します。つまり、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)について、\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)以下である場合、そしてその場合にのみ\(\boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{y}\)が成り立つものとして\(\geq \)を定義するということです。つまり、標準的順序\(\leq \)の逆関係を\(\geq \)で表記するということです。
標準的順序\(\leq \)の逆関係\(\geq \)を以上のように定義した場合、\(\geq \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の半順序になることが保証されます。つまり、以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{x} \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right]
\\
&&\left( c\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{z}\right]
\end{eqnarray*}が成り立つということです。
\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の新たな二項関係\(\geq \)を定義する。この場合、\(\geq \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された半順序になる。
以上の命題を踏まえた上で、以降では、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)について\(\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\)と\(\boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\)は交換可能であるものとみなします。つまり、標準的順序\(\leq \)のもとで\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)以下であることを\(\boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\)と表記してもよいものと定めます。逆に、\(\boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\)と表記されている場合、それは標準的順序\(\leq \)のもとで\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)以下であることを意味するものと定めます。
標準的順序の部分集合への制限
\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その要素であるベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A\)を任意に選びます。\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)ゆえに\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} \)であるため、標準的順序\(\leq \)のもとで\(\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\)が成り立つか検討できます。以上を踏まえた上で、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq _{A}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \boldsymbol{x}\leq
\boldsymbol{y}
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(\leq _{A}\)を定義します。つまり、\(A\)の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選んだとき、標準的順序\(\leq \)のもとで\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)以下である場合、そしてその場合にのみ\(\boldsymbol{x}\leq _{A}\boldsymbol{y}\)が成り立つものとして\(A\)上の二項関係\(\leq _{A}\)を定義するということです。つまり、標準的順序\(\leq \)の集合\(A\)への制限を\(\leq _{A}\)で表記するということです。
標準的順序\(\leq \)の集合\(A\)への制限\(\leq _{A}\)を以上のように定義した場合、\(\leq _{A}\)は\(A\)上の半順序になることが保証されます。つまり、以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}\leq _{A}\boldsymbol{x} \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A:[(\boldsymbol{x}\leq _{A}\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq _{A}\boldsymbol{x})\Rightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}] \\
&&\left( c\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in
A:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq _{A}\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq _{A}\boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}\leq _{A}\boldsymbol{z}\right]
\end{eqnarray*}が成り立つということです。
\boldsymbol{y}
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(\leq _{A}\)を定義する。この場合、\(\leq _{A}\)は\(A\)上に定義された半順序になる。
以上の命題を踏まえた上で、以降では、標準的順序の制限\(\leq _{A}\)を標準的順序\(\leq \)とと同じ記号を用いて表記できるものと定めます。つまり、部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)とその要素であるベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}\leq _{A}\boldsymbol{y}\)が成り立つことを\(\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\)と表記できるものと定めます。
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