ユークリッド距離を用いて、ユークリッド空間の部分集合の直径を定義します。
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集合の直径

ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に属する2つの点\(x,y\)の間の距離\(d\left( x,y\right) \)を定めますが、距離関数\(d\)を活用することにより、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の直径(diameter)という概念を定義することができます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選びます。この集合の直径としては、\(A\)に属する2つの点の間の距離の中でも最も長いものを採用します。具体的には、\(A\)の点\(x,y\)を任意に選んだとき、これらの点の間の距離は\(d\left( x,y\right) \)となりますが、この距離がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}
d\left( A\times A\right) =\{d\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\ |\ x\in A,\ y\in A\}
\end{equation*}と表記した上で、\(d\left( A\times A\right) \)に属する値の中で最も大きいものを\(A\)の直径と定めるということです。

ただし、一般に\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合に最大値は存在するとは限らないため、\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(d\left( A\times A\right) \)もまた最大値を持つとは限りません。したがって、\(A\)の直径を\(\max d\left( A\times B\right) \)と定義してしまうと、集合の直径が定まらないという事態が起こり得ます。そこで、\(A\)の直径を\(d\left( A\times A\right) \)の最大値と定義するのではなく、\(d\left( A\times A\right) \)の上限として定義します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(A\)の直径を\(\sup d\left( A\times A\right) \)と定義し、これを、\begin{equation*}
\mathrm{diam}\left( A\right) =\sup d\left( A\times A\right)
\end{equation*}で表記します。ただ、後ほど解説しますが、上のように定義される集合の直径は有限な実数として定まるとは限りません。

例(集合の直径)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A=\left( 0,3\right) \)に注目すると、\begin{eqnarray*}
d\left( A\times A\right) &=&\{d\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\ |\ x,y\in \left( 0,3\right) \} \\
&=&\left( 0,3\right)
\end{eqnarray*}となります。任意の\(z\in d\left( A\times A\right) \)に対して\(z<3\)が成り立つため\(3\)は\(d\left( A\times A\right) \)の上界です。一方、\(3\)より小さい任意の実数は\(d\left( A\times A\right) \)の上界ではありません。なぜなら、\(3\)より小さいそれぞれの実数を\(\varepsilon >0\)を用いて\(3-\varepsilon \)で表すとき、それに対して、\begin{equation*}
3-\varepsilon <3-\frac{\varepsilon }{2}<3
\end{equation*}を満たす実数\(3-\frac{\varepsilon }{2}\)が存在するからです。ゆえに\(\sup d\left( A\times A\right) =3\)、すなわち\(\mathrm{diam}\left( A\right) =3\)であることが示されました。
例(集合の直径)
互いに素な複数の集合の和集合であるようなユークリッド空間の部分集合の直径について考えます。\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A=\left( 0,1\right) \cup \left[ 3,7\right] \)に注目すると、\begin{eqnarray*}
d\left( A\times A\right) &=&\{d\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\ |\ x,y\in \left( 0,1\right) \cup \left[ 3,7\right] \} \\
&=&\left( 0,7\right)
\end{eqnarray*}となります。任意の\(z\in d\left( A\times A\right) \)に対して\(z<7\)であるため\(7\)は\(d\left( A\times A\right) \)の上界です。一方、\(7\)より小さい任意の実数は\(d\left( A\times A\right) \)の上界ではありません。なぜなら、\(7\)より小さいそれぞれの実数を\(\varepsilon >0\)を用いて\(7-\varepsilon \)で表すとき、それに対して、\begin{equation*}
7-\varepsilon <7-\frac{\varepsilon }{2}<7
\end{equation*}を満たす実数\(7-\frac{\varepsilon }{2}\)が存在するからです。ゆえに\(\sup d\left( A\times A\right) =7\)、すなわち\(\mathrm{diam}\left( A\right) =7\)であることが示されました。

 

集合の直径と有界性

以下の例が示唆するように、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合の直径は1つの実数として定まるとは限りません。

例(集合の直径)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A=\left( 0,+\infty \right) \)に注目すると、\begin{eqnarray*}
d\left( A\times A\right) &=&\{d\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\ |\ x,y\in \left( 0,+\infty \right) \} \\
&=&\left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である\(d\left( A\times A\right) \)は上界を持たないため、\(\sup d\left( A\times A\right) \)すなわち\(\mathrm{diam}\left( A\right) \)は存在しません。あえて言えば、\begin{equation*}
\mathrm{diam}\left( A\right) =+\infty
\end{equation*}となります。

上の例とは異なり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が有界である場合、その直径は1つの実数として定まります。実際、\(A\)が有界である場合、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0,\ \forall x,y\in A:\left[ d\left( 0,x\right) \leq
\frac{\varepsilon }{2}\wedge d\left( 0,y\right) \leq \frac{\varepsilon }{2}\right] \tag{1}
\end{equation}が成り立ちますが(確認してください)、このとき、任意の\(x,y\in A\)について、\begin{eqnarray*}
d\left( x,y\right) &\leq &d\left( x,0\right) +d\left( 0,y\right) \quad
\because d\text{の劣加法性} \\
&=&d\left( 0,x\right) +d\left( 0,y\right) \quad \because d\text{の対称性} \\
&\leq &\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) \leq
\varepsilon
\end{equation*}が成り立つということです。したがって、\begin{equation*}
d\left( A\times A\right) =\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\ |\ x,y\in A\right\}
\end{equation*}は上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、\(\mathbb{R} \)の連続性より\(\sup d\left( A\times A\right) \)すなわち\(\mathrm{diam}\left( A\right) \)が1つの実数として定まります。

命題(有界な集合の直径)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が有界ならば、その直径\(\mathrm{diam}\left( A\right) \)は1つの実数として定まる。
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上の命題の逆も成立します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の直径が1つの実数であるとき、\(A\)は有界です(演習問題にします)。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が有界であることと、その直径が有限な実数であることが必要十分であることが明らかになりました。

命題(集合の直径と有界性)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が有界であることと、\(A\)の直径\(\mathrm{diam}\left( A\right) \)が実数であることは必要十分である。
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次回はユークリッド空間の部分集合が有界であることをユークリッド距離を用いて表現します。

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