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ベクトルのスカラー除法

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ベクトルのスカラー除法

非ゼロのスカラー\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(a\)による\(x\)のスカラー商(scalarquotient)を、\begin{equation*}
\frac{x}{a}=\frac{1}{a}\cdot x
\end{equation*}と定義します。ただし、左辺の\(\frac{{}}{{}}\)はスカラー商を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)はスカラー乗法を表す記号です。定義より、\begin{eqnarray*}\frac{x}{a} &=&\frac{1}{a}\cdot x\quad \because \text{スカラー商の定義} \\
&=&\frac{1}{a}\cdot \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because x\in \mathbb{R} ^{n} \\
&=&\left( \frac{1}{a}\cdot x_{1},\cdots ,\frac{1}{a}\cdot x_{n}\right) \quad
\because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( \frac{x_{1}}{a},\cdots ,\frac{x_{n}}{a}\right) \quad \because
\text{乗法の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{x}{a}=\left( \frac{x_{1}}{a},\cdots ,\frac{x_{n}}{a}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、左辺の\(\frac{{}}{{}}\)はスカラー商、右辺の\(\frac{{}}{{}}\)は\(\mathbb{R} \)上の除法を表す記号です。つまり、スカラー商\(\frac{x}{a}\)とはベクトル\(x\)のそれぞれの要素を\(a\)で割ることにより得られる\(\mathbb{R} ^{n}\)の点です。

非ゼロのスカラー\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)はゼロで割る場合を除いて除法について閉じていることからスカラー商\(\frac{x}{a}\)のそれぞれの成分\(\frac{x_{i}}{a}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(\frac{x}{a}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の1つの点として定まることが保証されます。したがって、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の点と\(\mathbb{R} ^{n}\)の点を成分とするそれぞれの順序対\(\left( a,x\right) \)に対して、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点であるスカラー商\(\frac{x}{a}\)を1つずつ定める演算が定義可能です。これをスカラー除法(scalar division)と呼びます。

例(スカラー除法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と\(1\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー商は、\begin{equation*}\frac{x}{a}=\frac{x}{a}
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(\frac{{}}{{}}\)はスカラー商を表す記号であり、右辺の\(\frac{{}}{{}}\)は実数どうしの減法を表す記号です。つまり、スカラー場が\(\mathbb{R} \)であるとき、\(1\)次元ユークリッド空間の点に関するスカラー除法は除法と一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\frac{2}{2} &=&1 \\
\frac{4}{\left( -2\right) } &=&-2 \\
3/\frac{1}{2} &=&6
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(スカラー除法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と\(2\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー商は、\begin{equation*}\frac{x}{a}=\left( \frac{x_{1}}{a},\frac{x_{2}}{a}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\frac{\left( 2,3\right) }{2} &=&\left( \frac{2}{2},\frac{3}{2}\right)
=\left( 1,\frac{3}{2}\right) \\
\frac{\left( -1,3\right) }{\left( -2\right) } &=&\left( \frac{-1}{-2},\frac{3}{-2}\right) =\left( \frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right) \\
\left( \frac{1}{4},-\frac{2}{3}\right) /\frac{1}{2} &=&\left( \frac{1}{4}/\frac{1}{2},-\left( \frac{2}{3}\right) /\frac{1}{2}\right) =\left( \frac{1}{2},-\frac{4}{3}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(スカラー除法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と\(3\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー商は、\begin{equation*}\frac{x}{a}=\left( \frac{x_{1}}{a},\frac{x_{2}}{a},\frac{x_{3}}{a}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\frac{\left( 2,3,4\right) }{2} &=&\left( \frac{2}{2},\frac{3}{2},\frac{4}{2}\right) =\left( 1,\frac{3}{2},2\right) \\
\frac{\left( -1,3,2\right) }{\left( -2\right) } &=&\left( \frac{-1}{-2},\frac{3}{-2},\frac{2}{-2}\right) =\left( \frac{1}{2},-\frac{3}{2},-1\right)
\\
\left( \frac{1}{4},-\frac{2}{3},0\right) /\frac{1}{2} &=&\left( \frac{1}{4}/\frac{1}{2},-\frac{2}{3}/\frac{1}{2},0/\frac{1}{2}\right) =\left( \frac{1}{2},-\frac{4}{3},0\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

乗法単位元とのスカラー除法

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それとスカラー\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}\frac{x}{1}=x
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点をスカラー\(1\)で割っても変化は起こりません。乗法単位元である\(1\)はスカラー除法に関する単位元でもあるということです。

命題(乗法単位元とのスカラー除法)
点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{x}{1}=x
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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演習問題

問題(スカラー除法)
点\(x,y\in \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\left( 4,x\right) =\frac{\left( 2,3\right) }{y}
\end{equation*}を満たすものとします。\(x\)と\(y\)を求めてください。
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問題(スカラー乗法)
スカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が、\begin{equation*}\left( -1,3,3\right) =\frac{\left( 1,1,0\right) }{a}+\frac{\left(
0,0,-1\right) }{b}+\frac{\left( 0,1,1\right) }{c}
\end{equation*}を満たすものとします。\(a,b,c\)を求めてください。
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次回はベクトル加法とスカラー乗法の間に成立する関係について整理した上で、実ベクトル空間と呼ばれる概念について考えます。

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