ベクトルのスカラー除法

ベクトルのスカラー除法

非ゼロのスカラーと\(n\)次元空間の要素であるベクトル\begin{eqnarray*}a &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \\
\boldsymbol{x} &\in &\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{x}}{a}=\frac{1}{a}\boldsymbol{x}
\end{equation*}と定義されるベクトル\(\frac{\boldsymbol{x}}{a}\)を\(a\)による\(\boldsymbol{x}\)のスカラー商（scalar quotient）と呼びます。

非ゼロのスカラー\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。\(a\not=0\)ゆえに\(\frac{1}{a}\in \mathbb{R} \)です。ベクトルのスカラー倍はベクトルであるため\(\frac{1}{a}\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)です。以上の事実とベクトルのスカラー商の定義より、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\frac{\boldsymbol{x}}{a}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を得ます。このような事情を踏まえると、それぞれの順序対\(\left( a,\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \times \mathbb{R} ^{n}\)に対してスカラー商\(\frac{\boldsymbol{x}}{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を1つずつ定める二項演算\begin{equation*}/:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。このような演算をスカラー除法（scalar division）と呼びます。順序対\(\left( a,\boldsymbol{x}\right) \)に対してスカラー除法を適用することを、\(\boldsymbol{x}\)を\(a\)で割る（divide）と言います。

非ゼロのスカラー\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{x}}{a} &=&\frac{1}{a}\boldsymbol{x}\quad \because \text{スカラー除法の定義} \\
&=&\frac{1}{a}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n} \\
&=&\left( \frac{1}{a}x_{1},\cdots ,\frac{1}{a}x_{n}\right) \quad \because
\text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( \frac{x_{1}}{a},\cdots ,\frac{x_{n}}{a}\right) \quad \because
\text{乗法の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{x}}{a}=\left( \frac{x_{1}}{a},\cdots ,\frac{x_{n}}{a}\right)
\end{equation*}を得ます。ただし、左辺はスカラー商、右辺のそれぞれの要素は実数どうしの商です。つまり、スカラー商\(\frac{\boldsymbol{x}}{a}\)とはベクトル\(\boldsymbol{x}\)のそれぞれの成分を\(a\)で割ることにより得られるベクトルです。

乗法単位元とのスカラー除法

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それとスカラー\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{x}}{1}=\boldsymbol{x}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意のベクトルをスカラー\(1\)で割っても変化は起こりません。乗法単位元である\(1\)はスカラー除法に関する単位元でもあるということです。

演習問題