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点集合の上界・下界

目次

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上界

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。つまり、任意の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x\leq y\Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq
y_{i}
\end{equation*}が成り立つものとして\(\leq \)は定義されているということです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、\(\mathbb{R} ^{n}\)のある点\(a\)が\(A\)の任意の点以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の上界(upper bound)と呼びます。定義より、\(A\)の上界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において、上界は最大元極大元とは異なります。

例(上界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}が成り立つため\(b\)は\(A\)の上界です。
例(上界)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)と\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。さらに、任意の\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in A\)に対して、\begin{equation*}x_{1}\leq b_{1}\wedge x_{2}\leq b_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( b_{1},b_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の上界です。
例(上界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)に対して、\begin{eqnarray*}-1 &\leq &x_{1}\leq 1 \\
-1 &\leq &x_{2}\leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、点\(\left( 1,1\right) \)は\(A\)の上界です。

 

下界

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、\(\mathbb{R} ^{n}\)のある点\(a\)が\(A\)の任意の点以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の下界(lower bound)と呼びます。定義より、\(A\)の下界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において、下界は最小元極小元とは異なります。

例(下界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つため\(a\)は\(A\)の下界です。
例(下界)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in A\)に対して、\begin{equation*}a_{1}\leq x_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a_{1},a_{2}\right) \leq \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)は\(A\)の上界です。
例(下界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)に対して、\begin{eqnarray*}-1 &\leq &x_{1}\leq 1 \\
-1 &\leq &x_{2}\leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、点\(\left( -1,-1\right) \)は\(A\)の下界です。

 

上界や下界は存在するとは限らない

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)に対して、その上界や下界は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(上界や下界は存在するとは限らない)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{2}=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x_{1}\wedge 0\leq x_{2}\}\end{equation*}について考えます。\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)であるため\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空です。\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の上界は存在しません。実際、\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の上界が存在するものと仮定し、それを\(\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)で表記すると、上界の定義より、\begin{equation}\forall \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}:\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( b_{1},b_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。この点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \)に対して、アルキメデスの性質より、\begin{equation}b_{1}<c_{1}\wedge b_{2}<c_{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(\left( c_{1},c_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が存在します。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)および\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)より、\begin{equation*}0<c_{1}\wedge 0<c_{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(c_{1},c_{2}\right) \)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の点です。それにも関わらず\(\left( 2\right) \)が成り立つことは、\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の上界であることと矛盾です。したがって\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の上界は存在しません。同様にして、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}^{2}=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\leq 0\wedge x_{2}\leq 0\}\end{equation*}が下界を持たないことが示されます(演習問題)。

 

上界や下界は一意的ではない

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合に対して、その上界や下界は一意的には定まりません。以下の例より明らかです。

例(上界や下界は一意的ではない)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つものとします。つまり、\begin{equation}\exists a\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:x\leq a \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。上の点\(a\)に対して、アルキメデスの性質より、\begin{equation}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<b_{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在します。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}が成り立つため、\(b\)は\(A \)の上界であり、さらに\(\left( 2\right) \)より\(b\not=a\)です。したがって、\(a\)とは異なる\(A\)の上界\(b\)が存在することが示されました。下界が一意的でないことも同様にして示されます。

 

上に有界・下に有界・有界

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)の上界や下界は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的ではないことが明らかになりました。そこで、\(A\)のすべての上界からなる集合を\(U\left( A\right) \)で表し、\(A\)のすべての下界からなる集合を\(L\left( A\right) \)で表します。つまり、\begin{eqnarray*}U\left( A\right) &=&\{a\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x\in A:x\leq a\} \\
L\left( A\right) &=&\{a\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x\in A:a\leq x\}
\end{eqnarray*}です。\(U\left( A\right) \not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の上界が存在するとき、\(A\)は上に有界(boundedfrom above)であると言います。また、\(L\left( A\right) \not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の下界が存在するとき、\(A\)は下に有界(bounded from below)であると言います。さらに、\(A\)が上に有界かつ下に有界であるとき、つまり\(U\left( A\right) \not=\phi \)と\(L\left( A\right) \not=\phi \)がともに成り立つとき、\(A\)は有界(bounded)であると言います。

例(有界)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}となります。\(b\in U\left( A\right) \)かつ\(a\in L\left( A\right) \)が成り立つため\(A\)は有界です。
例(有界)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( A\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ b_{1}\leq x_{1}\wedge b_{2}\leq x_{2}\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\leq a_{1}\wedge x_{2}\leq a_{2}\right\}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( b_{1},b_{2}\right)\in U\left( A\right) \)かつ\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in L\left(A\right) \)が成り立つため\(A\)は有界です。
例(有界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 1\leq x_{1}\wedge 1\leq x_{2}\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\leq -1\wedge x_{2}\leq -1\right\}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( 1,1\right) \in U\left( A\right) \)かつ\(\left( -1,-1\right) \in L\left( A\right) \)が成り立つため\(A\)は有界です。

 

上界と最大元・下界と最小元の関係

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、その最大元\(\max A\)が存在するものとします。最大限の定義より、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq \max A
\end{equation*}が成り立つため\(\max A\)は\(A\)の上界でもあります。つまり、\(A\)の最大元は\(A\)の上界でもあります。\(A\)の最小元と下界の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の最小元は\(A\)の下界です。

命題(上界と最大元・下界と最小元の関係)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&(a)\ \max A\text{が存在するならば、それは}A\text{の上界である。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは}A\text{の下界である。}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、\(A\)の上界は\(A \)の最大元であるとは限りません。実際、\(A\)の上界は\(A\)の点であるとは限らない一方で、\(A\)の最大元は\(A\)の点でなければならないからです。\(A\)の最小値と下界の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の下界は\(A\)の最小値であるとは限りません。

例(上界と最大値・下界と最小値の関係)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(\mathbb{R} ^{2}\)の点である\(\left( 2,2\right) \)と任意の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)の間には\(\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( 2,2\right) \)という関係が成り立つため\(\left( 2,2\right) \)は\(A\)の上界です。一方、\(\left( 2,2\right) \)は明らかに\(A\)の点ではないため、\(A\)の最大元ではありません。ちなみに\(A\)の最大元は存在しません。

 

直方体を用いた有界性の表現

点\(a,b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times
\cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を\(n\)次元の直方体(rectangle)と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\(A\)を部分集合として含む\(n\)次元の直方体が存在することは、\(A\)が有界であるための必要十分です。

命題(直方体を用いた有界性の表現)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A\subset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}を満たす\(n\)次元の直方体\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)が存在することは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
証明

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例(直方体を用いた有界性の表現)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}に対して、\begin{equation*}
A\subset \left[ -1,1\right] \times \left[ -1,1\right] \end{equation*}が成り立つため、\(A\)は有界です。

 

ノルムを用いた有界性の表現

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が有界であることをノルムを用いて表現することもできます。

命題(ノルムを用いた有界性の表現)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、\begin{equation*}\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:\left\Vert x\right\Vert \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
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例(ノルムを用いた有界性の表現)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}が与えられたとき、その点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\left\Vert \left( x_{1},x_{2}\right) \right\Vert &=&\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&\leq &\sqrt{1}\quad \because \left( x_{1},x_{2}\right) \in A \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(A\)は有界です。

 

演習問題

問題(上界・下界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\geq 0\wedge x_{2}\geq 0\right\}\end{equation*}の上界や下界を求めてください。

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問題(上界・下界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{++}^{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}>0\wedge x_{2}>0\right\}\end{equation*}の上界や下界を求めてください。

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問題(上界・下界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+\frac{x_{2}^{2}}{4}\leq 1\right\}
\end{equation*}が有界であることを示してください。

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次回は上限や下限について学びます。

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