n次元空間上の非空な部分集合に対して、その上界や下界を定義します。n次元空間の部分集合が上界と下界をともに持つとき、その集合は有界であると言います。有界であることは直方体やノルムなど様々な概念を用いて表現可能です。
< 前のページ
次のページ >

上界・下界

実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、ある点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の任意の点以上ならば、つまり、\begin{equation*}
\exists a\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の上界(upper bound)と呼びます。定義より、\(A\)の上界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において、上界は最大元とは異なります。

実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、ある点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の任意の点以下ならば、つまり、\begin{equation*}
\exists a\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の下界(lower bound)と呼びます。定義より、\(A\)の下界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において、下界は最小元とは異なります。

例(上界・下界)
\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である有界な閉区間\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}について考えます。\(\mathbb{R} \)の点である\(1\)と任意の点\(x\in \left[ 0,1\right] \)の間には\(x\leq 1\)という関係が成り立つため、\(1\)は\(\left[ 0,1\right] \)の上界です。同様にして、\(0\)が\(\left[ 0,1\right] \)の下界であることが示されます。
例(上界・下界)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(\mathbb{R} ^{2}\)の点である\(\left( 1,1\right) \)と任意の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)の間には\(\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( 1,1\right) \)という関係が成り立つため、\(\left( 1,1\right) \)は\(A\)の上界です。同様にして、\(\left( -1,-1\right) \)が\(A\)の下界であることが示されます。

 

上界と最大元・下界と最小元の関係

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、その最大元\(\max A\)が存在するものとします。最大元の定義より任意の\(x\in A\)について\(x\leq \max A\)が成り立つため、\(\max A\)は\(A\)の上界でもあります。\(A\)の最小元と下界の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の最小元は\(A\)の下界です。

命題(上界と最大元・下界と最小元の関係)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&(a)\ \max A\text{が存在するならば、それは}A\text{の上界である。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは}A\text{の下界である。}
\end{eqnarray*}
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、\(A\)の上界は\(A\)の最大元であるとは限りません。なぜなら、\(A\)の上界は\(A\)の点であるとは限らない一方で、\(A\)の最大元は\(A\) の点でなければならないからです。\(A\)の最小値と下界の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の下界は\(A\)の最小値であるとは限りません。

例(上界と最大値・下界と最小値の関係)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(\mathbb{R} ^{2}\)の点である\(\left( 1,1\right) \)と任意の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)の間には\(\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( 1,1\right) \)という関係が成り立つため、\(\left( 1,1\right) \)は\(A\)の上界です。一方、\(\left( 1,1\right) \)は明らかに\(A\)の点ではないため、\(A\)の最大元ではありません。ちなみに、\(A\)の点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)を任意にとると、それに対して\(a_{1}<x_{1}\)もしくは\(a_{2}<x_{2}\)の少なくとも一方を満たす\(A\)の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)が存在するため\(\max A\)は存在しません。同様に、\(\left( -1,-1\right) \)は\(A\)の下界ですが最大元ではなく、なおかつ\(\min A\)は存在しません。

 

上界や下界は存在するとは限らない

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)に対して、その上界や下界は存在するとは限りません。

例(上界や下界は存在するとは限らない)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x_{1},\ 0\leq x_{2}\}
\end{equation*}について考えます。\(\left( 0,0\right) \in A\)であるため\(A\)は非空です。\(A\)の上界が存在するものとし、それを\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)で表します。上界の定義より、任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)に対して\(\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( a_{1},a_{2}\right) \)が成り立ちますが、アルキメデスの性質より、\(\left( a_{1},a_{2}\right) \leq \left( b_{1},b_{2}\right) \)を満たす点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が存在します。すると\(\leq \)の推移律より\(\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( b_{1},b_{2}\right) \)を得ます。\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)より\(\left( 0,0\right) \leq \left( x_{1},x_{2}\right) \)であるため、これと\(\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( b_{1},b_{2}\right) \)に対して\(\leq \)の推移律を適用することにより\(\left( 0,0\right) \leq \left( b_{1},b_{2}\right) \)すなわち\(\left( b_{1},b_{2}\right) \in A\)を得ます。つまり、\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)より大きい\(A\)の要素である\(\left( b_{1},b_{2}\right) \)が存在しますが、これは\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)の上界であることと矛盾です。したがって、\(A\)には上界が存在しないことが示されました。同様に、\begin{equation*}
B=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\leq 0,\ x_{2}\leq 0\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合には下界が存在しないことが示されます。

 

上界や下界は一意的ではない

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合に対して、その上界や下界はそれぞれ一意的ではありません。

例(上界や下界は一意的ではない)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\(A\)が上に有界であるものとし、その上界を\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)で表します。つまり、\begin{equation}
\forall x\in A:x\leq a \tag{1}
\end{equation}が成り立つということです。アルキメデスの性質より、\begin{equation}
a<b \tag{2}
\end{equation}を満たす\(a\)とは異なる点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在するため、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)に対して順序\(\leq \)と狭義順序\(<\)の間に成立する推移性を適用すると、\begin{equation*}
\forall x\in A:x<b
\end{equation*}を得ますが、\(\leq \)の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}を含意します。つまり、\(b\)もまた\(A\)の上界です。\(A\)の下界が一意的でないこともまた同様にして示されます。

 

上に有界・下に有界・有界

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)の上界は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的ではないことが明らかになりました。そこで、\(A\)のすべての上界からなる集合を\(U\left( A\right) \)で表します。つまり、\begin{equation*}
U\left( A\right) =\{a\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x\in A:x\leq a\}
\end{equation*}です。\(U\left( A\right) \not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の上界が存在するとき、\(A\)は上に有界(bounded from above)であると言います。

一方、\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)のすべての下界からなる集合を\(L\left( A\right) \)で表します。つまり、\begin{equation*}
L\left( A\right) =\{a\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x\in A:a\leq x\}
\end{equation*}です。\(L\left( A\right) \not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の下界が存在するとき、\(A\)は下に有界(bounded from below)であると言います。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が上に有界かつ下に有界であるとき、つまり、\(U\left( A\right) \not=\phi \)と\(L\left( A\right) \not=\phi \)がともに成り立つ場合、\(A\)は有界(bounded)であると言います。

例(有界)
\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である有界な閉区間\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 1\leq x\right\} \\
L\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x\leq 0\right\}
\end{eqnarray*}となるため(確認してください)、\(\left[ 0,1\right] \)は有界です。
例(有界)
\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である半開区間\begin{equation*}
\lbrack 0,+\infty )=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 0\leq x\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( [0,+\infty )\right) &=&\phi \\
L\left( [0,+\infty )\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x\leq 0\right\}
\end{eqnarray*}となるため(確認してください)、\([0,+\infty )\)は下に有界ですが上に有界ではありません。一方、\begin{equation*}
(-\infty ,1]=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x\leq 1\right\}
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
U\left( (-\infty ,1]\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 1\leq x\right\} \\
L\left( (-\infty ,1]\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}となるため(確認してください)、\((-\infty ,1]\)は上に有界ですが下に有界ではありません。
例(有界)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ 1\leq x_{1},\ 1\leq x_{2}\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\leq -1,\ x_{2}\leq -1\right\}
\end{eqnarray*}となるため(確認してください)、\(A\)は有界です。

 

有界性の様々な表現

2つの点\(a,b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \)かつ\(b=\left( b_{1},\cdots ,b_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] &=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}\leq x_{i}\leq
b_{i}\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を\(n\)次元の直方体(rectangle)と呼びます。有界性の概念は直方体を用いて表現可能です。具体的には、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が有界であることと、\(A\)を覆う\(n\)次元の直方体が存在することは必要十分です(演習問題にします)。

命題(直方体を用いた有界性の表現)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
A\subset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}を満たす\(n\)次元の直方体\(\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)が存在することは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

有界性の概念はノルムを用いて表現することもできます。具体的には、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が有界であることと、\(A\)のそれぞれの点のノルムがとり得る値の範囲が限定されていることは必要十分です(演習問題にします)。

命題(ノルムを用いた有界性の表現)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
\exists \varepsilon \in
\mathbb{R} ,\ \forall x\in A:\left\Vert x\right\Vert \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

次回は上限や下限について学びます。

次へ進む 質問・コメント(プレミアム会員限定) 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email
< 前のページ
次のページ >

プレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。プレミアム会員の方は以下からログインしてください。

会員登録 | パスワードを忘れましたか?

有料のプレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

本サイトは MathJax を実装しているため、コメント文中で LaTex コマンドを利用することで美しい数式を入力できます。その際、インライン数式は\(数式\)で、ディスプレイ数式は$$数式$$という形式でそれぞれ入力してください。 例えば、\(ax^{2}+bx+c=0\)と入力すると\(ax^{2}+bx+c=0\)と表示され、$$ax^{2}+bx+c=0$$と入力すると$$ax^{2}+bx+c=0$$と表示されます。MathJax(LaTex)の文法については次のサイト( https://easy-copy-mathjax.xxxx7.com )などを参照してください。 紙に手書きした数式や図をカメラやスマホで撮影した上で、コメント欄に張り付けることもできます。その場合、コメント入力欄にある「ファイルを選択」ボタンをクリックした上で画像をアップロードしてください。アップロード可能な画像フォーマットは jpg, gif, png の 3 種類、ファイルサイズの上限は 5 MB です。PDF ファイルの添付も可能です。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員だけが質問やコメントを投稿・閲覧できます。

アカウント
ログイン