WIIS

ユークリッド空間

点集合の上界・下界

目次

次のページ:

点集合の上限・下限

Mailで保存
Xで共有

上界

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。つまり、任意の点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(\leq \)は定義されているということです。\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の半順序です。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{x} \\
&&\left( O_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{x}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{z}\right] \end{eqnarray*}が成り立ちます。

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のある点\(\boldsymbol{a}\)が、この集合\(A\)に属する任意の点以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{a}
\end{equation*}が成り立つならば、この点\(\boldsymbol{a}\)を集合\(A\)の上界(upper bound)と呼びます。定義より、\(A\)の上界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において上界は最大元や極大元とは異なります。

例(上界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}が成り立つため点\(b\)は\(A\)の上界です。
例(上界)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall \left( x_{1},x_{2}\right) \in A:\left( x_{1}\leq b_{1}\wedge
x_{2}\leq b_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため点\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の上界です。
例(上界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)に対して、\begin{eqnarray*}-1 &\leq &x_{1}\leq 1 \\
-1 &\leq &x_{2}\leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、点\(\left( 1,1\right) \)は\(A\)の上界です。

 

下界

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のある点\(\boldsymbol{a}\)が、この集合\(A\)に属する任意の点以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つならば、この点\(\boldsymbol{a}\)を集合\(A\)の下界(lower bound)と呼びます。定義より、\(A\)の下界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において下界は最小元や極小元とは異なります。

例(上界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つため点\(a\)は\(A\)の下界です。
例(下界)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall \left( x_{1},x_{2}\right) \in A:\left( a_{1}\leq x_{1}\wedge
a_{2}\leq x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)は\(A\)の下界です。
例(下界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)に対して、\begin{eqnarray*}-1 &\leq &x_{1}\leq 1 \\
-1 &\leq &x_{2}\leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、点\(\left( -1,-1\right) \)は\(A\)の下界です。

 

上界や下界は存在するとは限らない

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合は上界や下界を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(上界や下界は存在するとは限らない)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{2}=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x_{1}\wedge 0\leq x_{2}\}\end{equation*}について考えます。\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)であるため\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)は非空です。\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の上界は存在しません。実際、\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の上界が存在するものと仮定し、それを\(\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)で表記すると、上界の定義より、\begin{equation*}\forall \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}:\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( b_{1},b_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}:\left( 0\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge 0\leq x_{2}\leq b_{2}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。この点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \)に対して、アルキメデスの性質より、\begin{equation}b_{1}<c_{1}\wedge b_{2}<c_{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(\left( c_{1},c_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が存在します。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}0<c_{1}\wedge 0<c_{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(c_{1},c_{2}\right) \)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の点です。それにも関わらず\(\left( 2\right) \)が成り立つことは、\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の上界であることと矛盾です。したがって\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の上界は存在しません。同様にして、以下の集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}^{2}=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\leq 0\wedge x_{2}\leq 0\}\end{equation*}が下界を持たないことが示されます(演習問題)。

 

上界や下界は一意的ではない

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合に対して、その上界や下界は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(上界や下界は一意的ではない)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つものとします。つまり、\begin{equation}\exists a\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}\leq a \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。上の点\(a\)に対して、アルキメデスの性質より、\begin{equation}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<b_{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在します。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}\leq b
\end{equation*}が成り立つため、\(b\)は\(A\)の上界であり、さらに\(\left( 2\right) \)より\(b\not=a\)です。したがって、\(a\)とは異なる\(A\)の上界\(b\)が存在することが示されました。下界が一意的でないことも同様にして示されます。

 

上に有界・下に有界・有界

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)の上界や下界は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的ではないことが明らかになりました。そこで、\(A\)のすべての上界からなる集合を、\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{a}\right\}
\end{equation*}で表記し、\(A\)のすべての下界からなる集合を、\begin{equation*}L\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(U\left( A\right)\not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の上界が存在する場合には、\(A\)は上に有界(bounded from above)であると言います。また、\(L\left( A\right) \not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の下界が存在する場合には、\(A\)は下に有界(bounded from below)であると言います。さらに、\(A\)が上に有界かつ下に有界であるとき、つまり\(U\left( A\right) \not=\phi \)と\(L\left( A\right) \not=\phi \)がともに成り立つ場合には、\(A\)は有界(bounded)であると言います。

例(有界)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。先に示したように、\(b\)以上の任意の実数は\(A\)の上界であるため、\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\}
\end{equation*}です。また、\(a\)以下の任意の実数は\(A\)の下界であるため、\begin{equation*}L\left( A\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{equation*}です。\(U\left( A\right) \)と\(L\left( A\right) \)はともに非空であるため、\(A\)は上に有界かつ下に有界であり、したがって\(A\)は有界です。
例(有界)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}を定義します。点\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)以上の任意の点は\(A\)の上界であるため、\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ b_{1}\leq x_{1}\wedge b_{2}\leq x_{2}\right\}
\end{equation*}です。また、点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \)以下の任意の点は\(A\)の下界であるため、\begin{equation*}L\left( A\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\leq a_{1}\wedge x_{2}\leq a_{2}\right\}
\end{equation*}です。\(U\left( A\right) \)と\(L\left( A\right) \)はともに非空であるため、\(A\)は上に有界かつ下に有界であり、したがって\(A\)は有界です。
例(有界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 1\leq x_{1}\wedge 1\leq x_{2}\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\leq -1\wedge x_{2}\leq -1\right\}
\end{eqnarray*}となります。\(U\left( A\right) \)と\(L\left( A\right) \)はともに非空であるため、\(A\)は上に有界かつ下に有界であり、したがって\(A\)は有界です。

 

上界と最大元・下界と最小元の関係

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が最大元を持つ場合、それは\(A\)の上界でもあります。また、\(A\)が最小元を持つ場合、それは\(A\)の下界でもあります。

命題(上界と最大元・下界と最小元の関係)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&(a)\ \max A\text{が存在するならば、それは}A\text{の上界である。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは}A\text{の下界である。}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(上界と最大元・下界と最小元の関係)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。点\(a\)は\(A\)の最小元であるとともに下界でもあります。また、点\(b\)は\(A\)の最大元であるとともに上界でもあります。
例(上界と最大元・下界と最小元の関係)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}を定義します。点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \)は\(A\)の最小元であるとともに下界でもあります。また、\(\left( b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の最大元であるとともに上界でもあります。

先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、\(A\)の上界は\(A\)の最大元であるとは限りません。また、\(A\)の下界は\(A\)の最小値であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(上界と最大値・下界と最小値の関係)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。点\(\left( 2,2\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\forall \left( x_{1},x_{2}\right) \in A:\left( x_{1},x_{2}\right) \leq
\left( 2,2\right)
\end{equation*}が成り立つため\(\left( 2,2\right) \)は\(A\)の上界です。その一方で、\(\left( 2,2\right) \)は\(A\)の点ではないため\(A\)の最大元ではありません。なお、\(A\)の最大元は存在しません。

 

直方体を用いた有界性の表現

点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times
\cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を\(n\)次元の直方体(rectangle)と呼びます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\(A\)を部分集合として含む\(n\)次元の直方体が存在することは、\(A\)が有界であるための必要十分です。

命題(直方体を用いた有界性の表現)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A\subset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}を満たす\(n\)次元の直方体\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)が存在することは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(直方体を用いた有界性の表現)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}に対して、\begin{equation*}
A\subset \left[ -1,1\right] \times \left[ -1,1\right] \end{equation*}が成り立つため、\(A\)は有界です。

 

ノルムを用いた有界性の表現

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が有界であることをノルムを用いて表現することもできます。

命題(ノルムを用いた有界性の表現)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、\begin{equation*}\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq
\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(ノルムを用いた有界性の表現)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}が与えられたとき、その点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\left\Vert \left( x_{1},x_{2}\right) \right\Vert &=&\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&\leq &\sqrt{1}\quad \because \left( x_{1},x_{2}\right) \in A \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(A\)は有界です。

 

空集合の上界と下界

これまでは\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を対象に、その上界や下界を考えてきました。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} ^{n}\)です。では、空集合の上界や下界は存在するのでしょうか。

点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} \)を\(^{n}\)任意に選んだとき、この点\(\boldsymbol{a}\)が空集合\(\phi \)の上界であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \phi :\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{a}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、\(\boldsymbol{a}\)が\(\phi \)の上界ではないものと仮定すると、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}\in \phi :\lnot \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、空集合は要素を持たないため、これは偽です。したがって背理法より、\(\boldsymbol{a}\)が\(\phi \)の上界であることが明らかになりました。任意の点\(\boldsymbol{a}\)について同様の議論が成立するため、任意の点が空集合の上界であることが明らかになりました。つまり、\begin{equation*}U\left( \phi \right) =\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つということです。

同様の議論により、\begin{equation*}
L\left( \phi \right) =\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることが示されます。

 

演習問題

問題(上界・下界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\geq 0\wedge x_{2}\geq 0\right\} \end{equation*}の上界と下界を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(上界・下界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}\mathbb{R} _{++}^{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}>0\wedge x_{2}>0\right\} \end{equation*}の上界と下界を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(上界・下界)
以下の\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+\frac{x_{2}^{2}}{4}\leq 1\right\}
\end{equation*}が有界であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

次のページ:

点集合の上限・下限

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録