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点集合の上限・下限

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上限

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。つまり、任意の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x\leq y\Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq
y_{i}
\end{equation*}が成り立つものとして\(\leq \)は定義されているということです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が上に有界であるとき、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)もまた空でない\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、その最小元\(\min U\left(A\right) \)が存在するか検討できます。\(\min U\left( A\right) \)が存在する場合、これを\(A\)の上限(supremum)や最小上界(least upper bound)などと呼び、\(\sup A\)で表記します。つまり、\begin{equation*}\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}です。具体的には、\(\sup A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sup A\in U\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :\sup A\leq y
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)の点として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in \mathbb{R} ^{n}:\left( x\leq y\Rightarrow \sup A\leq y\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の上界であること、\(\left( b\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の任意の上界以下の点であることをそれぞれ表しています。\(\sup A\)は\(A\)の上界の1つであるため、これは\(A\)の点であるとは限りません。同時に、\(\sup A\)は\(A\)の上界集合\(U\left( x\right) \)の最小元であるため、これは必ず\(U\left( x\right) \)の要素です。

例(上限)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である有界な閉区間\begin{equation*}\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
U\left( \left[ 0,1\right] \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1\leq x\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\sup \left[ 0,1\right] =\min U\left( \left[ 0,1\right] \right) =1
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(上限)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
U\left( A\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 1\leq x_{1}\wedge 1\leq x_{2}\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( A\right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。

 

下限

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が下に有界であるとき、\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right) \)もまた空でない\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、その最大元\(\max L\left(A\right) \)が存在するか検討できます。\(\max L\left( A\right) \)が存在する場合、これを\(A\)の下限(infimum)や最大下界(greatest lower bound)などと呼び、\(\inf A\)で表します。つまり、\begin{equation*}\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}です。具体的には、\(\inf A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \inf A\in L\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in L\left( A\right) :y\leq \inf A
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)の点として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in \mathbb{R} ^{n}:\left( y\leq x\Rightarrow y\leq \inf A\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の下界であること、\(\left( b\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の任意の下界以上の点であることをそれぞれ表しています。\(\inf A\)は\(A\)の下界の1つであるため、これは\(A\)の点であるとは限りません。同時に、\(\inf A\)は\(A\)の下界集合\(L\left( x\right) \)の最大元であるため、これは必ず\(L\left( x\right) \)の要素です。

例(下限)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である有界な閉区間\begin{equation*}\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
L\left( \left[ 0,1\right] \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq 0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\inf \left[ 0,1\right] =\max L\left( \left[ 0,1\right] \right) =0
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(下限)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
L\left( A\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\leq -1\wedge x_{2}\leq -1\right\}
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\inf A=\max L\left( A\right) =\left( -1,-1\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。

 

上限や下限が存在するための条件

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合は上限や下限を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(上限・下限)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である半開区間\begin{equation*}\lbrack 0,+\infty )=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
U\left( [0,+\infty )\right) =\phi
\end{equation*}であるため\(\sup [0,+\infty )\)は存在しません。また、以下の非空な半開区間\begin{equation*}(-\infty ,0]=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq 0\right\}
\end{equation*}に関しては、\begin{equation*}
L\left( (-\infty ,1]\right) =\phi
\end{equation*}であるため\(\inf (-\infty ,1]\)は存在しません。

では、どのような条件を満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が上限や下限を持つのでしょうか。\(A\)が上に有界であるならば\(\sup A\)が存在し、\(A\)が下に有界であるならば\(\inf A\)が存在します。証明では\(\mathbb{R} \)の連続性、具体的には上限性質と下限性質を利用します。

命題(上界や下限が存在するための条件)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&(a)\ A\text{が上に有界ならば}\sup A\text{が存在する} \\
&&\left( b\right) \ A\text{が下に有界ならば}\inf A\text{が存在する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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上限や下限の一意性

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、その上限\(\sup A\)は\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)の最小元です。一般に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合の最小元が存在する場合、それは1つの点として定まります。したがって、\(\sup A\)が存在する場合、それは1つの点として定まります。同様に、\(\inf A\)が存在する場合、それは1つの点として定まります。

命題(上限や下限の一意性)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&(a)\ \sup A\text{が存在するならば、それは一意的である} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在するならば、それは一意的である}
\end{eqnarray*}以下が成り立つ。

 

上限と最大元・下限と最小元の関係

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、その最大元\(\max A\)が存在するものとします。最大元の定義より、\begin{equation}\forall x\in A:x\leq \max A \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\(\max A\)は\(A\)の上界です。また、\(\max A\in A\)であるため、\(A\)の任意の上界は\(\max A\)以上です。すなわち、\begin{equation}\forall y\in U\left( A\right) :\max A\leq y \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) \)と\(\left( 2\right) \)がともに成り立つことは、\(\max A\)が\(A\)の上限であることを意味します。つまり、\(A\)の最大元が存在するとき、それは\(A\)の上限でもあります。

同様に考えると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、その最小値が存在するとき、それは\(A\)の下限でもあることが示されます。

命題(上限と最大元・下限と最小元の関係)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{が存在する場合には}\max A=\sup A\text{が成り立つ} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在する場合には}\min A=\inf A\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}以下が成り立つ。

証明

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では、\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)の最大元や最小元が存在しない場合、\(A\)の上限や下限もまた存在しないと言えるのでしょうか。答えはノーです。以下の例が示唆するように、\(A\)の最大元が存在しない場合に\(A\)の上限が存在する状況や、\(A\)の最小元が存在しない場合に\(A\)の下限が存在する状況は起こり得ます。

例(上限と最大元・下限と最小元の関係)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
\sup A &=&\left( 1,1\right) \\
\inf A &=&\left( -1,-1\right)
\end{eqnarray*}である一方で\(\max A\)や\(\min A\)は存在しません。

上の例が示唆するように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)の上限が存在する場合、\(A\)の最大元は存在するとは限りません。しかし、\(A\)の上限が存在するとともに、それが\(A\)の点である場合には、それは\(A\)の最大元であることが保証されます。同様に、\(A\)の下限が存在するとともに、それが\(A\)の要素である場合、それは\(A\)の最小元であることが保証されます(演習問題)。

命題(上限と最大元・下限と最小元の関係)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sup A\text{が存在するとともに}\sup A\in A\text{ならば}\sup A=\max A\text{が成り立つ} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在するとともに}\inf A\in A\text{ならば}\inf A=\min A\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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実数空間 R の空でない部分集合 A が上に有界であるとともに、A の上界からなる集合 U(A) の最小値が存在するならば、それを A の上限と呼びます。また、A が下に有界であるとともに、A の下界からなる集合 L(A) の最大値が存在するならば、それを A の下限と呼びます。

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