ユークリッド空間上の非空な部分集合に対して、その上限や下限を定義します。1次元ユークリッド空間においては、実数の連続性の公理より、上に有界な部分集合には上限が、下に有界な部分集合には下限が必ず存在します。この事実を利用すると、多次元ユークリッド空間の部分集合についても同様のことを保証できます。

2019年6月16日:公開

上限

ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が上に有界であるとき、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)に最小元が存在するならば、それを\(A\)の上限(supremum)や最小上界(least upper bound)などと呼び、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}で表します。

定義より、\(\sup A\)は必ずしも\(A\)の要素である必要はない一方で、\(U\left( A\right) \)の要素でなければなりません。

定義より、\(\mathbb{R}^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対してその上限\(\sup A\)が存在する場合には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in \mathbb{R}^{n}:\left[ x\leq y\ \Rightarrow \ \sup A\leq y\right] \end{eqnarray*}がともに成り立ちます。ただし、上の条件\(\left( a\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の上界であることを、条件\(\left( b\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の任意の上界以下であることをそれぞれ意味します。

上限を以下のように表現することもできます。

命題(上限の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)とある点\(a\in \mathbb{R}^{n}\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq a \\
&&\left( b\right) \ \forall \varepsilon >0,\ \exists x\in A:a-\varepsilon <x
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(\sup A=a\)であるための必要十分条件である。
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つまり、点\(a\)が\(A\)に属する任意の点以上(\(A\)の上界である)であると同時に、点\(a\)よりも小さい任意の点が\(A\)の上界でないことは、\(a\)が\(A\)の上限であるための必要十分条件です。

例(上限)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A=\left( 0,1\right) \)の上界からなる集合は\(U\left( A\right) =\{a\in \mathbb{R}\ |\ a\geq 1\}\)であるため、\(A\)の上限は\(\sup A=\min U\left( A\right) =1\)となります。
例(上限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}の上界からなる集合は、\begin{equation*}
U\left( A\right) =\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ 1\leq x_{1},\ 1\leq x_{2}\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の上限は\(\sup A=\min U\left( A\right) =\left( 1,1\right) \)となります。

 

下限

ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が下に有界であるとき、\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right) \)に最大元が存在するならば、それを\(A\)の下限(infimum)や最大下界(greatest lower bound)などと呼び、\begin{equation*}
\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}で表します。

定義より、\(\inf A\)は必ずしも\(A\)の要素である必要はない一方で、\(L\left( A\right) \)の要素でなければなりません。

定義より、\(\mathbb{R}^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対してその下限\(\inf A\)が存在する場合には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in \mathbb{R}^{n}:\left[ y\leq x\ \Rightarrow \ y\leq \inf A\right] \end{eqnarray*}がともに成り立ちます。ただし、上の条件\(\left( a\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の下界であることを、条件\(\left( b\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の任意の下界以上であることをそれぞれ意味します。

下限を以下のように表現することもできます。

命題(下限の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)とある点\(a\in \mathbb{R}^{n}\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:a\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall \varepsilon >0,\ \exists x\in A:x<a+\varepsilon
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(\inf A=a\)であるための必要十分条件である。
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つまり、点\(a\)が\(A\)に属する任意の点以下(\(A\)の下界である)であると同時に、点\(a\)よりも大きい任意の点が\(A\)の下界でないことは、\(a\)が\(A\)の下限であるための必要十分条件です。

例(下限)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A=\left( 0,1\right) \)の下界からなる集合は\(L\left( A\right) =\{a\in \mathbb{R}\ |\ a\leq 0\}\)であるため、\(A\)の下限は\(\inf A=\max L\left( A\right) =0\)となります。
例(下限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}の下界からなる集合は、\begin{equation*}
L\left( A\right) =\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ x_{1}\leq -1,\ x_{2}\leq -1\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の下限は\(\inf A=\max L\left( A\right) =\left( -1,-1\right) \)となります。

 

上限・下限の一意性

ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)の上限は、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)の最小元です。一般に、\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合の最小元が存在する場合には一意的であるため、\(U\left( A\right) \)の最小元である\(\sup A\)もまた存在する場合には一意的です。\(\inf A\)についても同様です。以上の事実を命題としてまとめておきます。

命題(上限・下限の一意性)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sup A\text{が存在するならば、それは一意的である。} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在するならば、それは一意的である。}
\end{eqnarray*}

 

最大元・最小元との関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合に最大元が存在する場合には、それは同時に上限でもあります。また、最小元は同時に下限でもあります。

命題(最大元・最小元との関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \max A\text{が存在するならば、}\max A=\sup A\text{が成り立つ。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、}\min A=\inf A\text{が成り立つ。}
\end{eqnarray*}
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\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合に最大元が存在する場合にはそれは上限でもありますが、以下で例示するように、最大元が存在しない場合に上限が存在する状況は起こり得ます。同様に、最小元が存在しない場合に下限が存在する状況は起こり得ます。したがって、上限と下限は最大元と最小元よりも広い概念です。

例(最大元・最小元との関係)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A=\left( 0,1\right) \)に関して\(\max A\)は存在しない一方で\(\sup A=1\)です。また、\(\min A\)は存在しない一方で\(\inf A=0\)です。
例(上限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}に関して\(\max A\)は存在しない一方で\(\sup A=\left( 1,1\right) \)です。また、\(\min A\)は存在しない一方で\(\inf A=\left( -1,-1\right) \)です。

ただし、\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合の上限がその部分集合の点である場合には、それは同時に最大元です。また、下限がその部分集合の点である場合には、それは同時に最小元です。

命題(最大元・最小元との関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sup A\text{が存在し}\sup A\in A\text{であるならば、}\sup A=\max A\text{が成り立つ。} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在し}\inf A\in A\text{であるならば、}\inf A=\min A\text{が成り立つ。}
\end{eqnarray*}
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上限・下限の存在

\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)上に定義された順序\(\leq \)は実数どうしを比較する通常の大小関係に他なりません。したがって、実数の連続性の公理より、上に有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合は必ず上限を持ち、下に有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合は必ず下限を持ちます。さらにこの事実を活用すると、より一般的な\(n\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合に関しても、同様の条件のもとで上限や下限の存在を保証することができます。

実数の連続性について復習する
命題(上限・下限の存在)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\text{が上に有界ならば}\sup A\text{が存在する。} \\
&&\left( b\right) \ A\text{が下に有界ならば}\inf A\text{が存在する。}
\end{eqnarray*}
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次回はユークリッド空間における点列について学びます。
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