n次元空間上の非空な部分集合に対して、その上限や下限を定義します。1次元空間においては、実数の連続性の公理より、上に有界な部分集合には上限が、下に有界な部分集合には下限が必ず存在します。この事実を利用すると、多次元空間の部分集合についても同様のことを保証できます。

上限・下限

実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が上に有界であるとき、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)もまた空でない\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、その最小元\(\min U\left( A\right) \)について考えることができます。この\(\min U\left( A\right) \)を\(A\)の上限(supremum)や最小上界(least upper bound)などと呼び、\(\sup A\)で表します。つまり、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}です。具体的には、\(\sup A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sup A\in U\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :\sup A\leq y
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)の点として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in
\mathbb{R} ^{n}:\left( x\leq y\Rightarrow \sup A\leq y\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の上界であること、\(\left( b\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の任意の上界以下の点であることをそれぞれ表しています。\(\sup A\)は\(A\)の上界の1つであるため、これは\(A\)の点であるとは限りません。同時に、\(\sup A\)は\(A\)の上界集合\(U\left( A\right) \)の最小元であるため、これは必ず\(U\left( A\right) \)の要素です。

実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が下に有界であるとき、\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right) \)もまた空でない\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、その最大元\(\max L\left( A\right) \)について考えることができます。この\(\max L\left( A\right) \)を\(A\)の下限(infimum)や最大下界(greatest lower bound)などと呼び、\(\inf A\)で表します。つまり、\begin{equation*}
\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}です。具体的には、\(\inf A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \inf A\in L\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in L\left( A\right) :y\leq \inf A
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)の点として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in
\mathbb{R} ^{n}:\left( y\leq x\Rightarrow y\leq \inf A\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の下界であること、\(\left( b\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の任意の下界以上の点であることをそれぞれ表しています。\(\inf A\)は\(A\)の下界の1つであるため、これは\(A\)の点であるとは限りません。同時に、\(\inf A\)は\(A\)の下界集合\(L\left( A\right) \)の最大元であるため、これは必ず\(L\left( A\right) \)の要素です。

例(上限・下限)
\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である有界な閉区間\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 1\leq x\right\} \\
L\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x\leq 0\right\}
\end{eqnarray*}となるため(確認してください)、\begin{eqnarray*}
\sup \left[ 0,1\right] &=&\min U\left( \left[ 0,1\right] \right) =1 \\
\inf \left[ 0,1\right] &=&\max L\left( \left[ 0,1\right] \right) =0
\end{eqnarray*}となります。
例(有界)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ 1\leq x_{1},\ 1\leq x_{2}\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\leq -1,\ x_{2}\leq -1\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\sup A &=&\min U\left( A\right) =\left( 1,1\right) \\
\inf A &=&\max L\left( A\right) =\left( -1,-1\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

上限や下限が存在するための条件

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合は上限や下限を持つとは限りません。

例(上限・下限)
\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である半開区間\begin{equation*}
\lbrack 0,+\infty )=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 0\leq x\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( [0,+\infty )\right) &=&\phi \\
L\left( [0,+\infty )\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x\leq 0\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(\sup [0,+\infty )\)は存在しない一方で、\begin{equation*}
\inf [0,+\infty )=\max L\left( [0,+\infty )\right) =0
\end{equation*}となります。一方、\begin{equation*}
(-\infty ,1]=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ x\leq 1\right\}
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
U\left( (-\infty ,1]\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 1\leq x\right\} \\
L\left( (-\infty ,1]\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}となるため、\(\inf (-\infty ,1]\)は存在しない一方で、\begin{equation*}
\sup (-\infty ,1]=\min U\left( (-\infty ,1]\right) =1
\end{equation*}となります。

実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が上に有界であるものとします。つまり、\begin{equation}
\exists \left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A:\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \leq \left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立つということです。それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)に対して、\begin{equation*}
A_{i}=\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義すると、\(\left( 1\right) \)は、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} ,\ \forall x_{i}\in A_{i}:x_{i}\leq
a_{i}
\end{equation*}と言い換えられます。つまり、\(A_{i}\)は上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、\(\mathbb{R} \)における大小関係\(\leq \)に関する連続性の公理より\(\sup A_{i}\)が存在します。以上で、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点である\begin{equation*}
\left( \sup A_{1},\cdots ,\sup A_{n}\right)
\end{equation*}の存在が保証されましたが、これは\(A\)の上限です(演習問題にします)。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が下に有界である場合に\(\inf A\)が存在することも同様にして示されます。

命題(上界や下限が存在するための条件)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&(a)\ A\text{が上に有界ならば}\sup A\text{が存在する} \\
&&\left( b\right) \ A\text{が下に有界ならば}\inf A\text{が存在する}
\end{eqnarray*}
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上限や下限の一意性

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、その上限\(\sup A\)は\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)の最小元です。一般に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合の最小元が存在する場合、それは一意的です。したがって、\(\sup A\)が存在する場合、それは一意的です。同様に、\(\inf A\)が存在する場合、それは一意的です。

命題(上限や下限の一意性)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&(a)\ \sup A\text{が存在するならば、それは一意的である} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在するならば、それは一意的である}
\end{eqnarray*}
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上限と最大元・下限と最小元の関係

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、その最大元\(\max A\)が存在するものとします。最大元の定義より、\begin{equation}
\forall x\in A:x\leq \max A \tag{1}
\end{equation}が成り立つため、\(\max A\)は\(A\)の上界です。また、\(\max A\in A\)であるため、\(A\)の任意の上界は\(\max A\)以上です。すなわち、\begin{equation}
\forall y\in U\left( A\right) :\max A\leq y \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)がともに成り立つことは、\(\max A\)が\(A\)の上限であることを意味します。つまり、\(A\)の最大元が存在するとき、それは\(A\)の上限でもあります。

同様に考えると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、その最小値が存在するとき、それは\(A\)の下限でもあることが示されます。

命題(上限と最大元・下限と最小元の関係)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \max A\text{が存在するならば、}\max A=\sup A\text{が成り立つ} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、}\min A=\inf A\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}
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では、\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)の最大元や最小元が存在しない場合、\(A\)の上限や下限もまた存在しないと言えるのでしょうか。答えはノーです。以下の例が示唆するように、\(A\)の最大元が存在しない場合に\(A\)の上限が存在する状況や、\(A\)の最小元が存在しない場合に\(A\)の下限が存在する状況は起こり得ます。

例(上限と最大元・下限と最小元の関係)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{eqnarray*}
\sup A &=&\left( 1,1\right) \\
\inf A &=&\left( -1,-1\right)
\end{eqnarray*}などが成り立つ一方、\(\max A\)や\(\min A\)は存在しません。

上の例が示唆するように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)の上限が存在する場合、\(A\)の最大元は存在するとは限りません。しかし、\(A\)の上限が存在するとともに、それが\(A\)の点である場合には、それは\(A\)の最大元であることが保証されます(演習問題とします)。同様に、\(A\)の下限が存在するとともに、それが\(A\)の要素である場合、それは\(A\)の最小元であることが保証されます。

命題(上限と最大元・下限と最小元の関係)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sup A\text{が存在するとともに}\sup A\in A\text{ならば、}\sup A=\max A\text{が成り立つ} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在するとともに}\inf A\in A\text{ならば、}\inf A=\min A\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}
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次回はユークリッド空間という概念を定義します。

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